VII.2. Купа

Корак 1: Цртање мреже правилне шестостране пирамиде

Мрежа правилне шестостране пирамиде састоји се од основе, која је правилан шестоугао, и омотача који чини шест подударних једнакокраких троуглова.
Нацртај правилан шестоугао са шест темена, означених A, B, C, D, E, F у смеру супротном казаљци на сату. Дужина сваке странице шестоугла, на пример AB, је \( a = 2 \text{ cm} \). На свакој од шест страница шестоугла, као основици, доцртај по један једнакокраки троугао, тако да се сви троуглови протежу ка спољашњости шестоугла. Врхови ових шест троуглова треба да буду означени A', B', C', D', E', F' респективно, тако да је A' врх троугла изнад странице AB, B' изнад BC, и тако даље. За сваки од ових једнакокраких троуглова, дужина кракова (бочних ивица), на пример A'A и A'B, је \( s = 4 \text{ cm} \). Означи страницу AB са \( a \) и бочну ивицу A'A са \( s \). Цела конструкција представља мрежу правилне шестостране пирамиде.

Корак 2: Израчунавање површине основе \( B \)

Основа је правилан шестоугао са страницом \( a = 2 \text{ cm} \). Његова површина се израчунава по формули: \[ B = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \] \[ B = \frac{3 \cdot 2^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 4 \sqrt{3}}{2} \] Скраћивањем бројева \( 4 \) и \( 2 \) добијамо: \[ B = \frac{3 \cdot \cancel{4}^2 \sqrt{3}}{\cancel{2}_1} = 6\sqrt{3} \text{ cm}^2 \]

Корак 3: Одређивање апотеме (висине бочне стране) \( h \)

Апотема \( h \) је висина бочне стране (једнакокраког троугла). Користимо Питагорину теорему на правоуглом троуглу који чине \( h \), бочна ивица \( s \) и половина основне ивице \( a/2 \): \[ h^2 = s^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 \] \[ h^2 = 4^2 - \left(\frac{2}{2}\right)^2 = 16 - 1^2 = 15 \] \[ h = \sqrt{15} \text{ cm} \]

Корак 4: Израчунавање површине омотача \( M \)

Омотач чини шест једнакокраких троуглова: \[ M = 6 \cdot \frac{a \cdot h}{2} = 3 \cdot a \cdot h \] \[ M = 3 \cdot 2 \cdot \sqrt{15} = 6\sqrt{15} \text{ cm}^2 \]

Корак 5: Израчунавање површине пирамиде \( P \)

\[ P = B + M \] \[ P = 6\sqrt{3} + 6\sqrt{15} = 6(\sqrt{3} + \sqrt{15}) \text{ cm}^2 \]

Корак 6: Израчунавање висине пирамиде \( H \)

Користимо Питагорину теорему на троуглу који чине висина \( H \), бочна ивица \( s \) и полупречник описане кружице основе \( r_o \). Код шестоугла је \( r_o = a \): \[ H^2 = s^2 - a^2 \] \[ H^2 = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12 \] \[ H = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \text{ cm} \]

Корак 7: Израчунавање запремине пирамиде \( V \)

\[ V = \frac{1}{3} \cdot B \cdot H \] \[ V = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} \] \[ V = \frac{1}{\cancel{3}_1} \cdot \cancel{6}^2 \cdot 2 \cdot 3 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12 \text{ cm}^3 \]

\( a=2, s=4 \) \( B = \frac{3 \cdot 2^2 \sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \) \( h = \sqrt{4^2 - 1^2} = \sqrt{15} \Rightarrow M = 3 \cdot 2 \cdot \sqrt{15} = 6\sqrt{15} \) \( P = 6\sqrt{3} + 6\sqrt{15} = 6(\sqrt{3} + \sqrt{15}) \text{ cm}^2 \) \( H = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \) \( V = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 12 \text{ cm}^3 \)