VII.2. Купа

Цртање мреже пирамиде

Мрежа правилне шестостране пирамиде састоји се од основе, која је правилан шестоугао странице \( a = 2 \text{ cm} \), и омотача, који чини шест подударних једнакокраких троуглова са основицом \( a = 2 \text{ cm} \) и крацима \( s = 4 \text{ cm} \).

Нацртај правилан шестоугао са шест темена, означених A, B, C, D, E, F у смеру супротном казаљци на сату. Дужина сваке странице шестоугла, на пример AB, је \( a = 2 \text{ cm} \). На свакој од шест страница шестоугла, као основици, доцртај по један једнакокраки троугао, тако да се сви троуглови протежу ка спољашњости шестоугла. Врхови ових шест троуглова треба да буду означени A', B', C', D', E', F' респективно, тако да је A' врх троугла изнад странице AB, B' изнад BC, и тако даље. За сваки од ових једнакокраких троуглова, дужина кракова (бочних ивица), на пример A'A и A'B, је \( s = 4 \text{ cm} \). Означи страницу AB са \( a \) и бочну ивицу A'A са \( s \). Цела конструкција представља мрежу правилне шестостране пирамиде.

Израчунавање површине основе \( B \)

Основа пирамиде је правилан шестоугао странице \( a = 2 \text{ cm} \). Његова површина се рачуна по формули:

\[ B = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \]

Уврштавањем вредности \( a = 2 \text{ cm} \) добијамо:

\[ B = \frac{3 \cdot 2^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot \cancel{4}^2\sqrt{3}}{\cancel{2}_1} = 6\sqrt{3} \text{ cm}^2 \]

Израчунавање висине бочне стране (апотеме) \( h \)

Посматрамо правоугли троугао који чине апотема \( h \), половина основне ивице \( \frac{a}{2} \) и бочна ивица \( s \). Применом Питагорине теореме имамо:

\[ h^2 = s^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 \] \[ h^2 = 4^2 - \left(\frac{2}{2}\right)^2 = 16 - 1^2 = 16 - 1 = 15 \] \[ h = \sqrt{15} \text{ cm} \]

Израчунавање површине омотача \( M \)

Омотач се састоји од шест једнакокраких троуглова:

\[ M = 6 \cdot \frac{a \cdot h}{2} = 3 \cdot a \cdot h \] \[ M = 3 \cdot 2 \cdot \sqrt{15} = 6\sqrt{15} \text{ cm}^2 \]

Израчунавање укупне површине пирамиде \( P \)

Укупна површина пирамиде једнака је збиру површине основе и површине омотача:

\[ P = B + M = 6\sqrt{3} + 6\sqrt{15} = 6(\sqrt{3} + \sqrt{15}) \text{ cm}^2 \]

Израчунавање висине пирамиде \( H \)

Код правилне шестостране пирамиде полупречник описаног круга око основе једнак је страници основе, односно \( r_o = a = 2 \text{ cm} \). Висину пирамиде \( H \) одређујемо из правоуглог троугла који чине висина пирамиде, полупречник описаног круга и бочна ивица \( s \):

\[ H^2 = s^2 - a^2 \] \[ H^2 = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12 \] \[ H = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \text{ cm} \]

Израчунавање запремине пирамиде \( V \)

Запремину пирамиде рачунамо по формули:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot B \cdot H \]

Уврштавањем вредности добијамо:

\[ V = \frac{1}{\cancel{3}_1} \cdot \cancel{6}^2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12 \text{ cm}^3 \]

\( B = \frac{3 \cdot 2^2\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ cm}^2 \) \( h = \sqrt{4^2 - 1^2} = \sqrt{15} \text{ cm} \) \( M = 3 \cdot 2 \cdot \sqrt{15} = 6\sqrt{15} \text{ cm}^2 \) \( P = 6\sqrt{3} + 6\sqrt{15} = 6(\sqrt{3} + \sqrt{15}) \text{ cm}^2 \) \( H = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \text{ cm} \) \( V = \frac{1}{\cancel{3}_1} \cdot \cancel{6}^2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 12 \text{ cm}^3 \)