Најважније из лекције
Лопта је геометријско тело ограничено сфером. Одређена је центром и полупречником \( r \).
Пресек са равни: Ако је удаљеност равни од центра мања од полупречника, пресек је круг чији се полупречник рачуна као \( r_1 = \sqrt{r^2 - d^2} \). Пресек кроз сам центар је велики круг лопте.
Основне формуле:
Пресек са равни: Ако је удаљеност равни од центра мања од полупречника, пресек је круг чији се полупречник рачуна као \( r_1 = \sqrt{r^2 - d^2} \). Пресек кроз сам центар је велики круг лопте.
Основне формуле:
- Површина: \( P = 4r^2\pi \) (површина је једнака површини 4 велика круга)
- Запремина: \( V = \frac{4}{3}r^3\pi \)
Сфера је скуп свих тачака у простору које су једнако удаљене од неке фиксиране тачке (центра).
Лопта је геометријско тело у простору које је ограничено сфером. Чине је све тачке простора које од центра нису удаљене више од дужине полупречника.
Центар и полупречник сфере су уједно центар и полупречник лопте коју та сфера ограничава. Лопта је ротационо тело јер настаје ротацијом полукруга око свог пречника.
Шта је пресек равни и лопте зависи од растојања центра лопте од те равни (означимо га са \( d \)) у односу на полупречник лопте (\( r \)).
- Ако је \( d > r \): пресек је празан скуп (раван не сече лопту).
- Ако је \( d = r \): пресек је једна тачка. У овом случају раван зовемо тангентна раван, а једину заједничку тачку тачка додира.
- Ако је \( d < r \): пресек равни и лопте је круг.
- Специјално, ако је \( d = 0 \): раван пролази кроз центар лопте и пресек је велики круг лопте. Полупречник великог круга једнак је полупречнику саме лопте.
Полупречник пресечног круга (\( r_1 \)) када је \( d < r \) одређује се применом Питагорине теореме на троугао који чине полупречник лопте, полупречник пресека и растојање равни од центра:
\[ r_1 = \sqrt{r^2 - d^2} \]
Растојање центра лопте од равни је \( d = 12 \text{ cm} \). Одреди полупречник круга који представља пресек ове равни и лопте ако је полупречник лопте \( r = 13 \text{ cm} \).
Пошто је \( d < r \) (\( 12 < 13 \)), пресек је круг. Користимо Питагорину теорему:
\[ r_1 = \sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm} \]
Одговор: Полупречник пресечног круга је \( 5 \text{ cm} \).
Површина лопте (односно површина сфере која је ограничава) је тачно четири пута већа од површине њеног великог круга.
\[ P = 4r^2\pi \]
где је \( r \) полупречник лопте.
Ако је полупречник лопте \( r = 5,5 \text{ cm} \), онда је површина те лопте:
\[ P = 4 \cdot (5,5)^2 \cdot \pi = 4 \cdot 30,25 \cdot \pi = 121\pi \text{ cm}^2 \approx 379,94 \text{ cm}^2 \]
Запремина лопте може се замислити као збир запремина бесконачно много малих пирамида чији се врхови налазе у центру лопте, а чије базе чине површину сфере.
\[ V = \frac{4}{3}r^3\pi \]
где је \( r \) полупречник лопте.
Ако је полупречник лопте \( r = 6 \text{ cm} \), онда је запремина те лопте:
\[ V = \frac{4}{3} \cdot 6^3 \cdot \pi = \frac{4}{3} \cdot 216 \cdot \pi = 4 \cdot 72 \cdot \pi = 288\pi \text{ cm}^3 \]
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај површину и запремину лопте чији је полупречник \( r = 3 \text{ cm} \).
Површина:
\[ P = 4r^2\pi = 4 \cdot 3^2 \cdot \pi = 4 \cdot 9 \cdot \pi = 36\pi \text{ cm}^2 \]
Запремина:
\[ V = \frac{4}{3}r^3\pi = \frac{4}{3} \cdot 3^3 \cdot \pi = \frac{4}{3} \cdot 27 \cdot \pi = 36\pi \text{ cm}^3 \]
(Бројевне вредности површине и запремине се поклапају само у случају када је полупречник тачно 3.)
Средњи: Израчунај запремину лопте ако је њена површина \( P = 100\pi \text{ cm}^2 \).
Прво морамо одредити полупречник лопте из дате формуле за површину:
\[ 4r^2\pi = 100\pi \]
Дељењем са \( 4\pi \) добијамо:
\[ r^2 = 25 \implies r = 5 \text{ cm} \]
Сада рачунамо запремину користећи добијени полупречник:
\[ V = \frac{4}{3}r^3\pi = \frac{4}{3} \cdot 5^3 \cdot \pi = \frac{4}{3} \cdot 125 \cdot \pi = \frac{500\pi}{3} \text{ cm}^3 \]
Тежак: У коцку ивице \( a = 12 \text{ cm} \) уписана је лопта. Израчунај однос површине коцке и површине уписане лопте.
Ако је лопта уписана у коцку, све стране коцке су њене тангентне равни. То значи да је пречник лопте једнак ивици коцке, па је полупречник лопте \( r = \frac{a}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm} \).
Површина коцке: \[ P_k = 6a^2 = 6 \cdot 12^2 = 6 \cdot 144 = 864 \text{ cm}^2 \] Површина лопте: \[ P_l = 4r^2\pi = 4 \cdot 6^2 \cdot \pi = 4 \cdot 36 \cdot \pi = 144\pi \text{ cm}^2 \]
Тражени однос: \[ \frac{P_k}{P_l} = \frac{864}{144\pi} = \frac{6}{\pi} \] Одговор: Однос површине коцке и лопте је \( 6 : \pi \).
Површина коцке: \[ P_k = 6a^2 = 6 \cdot 12^2 = 6 \cdot 144 = 864 \text{ cm}^2 \] Површина лопте: \[ P_l = 4r^2\pi = 4 \cdot 6^2 \cdot \pi = 4 \cdot 36 \cdot \pi = 144\pi \text{ cm}^2 \]
Тражени однос: \[ \frac{P_k}{P_l} = \frac{864}{144\pi} = \frac{6}{\pi} \] Одговор: Однос површине коцке и лопте је \( 6 : \pi \).
