Најважније из лекције
Особине линеарне функције \( y = kx + n \):
- Растућа: \( k > 0 \) (график иде нагоре, оштар угао са \( x \)-осом).
- Опадајућа: \( k < 0 \) (график иде надоле, туп угао са \( x \)-осом).
- Нула функције: Вредност \( x \) за коју је \( y = 0 \) (место где график сече \( x \)-осу).
- Знак: Одређује за које \( x \) је график изнад \( x \)-осе (\( y > 0 \)), а за које испод (\( y < 0 \)). Зависи од нуле функције и од тога да ли функција расте или опада.
Код линеарних функција, промена вредности независно променљиве \( x \) утиче на вредност зависно променљиве \( y \). У зависности од тога, функција може бити растућа, опадајућа или константна.
Растућа функција: Ако се са повећањем вредности \( x \) повећава и вредност \( y \).
Услов: Коефицијент правца је позитиван (\( k > 0 \)).
График заклапа оштар угао са позитивним делом \( x \)-осе.
Услов: Коефицијент правца је позитиван (\( k > 0 \)).
График заклапа оштар угао са позитивним делом \( x \)-осе.
Опадајућа функција: Ако се са повећањем вредности \( x \) смањује вредност \( y \).
Услов: Коефицијент правца је негативан (\( k < 0 \)).
График заклапа туп угао са позитивним делом \( x \)-осе.
Услов: Коефицијент правца је негативан (\( k < 0 \)).
График заклапа туп угао са позитивним делом \( x \)-осе.
Константна функција: Повећање вредности \( x \) не утиче на вредност \( y \) (вредност је иста за сваки реалан број).
График је паралелан са \( x \)-осом.
График је паралелан са \( x \)-осом.
Да ли су следеће функције растуће или опадајуће?
а) \( y = 3x - 5 \)
б) \( y = -2x + 1 \)
а) \( y = 3x - 5 \)
б) \( y = -2x + 1 \)
а) За функцију \( y = 3x - 5 \), коефицијент правца је \( k = 3 \). Како је \( k > 0 \), функција је растућа.
б) За функцију \( y = -2x + 1 \), коефицијент правца је \( k = -2 \). Како је \( k < 0 \), функција је опадајућа.
б) За функцију \( y = -2x + 1 \), коефицијент правца је \( k = -2 \). Како је \( k < 0 \), функција је опадајућа.
Нула функције је вредност независно променљиве \( x \) за коју је вредност линеарне функције (зависно променљива \( y \)) једнака 0.
Геометријски гледано, нула функције представља \( x \)-координату тачке у којој график функције сече \( x \)-осу.
За функцију облика \( y = kx + n \) (где је \( k \neq 0 \)), нула функције се рачуна изједначавањем \( y \) са нулом:
\[ kx + n = 0 \implies x = -\frac{n}{k} \]
Тачка пресека са \( x \)-осом је \( (-\frac{n}{k}, 0) \).
Одредити нулу функције \( y = 2x - 6 \).
Изједначавамо функцију са нулом: \[ 2x - 6 = 0 \] \[ 2x = 6 \] \[ x = 3 \] Нула функције је \( x = 3 \). График сече \( x \)-осу у тачки \( (3, 0) \).
Изједначавамо функцију са нулом: \[ 2x - 6 = 0 \] \[ 2x = 6 \] \[ x = 3 \] Нула функције је \( x = 3 \). График сече \( x \)-осу у тачки \( (3, 0) \).
Одредити знак функције значи пронаћи за које вредности \( x \) је функција позитивна (\( y > 0 \), график је изнад \( x \)-осе), а за које је негативна (\( y < 0 \), график је испод \( x \)-осе).
За растућу функцију (\( k > 0 \)):
- Позитивна (\( y > 0 \)) за вредности \( x \) веће од нуле функције.
- Негативна (\( y < 0 \)) за вредности \( x \) мање од нуле функције.
За опадајућу функцију (\( k < 0 \)):
- Позитивна (\( y > 0 \)) за вредности \( x \) мање од нуле функције.
- Негативна (\( y < 0 \)) за вредности \( x \) веће од нуле функције.
Одреди знак функције \( y = -x + 4 \).
Прво одређујемо нулу функције:
\[ -x + 4 = 0 \implies x = 4 \]
Пошто је коефицијент правца \( k = -1 \) (\( k < 0 \)), функција је опадајућа.
Знак функције:
Функција је позитивна (\( y > 0 \)) за \( x < 4 \).
Функција је негативна (\( y < 0 \)) за \( x > 4 \).
Знак функције:
Функција је позитивна (\( y > 0 \)) за \( x < 4 \).
Функција је негативна (\( y < 0 \)) за \( x > 4 \).
Задаци за вежбање
Лак: На основу датих функција одреди која је растућа, а која опадајућа:
1) \( y = \frac{1}{2}x + 3 \)
2) \( y = -4x - 1 \)
1) \( y = \frac{1}{2}x + 3 \)
2) \( y = -4x - 1 \)
1) За \( y = \frac{1}{2}x + 3 \), коефицијент правца је \( k = \frac{1}{2} \). Како је \( k > 0 \), функција је растућа.
2) За \( y = -4x - 1 \), коефицијент правца је \( k = -4 \). Како је \( k < 0 \), функција је опадајућа.
2) За \( y = -4x - 1 \), коефицијент правца је \( k = -4 \). Како је \( k < 0 \), функција је опадајућа.
Средњи: Датa је функција \( y = 3x + 9 \). Одреди нулу ове функције и координате тачке у којој график сече \( x \)-осу.
Да бисмо нашли нулу функције, изједначавамо \( y \) са 0:
\[ 3x + 9 = 0 \]
\[ 3x = -9 \]
\[ x = -3 \]
Одговор: Нула функције је \( x = -3 \). Тачка пресека графика са \( x \)-осом је \( (-3, 0) \).
Тежак: За функцију \( 2x + y - 4 = 0 \), преведи је у експлицитни облик, испитај да ли је растућа или опадајућа, одреди њену нулу и испитај знак.
1. Експлицитни облик: Изражавамо \( y \):
\[ y = -2x + 4 \]
2. Рашћење/опадање: Коефицијент правца је \( k = -2 \). Како је \( k < 0 \), функција је опадајућа.
3. Нула функције: \[ -2x + 4 = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2 \] 4. Знак функције: Како је функција опадајућа и има нулу у \( x = 2 \):
Функција је позитивна (\( y > 0 \)) за \( x < 2 \).
Функција је негативна (\( y < 0 \)) за \( x > 2 \).
3. Нула функције: \[ -2x + 4 = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2 \] 4. Знак функције: Како је функција опадајућа и има нулу у \( x = 2 \):
Функција је позитивна (\( y > 0 \)) за \( x < 2 \).
Функција је негативна (\( y < 0 \)) за \( x > 2 \).
