V.3. Особине Линеарне Функције

а) \( y = x + 3 \)

Корак 1: Одређивање монотоности на основу коефицијента правца

Код функције \( y = x + 3 \), коефицијент правца је: \[ k = 1 \] Како је \( k > 0 \), функција је растућа.

Корак 2: Одређивање тачака за цртање графика

Одредимо тачке пресека са осама: - За \( x = 0 \): \[ y = 0 + 3 = 3 \implies (0, 3) \] - За \( y = 0 \): \[ x + 3 = 0 \implies x = -3 \implies (-3, 0) \]

Корак 3: Цртање графика и одређивање угла

Нацртај Декартов координатни систем са x-осом у опсегу од -4 до 4 и y-осом у опсегу од -1 до 4. Осе треба да имају стрелице на крајевима и да буду обележене са 'x' и 'y'. Обележи координатни почетак (0,0). Обележи тачку (0, 3) на y-оси и тачку (-3, 0) на x-оси, користећи мале кругове за обележавање тачака и приказујући њихове координате поред њих. Повуци праву линију која пролази кроз ове две тачке, продужавајући је до ивица координатног система. Обележи угао \(\alpha\) који права заклапа са позитивним делом x-осе. Угао треба да буде означен малим луком, мерен од позитивног дела x-осе у смеру супротном казаљки на сату до праве, са врхом у тачки (-3,0), и обележен са '\(\alpha\)'. Уочићеш да је то оштар угао. Права пролази кроз тачке \( (-3, 0) \) и \( (0, 3) \). Права заклапа оштар угао са позитивним делом \( x \)-осе.

б) \( y = -3x - 5 \)

Корак 1: Одређивање монотоности на основу коефицијента правца

Код функције \( y = -3x - 5 \), коефицијент правца је: \[ k = -3 \] Како је \( k < 0 \), функција је опадајућа.

Корак 2: Одређивање тачака за цртање графика

Одредимо две тачке са целобројним координатама: - За \( x = 0 \): \[ y = -3 \cdot 0 - 5 = -5 \implies (0, -5) \] - За \( x = -2 \): \[ y = -3 \cdot (-2) - 5 = 6 - 5 = 1 \implies (-2, 1) \]

Корак 3: Цртање графика и одређивање угла

Нацртај Декартов координатни систем са x-осом и y-осом, обележеним стрелицама на позитивним смеровима. Означи координатни почетак као O(0,0). Обележи тачку A(0, -5) на y-оси и тачку B(-2, 1) у координатном систему. Повуци праву линију кроз тачке A и B, која се протеже изван њих. Пронађи тачку C, пресек ове праве линије са x-осом. На тачки C, обележи туп угао \(\alpha\) који права заклапа са позитивним делом x-осе. Угао треба да буде приказан луком, мереним од позитивног смера x-осе (десно од C) у смеру супротном казаљки на сату до праве линије. Права пролази кроз тачке \( (0, -5) \) и \( (-2, 1) \). Права заклапа туп угао са позитивним делом \( x \)-осе.

в) \( y = \frac{2}{3}x \)

Корак 1: Одређивање монотоности на основу коефицијента правца

Код функције \( y = \frac{2}{3}x \), коефицијент правца је: \[ k = \frac{2}{3} \] Како је \( k > 0 \), функција је растућа.

Корак 2: Одређивање тачака за цртање графика

Ово је функција директне пропорционалности, па график пролази кроз координатни почетак: - За \( x = 0 \): \[ y = \frac{2}{3} \cdot 0 = 0 \implies (0, 0) \] - За \( x = 3 \): \[ y = \frac{2}{\cancel{3}_1} \cdot \cancel{3}^1 = 2 \implies (3, 2) \]

Корак 3: Цртање графика и одређивање угла

Нацртај Декартов координатни систем са x-осом и y-осом. Обе осе треба да имају стрелице на позитивним крајевима и да буду означене са 'x' и 'y' респективно. Опсег x-осе нека буде од -1 до 4, а y-осе од -1 до 3. Обележи координатни почетак (0, 0) на пресеку x-осе и y-осе. Обележи тачку (3, 2) на графику. Повуци праву линију која пролази кроз координатни почетак (0, 0) и тачку (3, 2), протежући се изван обе тачке. Обележи угао \alpha (алфа) који ова права заклапа са позитивним делом x-осе. Врх угла је у координатном почетку (0, 0), а угао се мери од позитивног дела x-осе до праве у смеру супротном од казаљке на сату. Визуелно прикажи угао малом лучном ознаком и означи га као \alpha. Напомена: овај угао је оштар. Права пролази кроз тачке \( (0, 0) \) и \( (3, 2) \). Права заклапа оштар угао са позитивним делом \( x \)-осе.

г) \( y = -\frac{1}{2}x + 1 \)

Корак 1: Одређивање монотоности на основу коефицијента правца

Код функције \( y = -\frac{1}{2}x + 1 \), коефицијент правца је: \[ k = -\frac{1}{2} \] Како је \( k < 0 \), функција је опадајућа.

Корак 2: Одређивање тачака за цртање графика

Одредимо тачке пресека са осама: - За \( x = 0 \): \[ y = -\frac{1}{2} \cdot 0 + 1 = 1 \implies (0, 1) \] - За \( y = 0 \): \[ -\frac{1}{2}x + 1 = 0 \implies \frac{1}{2}x = 1 \implies x = 2 \implies (2, 0) \]

Корак 3: Цртање графика и одређивање угла

Нацртај Декартов координатни систем са хоризонталном x-осом и вертикалном y-осом. Обе осе треба да буду обележене одговарајућим словима \(x\) и \(y\), и да имају стрелице које показују позитивне смерове. Координатни почетак \(O(0,0)\) треба да буде јасно означен. Обележи тачку \(A(0, 1)\) на позитивној y-оси и тачку \(B(2, 0)\) на позитивној x-оси. Обе тачке треба да буду видљиво обележене малим круговима или тачкама и означене својим координатама. Повуци праву линију \(L\) која пролази кроз тачке \(A\) и \(B\). Ова права треба да се протеже у оба смера, благо изван обележених тачака и граница координатног система, тако да пресеца обе осе. Обележи угао \(\alpha\) који права \(L\) заклапа са позитивним делом x-осе. Теме овог угла је тачка \(B(2,0)\). Угао се мери од позитивног дела x-осе, у смеру супротном од казаљке на сату, до праве \(L\). Угао треба да буде визуелно означен луком и етикетом \(\alpha\), постављеним тако да јасно приказује туп угао. Права пролази кроз тачке \( (0, 1) \) и \( (2, 0) \). Права заклапа туп угао са позитивним делом \( x \)-осе.

а)

\( k = 1 > 0 \implies \) растућа, оштар угао Тачке: \( (0, 3) \), \( (-3, 0) \)

б)

\( k = -3 < 0 \implies \) опадајућа, туп угао Тачке: \( (0, -5) \), \( (-2, 1) \)

в)

\( k = \frac{2}{3} > 0 \implies \) растућа, оштар угао Тачке: \( (0, 0) \), \( (3, 2) \)

г)

\( k = -\frac{1}{2} < 0 \implies \) опадајућа, туп угао Тачке: \( (0, 1) \), \( (2, 0) \)