Најважније из лекције
Услов равнотеже: Тело је у равнотежи када је резултанта свих сила једнака нули (\( F_{rez} = 0 \)). Тада тело мирује (статичка равнотежа) или се креће сталном брзином (динамичка равнотежа).
Слагање сила истог правца: Силе истог смера се сабирају (\( F = F_1 + F_2 \)), а силе супротних смерова се одузимају (\( F = |F_1 - F_2| \)). За међусобно нормалне силе важи \( F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} \).
Други Њутнов закон: \( ma = F_{rez} \). У једначини кретања силе у смеру убрзања имају предзнак \( + \), а силе супротне убрзању \( - \).
Разлагање силе: Коса сила се замењује са две компоненте. Код угла од \( 30^\circ \), катета наспрам угла је \( \frac{1}{2}F \), а наспрам \( 60^\circ \) је \( F\frac{\sqrt{3}}{2} \). Код угла од \( 45^\circ \), обе компоненте износе \( F\frac{\sqrt{2}}{2} \).
Слагање сила истог правца: Силе истог смера се сабирају (\( F = F_1 + F_2 \)), а силе супротних смерова се одузимају (\( F = |F_1 - F_2| \)). За међусобно нормалне силе важи \( F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} \).
Други Њутнов закон: \( ma = F_{rez} \). У једначини кретања силе у смеру убрзања имају предзнак \( + \), а силе супротне убрзању \( - \).
Разлагање силе: Коса сила се замењује са две компоненте. Код угла од \( 30^\circ \), катета наспрам угла је \( \frac{1}{2}F \), а наспрам \( 60^\circ \) је \( F\frac{\sqrt{3}}{2} \). Код угла од \( 45^\circ \), обе компоненте износе \( F\frac{\sqrt{2}}{2} \).
Тело се налази у стању равнотеже када је резултујућа сила која делује на њега једнака нули (\( F_{rez} = 0 \)). У равнотежи тело или мирује или се креће равномерно праволинијски.
Статичка равнотежа: Стање у којем тело мирује под дејством уравнотежених сила (нпр. лифт који стоји на спрату).
Динамичка равнотежа: Стање у којем се тело креће равномерно праволинијски (сталном брзином) под дејством уравнотежених сила (нпр. лифт или падобранац који се креће сталном брзином).
Врсте статичке равнотеже према постојаности положаја:
- Стабилна равнотежа: Након малог померања, тело се само враћа у првобитни равнотежни положај (нпр. куглица на дну посуде/цедиљке).
- Нестабилна (лабилна) равнотежа: Након малог померања, тело се не враћа у почетни положај, већ се све више удаљава од њега (нпр. куглица на врху преврнуте посуде).
- Неутрална (индиферентна) равнотежа: Након померања, тело остаје у мировању у новом положају (нпр. куглица на равној хоризонталној плочи).
Падобранац масе \( 80 \text{ kg} \) спушта се вертикално ка земљи сталном брзином. У ком облику равнотеже се налази падобранац и колика сила отпора ваздуха делује на њега (\( g \approx 10 \text{ m/s}^2 \))?
Пошто се падобранац креће равномерно праволинијски (\( v = \text{const} \)), он се налази у динамичкој равнотежи.
Резултујућа сила је једнака нули: \[ F_{rez} = F_{ot} - F_g = 0 \implies F_{ot} = F_g = mg \] \[ F_{ot} = 80 \text{ kg} \cdot 10 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} = 800 \text{ N} \]
Резултујућа сила је једнака нули: \[ F_{rez} = F_{ot} - F_g = 0 \implies F_{ot} = F_g = mg \] \[ F_{ot} = 80 \text{ kg} \cdot 10 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} = 800 \text{ N} \]
Резултујућа сила (резултанта \( F \)): Једна сила која по свом дејству на тело у потпуности замењује истовремено деловање више појединачних сила.
1. Силе истог правца и истог смера:
\[ F = F_1 + F_2 \]
Резултанта има исти правац и смер као и дате силе, а интензитет јој је једнак њиховом збиру.
2. Силе истог правца и супротних смерова:
\[ F = |F_1 - F_2| \]
Резултанта има правац обе силе, смер веће силе, а интензитет јој је једнак разлици веће и мање силе.
Ако две особе гурају орман у истом смеру силама \( F_1 = 150 \text{ N} \) и \( F_2 = 200 \text{ N} \), резултујућа сила је:
\[ F = 150 \text{ N} + 200 \text{ N} = 350 \text{ N} \]
Ако га вуку у супротним смеровима, резултанта је:
\[ F = 200 \text{ N} - 150 \text{ N} = 50 \text{ N} \quad (\text{у смеру јаче силе}) \]
Два дечака вуку конопац дуж истог правца. Један дечак вуче удесно силом од \( 220 \text{ N} \), а други улево силом од \( 260 \text{ N} \). Колика је резултујућа сила и на коју страну ће се конопац померити?
Силе имају исти правац, али супротне смерове:
\[ F = F_2 - F_1 = 260 \text{ N} - 220 \text{ N} = 40 \text{ N} \]
Одговор: Резултујућа сила износи \( 40 \text{ N} \) и усмерена је улево (у смеру веће силе).
Када две силе делују под углом, њихова резултанта се добија геометријским сабирањем (правилом паралелограма).
Правило паралелограма:
Вектори двеју сила се доведу у заједнички почетак. Над њима се конструише паралелограм. Резултанта је усмерена дуж која се поклапа са дијагоналом тог паралелограма која полази из заједничког почетка.
Посебан случај: Силе под правим углом (\( 90^\circ \)):
\[ F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} \]
Интензитет резултанте израчунава се применом Питагорине теореме над правоуглим троуглом чије су катете интензитети појединачних сила.
На чамац истовремено делују две међусобно нормалне силе: речна струја јачине \( F_1 = 30 \text{ N} \) и мотор чамца силом \( F_2 = 40 \text{ N} \). Израчунај интензитет резултујуће силе која покреће чамац.
Како силе заклапају угао од \( 90^\circ \), користимо Питагорину теорему:
\[ F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50 \text{ N} \]
\[ m \cdot a = F_{rez} \]
Производ масе и убрзања тела једнак је резултујућој сили која на њега делује. Убрзање има исти правац и смер као и резултујућа сила.
Нацртати скицу тела и означити све силе које делују у правцу кретања (укључујући смер претпостављеног убрзања \( a \)).
Поставити једначину динамике: силе које делују у смеру убрзања узимају се са знаком плус (+), а силе које делују супротно смеру убрзања са знаком минус (−):
\[ m a = \sum F_{(+)} - \sum F_{(-)} \]
Из једначине израчунати непознату величину (убрзање, масу или неку од сила).
Кретање лифта навише са убрзањем \( a \):
На лифт навише делује сила затезања ужета \( F_z \), а наниже сила теже \( mg \): \[ ma = F_z - mg \implies F_z = m(g + a) \]
На лифт навише делује сила затезања ужета \( F_z \), а наниже сила теже \( mg \): \[ ma = F_z - mg \implies F_z = m(g + a) \]
Дизалица подиже терет масе \( 500 \text{ kg} \) вертикално навише убрзањем \( 2 \text{ m/s}^2 \). Колика је сила затезања сајле (\( g = 10 \text{ m/s}^2 \))?
Убрзање је усмерено навише, па је сила затезања већа од силе теже:
\[ ma = F_z - mg \implies F_z = m(g + a) \]
\[ F_z = 500 \text{ kg} \cdot (10 + 2) \frac{\text{m}}{\text{s}^2} = 500 \cdot 12 = 6000 \text{ N} = 6 \text{ kN} \]
Разлагање силе је поступак супротан слагању: дејство једне силе \( F \) замењује се деловањем две силе (компоненте), најчешће у правцу кретања (\( F_p \)) и правцу нормалном на кретање (\( F_n \)).
Када се сила разложи на своје компоненте, та почетна сила се више не посматра – у обзир се узимају искључиво њене компоненте!
Карактеристични односи у правоуглим троугловима за израчунавање компонената:
-
Углови \( 30^\circ \) и \( 60^\circ \):
Катета наспрам угла од \( 30^\circ \) једнака је половини хипотенузе: \( \frac{1}{2} F \).
Катета наспрам угла од \( 60^\circ \) износи: \( F \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866 \cdot F \). -
Углови од \( 45^\circ \):
Обе катете су једнаке и износе: \( F \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707 \cdot F \).
Када тело клизи низ глатку косу раван нагиба \( \alpha \), силом теже \( F_g = mg \) се управља вертикално наниже. На кретање утиче само њена паралелна компонента:
\[ ma = F_p \]
За нагиб од \( \alpha = 30^\circ \): \( F_p = \frac{1}{2} mg \implies a = \frac{1}{2} g = 5 \text{ m/s}^2 \).
За нагиб од \( \alpha = 45^\circ \): \( F_p = mg \frac{\sqrt{2}}{2} \implies a = g \frac{\sqrt{2}}{2} \).
За нагиб од \( \alpha = 45^\circ \): \( F_p = mg \frac{\sqrt{2}}{2} \implies a = g \frac{\sqrt{2}}{2} \).
Дечак вуче санке по хоризонталном снегу силом конопца \( F = 40 \text{ N} \) под углом од \( 60^\circ \) у односу на хоризонталу. Колика компонента те силе заправо вуче санке напред?
Угао између силе и хоризонталног правца је \( 60^\circ \). То значи да је угао наспрам хоризонталне компоненте у правоуглом троуглу једнак \( 30^\circ \).
Хоризонтална компонента је катета наспрам \( 30^\circ \): \[ F_p = \frac{1}{2} F = \frac{1}{2} \cdot 40 \text{ N} = 20 \text{ N} \]
Хоризонтална компонента је катета наспрам \( 30^\circ \): \[ F_p = \frac{1}{2} F = \frac{1}{2} \cdot 40 \text{ N} = 20 \text{ N} \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лаки): На тело које се креће по столу делују две силе у хоризонталном правцу: вучна сила од \( 15 \text{ N} \) удесно и сила трења од \( 6 \text{ N} \) улево. Колика је резултујућа сила и у ком смеру тело има убрзање?
Силе су колинеарне и супротног смера:
\[ F_{rez} = F_{vuc} - F_{tr} = 15 \text{ N} - 6 \text{ N} = 9 \text{ N} \]
Одговор: Резултујућа сила износи \( 9 \text{ N} \), а убрзање има смер деловања вучне силе (удесно).
Задатак 2 (Средњи): Колица масе \( 4 \text{ kg} \) гурају се хоризонталном силом од \( 18 \text{ N} \). Сила трења која се јавља при котрљању износи \( 2 \text{ N} \). Колико је убрзање колица?
Према Другом Њутновом закону:
\[ ma = F - F_{tr} \]
\[ 4 \text{ kg} \cdot a = 18 \text{ N} - 2 \text{ N} = 16 \text{ N} \]
\[ a = \frac{16 \text{ N}}{4 \text{ kg}} = 4 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \]
Одговор: Убрзање колица је \( 4 \text{ m/s}^2 \).
Задатак 3 (Средњи): Лифт заједно са путницима има укупну масу \( 600 \text{ kg} \). Сајла лифта издржава максималну силу затезања од \( 7800 \text{ N} \). Колико је највеће дозвољено убрзање лифта при подизању навише (\( g = 10 \text{ m/s}^2 \))?
Једначина кретања лифта убрзано навише гласи:
\[ ma = F_z - mg \]
\[ a = \frac{F_z - mg}{m} \]
Сила теже је \( mg = 600 \text{ kg} \cdot 10 \text{ m/s}^2 = 6000 \text{ N} \).
\[ a = \frac{7800 \text{ N} - 6000 \text{ N}}{600 \text{ kg}} = \frac{1800 \text{ N}}{600 \text{ kg}} = 3 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \]
Одговор: Највеће убрзање лифта сме бити \( 3 \text{ m/s}^2 \).
Задатак 4 (Тежи): Тело масе \( 6 \text{ kg} \) пуштено је да се клиже низ савршено глатку косу раван нагнуту под углом од \( 30^\circ \) према хоризонтали (\( g = 10 \text{ m/s}^2 \)).
а) Колика компонента силе теже убрзава тело низ раван?
б) Колику брзину тело достиже после \( 3 \text{ s} \) кретања из мировања?
а) Колика компонента силе теже убрзава тело низ раван?
б) Колику брзину тело достиже после \( 3 \text{ s} \) кретања из мировања?
а) Код косе равни нагиба \( 30^\circ \), паралелна компонента силе теже налази се наспрам угла од \( 30^\circ \):
\[ F_p = \frac{1}{2} F_g = \frac{1}{2} mg = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ kg} \cdot 10 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} = 30 \text{ N} \]
б) Према Другом Њутновом закону:
\[ ma = F_p \implies a = \frac{F_p}{m} = \frac{30 \text{ N}}{6 \text{ kg}} = 5 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \]
Брзина после времена \( t = 3 \text{ s} \):
\[ v = a \cdot t = 5 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 3 \text{ s} = 15 \frac{\text{m}}{\text{s}} \]
Одговор: Паралелна компонента износи \( 30 \text{ N} \), а брзина након \( 3 \text{ s} \) је \( 15 \text{ m/s} \).
