Најважније из лекције
Сва вертикална кретања у пољу Земљине теже одвијају се са сталним убрзањем \(g = 9,8 \text{ m/s}^2\):
- Слободан пад (\(v_0 = 0\)): Убрзано кретање наниже. Брзина расте као \(v = gt\), путеви по секундама расту у односу \(1 : 4 : 9 \dots\), време пада је \(t = \sqrt{2h/g}\).
- Бестежинско стање: Јавља се код сваког тела које слободно пада јер тело губи својство притискања подлоге (\(Q = 0\)).
- Вертикални хитац наниже: Убрзано кретање са почетном брзином према тлу (\(v = v_0 + gt\), \(s = v_0t + \frac{gt^2}{2}\)).
- Вертикални хитац навише: Кретање састојано од успореног пењања (\(v = v_0 - gt\)) и убрзаног падања. Карактерише га симетрија: \(t_{\uparrow} = t_{\downarrow} = \frac{v_0}{g}\), \(t_u = \frac{2v_0}{g}\), максимална висина \(h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g}\), а брзина при повратку има исти интензитет као почетна (\(v = v_0\)).
Слободан пад је праволинијско кретање тела без почетне брзине (\(v_0 = 0\)) само под утицајем силе Земљине теже, са сталним убрзањем \(g \approx 9,8 \text{ m/s}^2\).
Зависност брзине од времена:
\[ v = g \cdot t \]
Зависност пређеног пута од времена:
\[ s = \frac{g \cdot t^2}{2} \]
Зависност брзине од пређеног пута:
\[ v^2 = 2 \cdot g \cdot s \implies v = \sqrt{2 \cdot g \cdot s} \]
Ако тело слободно пада са висине \(h\), укупан пређени пут до тла је \(s = h\):
- Време падања: \(t = \sqrt{\frac{2h}{g}}\)
- Брзина удара о тло: \(v = \sqrt{2gh}\)
- Тренутна висина тела изнад тла у тренутку \(t\): \(h_t = h - \frac{g \cdot t^2}{2}\)
Пређени путеви у узастопним временским интервалима од почека кретања односе се као квадрати узастопних природних бројева:
\[ s_1 : s_2 : s_3 : s_4 : \dots = 1^2 : 2^2 : 3^2 : 4^2 : \dots = 1 : 4 : 9 : 16 : \dots \]
Са ког пута је пала лоптица ако је њен пад трајао \(t = 2 \text{ s}\)? Узети \(g = 9,8 \text{ m/s}^2\).
Користимо формулу за пређени пут:
\[ h = \frac{g \cdot t^2}{2} = \frac{9,8 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (2 \text{ s})^2}{2} = \frac{9,8 \cdot 4}{2} = 19,6 \text{ m} \]
Бестежинско стање је стање тела у коме је његова тежина једнака нули (\(Q = 0\)).
Свако тело које се креће само под утицајем силе теже (слободно пада) налази се у бестежинском стању. Иако сила теже и даље делује на тело дајући му убрзање \(g\), тело не врши притисак на подлогу нити затеже нит о коју је обешено.
- Динамометар на коме виси тег, у тренутку када се пусти да слободно пада, показује вредност силе једнаку нули.
- Ако се пластична чаша са водом која има отвор на дну пусти да слободно пада, вода током падања престаје да истиче кроз отвор.
- Астронаути у Међународној свемирској станици су у бестежинском стању јер се станица заједно са њима непрекидно налази у стању слободног пада кружећи око Земље.
Вертикални хитац наниже је равномерно убрзано праволинијско кретање тела са почетном брзином \(v_0\) усмереном вертикално наниже, под искључивим утицајем силе теже (\(a = g\)).
Зависност брзине од времена:
\[ v = v_0 + g \cdot t \]
Зависност пређеног пута од времена:
\[ s = v_0 \cdot t + \frac{g \cdot t^2}{2} \]
Зависност брзине од пређеног пута:
\[ v^2 = v_0^2 + 2 \cdot g \cdot s \implies v = \sqrt{v_0^2 + 2 \cdot g \cdot s} \]
Тренутна висина тела изнад тла након времена \(t\) рачуна се као:
\[ h_t = h - s = h - \left( v_0 \cdot t + \frac{g \cdot t^2}{2} \right) \]
Негативна вредност тренутне висине (\(h_t < 0\)) означава да се тело у том тренутку налази испод референтног нивоа са кога је бачено (нпр. када је бачено са литице у кањон).
Тело је бачено вертикално наниже почетном брзином \(v_0 = 3 \text{ m/s}\). Колика је његова брзина након што пређе пут од \(s = 2 \text{ m}\)? Узети \(g = 9,8 \text{ m/s}^2\).
Примењујемо формулу за везу брзине и пута:
\[ v = \sqrt{v_0^2 + 2 \cdot g \cdot s} = \sqrt{\left(3 \frac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2 + 2 \cdot 9,8 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 2 \text{ m}} = \sqrt{9 + 39,2} = \sqrt{48,2} \approx 6,94 \frac{\text{m}}{\text{s}} \]
Вертикални хитац навише је кретање тела којем је саопштена почетна брзина \(v_0\) усмерена вертикално навише, под дејством силе теже. Састоји се из две фазе: равномерно успореног кретања при пењању и слободног пада при спуштању.
Зависност брзине од времена:
\[ v = v_0 - g \cdot t \]
Зависност пређеног пута од времена:
\[ s = v_0 \cdot t - \frac{g \cdot t^2}{2} \]
Зависност брзине од пређеног пута:
\[ v^2 = v_0^2 - 2 \cdot g \cdot s \]
Тренутна висина тела изнад тла:
\[ h_t = v_0 \cdot t - \frac{g \cdot t^2}{2} \]
Кључне симетрије вертикалног хица навише:
- Време пењања до максималне висине (када је \(v = 0\)): \[ t_{\uparrow} = \frac{v_0}{g} \]
- Максимална достигнута висина: \[ h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} \]
- Време пењања једнако је времену падања назад на полазни ниво: \(t_{\uparrow} = t_{\downarrow}\).
- Укупно време кретања је двоструко време пењања: \[ t_u = 2 \cdot t_{\uparrow} = \frac{2v_0}{g} \]
- Интензитет брзине у тренутку повратка на полазни ниво једнак је интензитету почетне брзине, али супротног смера: \(\vec{v} = -\vec{v}_0\).
Лоптица је бачена увис почетном брзином \(v_0 = 14,7 \text{ m/s}\). Колико износи време пењања и максимална висина? (\(g = 9,8 \text{ m/s}^2\))
Време пењања:
\[ t_{\uparrow} = \frac{v_0}{g} = \frac{14,7 \frac{\text{m}}{\text{s}}}{9,8 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}} = 1,5 \text{ s} \]
Максимална висина:
\[ h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{(14,7 \frac{\text{m}}{\text{s}})^2}{2 \cdot 9,8 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}} = \frac{216,09}{19,6} \approx 11,025 \text{ m} \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Тело слободно пада са врха зграде и удара о тло након \(t = 3 \text{ s}\). Одреди висину зграде и брзину којом тело удара о тло. Узети \(g = 9,8 \text{ m/s}^2\).
Висина зграде одговара пређеном путу:
\[ h = \frac{g \cdot t^2}{2} = \frac{9,8 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (3 \text{ s})^2}{2} = \frac{9,8 \cdot 9}{2} = 44,1 \text{ m} \]
Брзина тела при удару:
\[ v = g \cdot t = 9,8 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 3 \text{ s} = 29,4 \frac{\text{m}}{\text{s}} \]
Задатак 2 (средњи): Са моста високог \(h = 25 \text{ m}\) бачен је камен вертикално наниже почетном брзином \(v_0 = 5 \text{ m/s}\). На којој висини изнад реке ће се камен налазити после \(t = 1 \text{ s}\) од тренутка бацања? Узети \(g = 9,8 \text{ m/s}^2\).
Пређени пут за време од \(1 \text{ s}\) износи:
\[ s = v_0 \cdot t + \frac{g \cdot t^2}{2} = 5 \frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 1 \text{ s} + \frac{9,8 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (1 \text{ s})^2}{2} = 5 \text{ m} + 4,9 \text{ m} = 9,9 \text{ m} \]
Тренутна висина изнад воде је:
\[ h_t = h - s = 25 \text{ m} - 9,9 \text{ m} = 15,1 \text{ m} \]
Задатак 3 (средњи): Стрела је одапета вертикално навише почетном брзином \(v_0 = 29,4 \text{ m/s}\). Израчунај:
а) време за које стрела достигне највишу тачку;
б) максималну висину;
в) укупно време од тренутка избацивања до пада на место одапињања.
а) време за које стрела достигне највишу тачку;
б) максималну висину;
в) укупно време од тренутка избацивања до пада на место одапињања.
а) Време пењања до максималне висине:
\[ t_{\uparrow} = \frac{v_0}{g} = \frac{29,4 \frac{\text{m}}{\text{s}}}{9,8 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}} = 3 \text{ s} \]
б) Максимална висина:
\[ h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{\left(29,4 \frac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2}{2 \cdot 9,8 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}} = \frac{864,36}{19,6} = 44,1 \text{ m} \]
в) Укупно време кретања:
\[ t_u = 2 \cdot t_{\uparrow} = 2 \cdot 3 \text{ s} = 6 \text{ s} \]
Задатак 4 (тежак): Тело је избачено вертикално навише почетном брзином \(v_0 = 20 \text{ m/s}\). Одреди брзину и смер кретања тела у тренутку \(t = 3 \text{ s}\). Узети \(g = 9,8 \text{ m/s}^2\).
Брзина код вертикалног хица навише у тренутку \(t\) дата је изразом:
\[ v = v_0 - g \cdot t = 20 \frac{\text{m}}{\text{s}} - 9,8 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 3 \text{ s} = 20 \frac{\text{m}}{\text{s}} - 29,4 \frac{\text{m}}{\text{s}} = -9,4 \frac{\text{m}}{\text{s}} \]
Знак минус показује да је вектор брзине супротан од смера почетне брзине. То значи да је тело већ прошло кроз максималну висину (која је достигнута у тренутку \(t_{\uparrow} = \frac{20}{9,8} \approx 2,04 \text{ s}\)) и да се сада креће наниже брзином интензитета \(9,4 \text{ m/s}\).
