Најважније из лекције
Механички рад: \( A = F \cdot s \) (јединица: џул, \( \text{J} \)). Позитиван је у смеру кретања, а негативан ако се противи кретању (нпр. рад трења: \( A_{tr} = -F_{tr} s \)).
Кинетичка енергија: \( E_k = \frac{mv^2}{2} \) – енергија кретања тела; зависи од масе и квадрата брзине.
Потенцијална енергија: \( E_p = mgh \) – енергија положаја у гравитационом пољу Земље; одређује се у односу на изабрани референтни ниво.
Закон одржања механичке енергије: У систему без деловања спољашњих отпора: \( E_k + E_p = \text{const.} \). Ако силе отпора или спољашње силе врше рад: \( E_1 + A = E_2 \).
Снага и корисни ефекат: Брзина вршења рада је снага \( P = \frac{A}{t} = F \cdot v \) (јединица: ват, \( \text{W} \)). Ефикасност машине описује се коефицијентом корисног дејства \( \eta = \frac{A_k}{A_u} = \frac{P_k}{P_u} < 1 \).
Кинетичка енергија: \( E_k = \frac{mv^2}{2} \) – енергија кретања тела; зависи од масе и квадрата брзине.
Потенцијална енергија: \( E_p = mgh \) – енергија положаја у гравитационом пољу Земље; одређује се у односу на изабрани референтни ниво.
Закон одржања механичке енергије: У систему без деловања спољашњих отпора: \( E_k + E_p = \text{const.} \). Ако силе отпора или спољашње силе врше рад: \( E_1 + A = E_2 \).
Снага и корисни ефекат: Брзина вршења рада је снага \( P = \frac{A}{t} = F \cdot v \) (јединица: ват, \( \text{W} \)). Ефикасност машине описује се коефицијентом корисног дејства \( \eta = \frac{A_k}{A_u} = \frac{P_k}{P_u} < 1 \).
| Физичка величина | Ознака величине | Мерна јединица | Ознака јединице |
|---|---|---|---|
| Рад силе | \( A \) | џул | \( \text{J} \) |
| Механичка енергија | \( E \) | џул | \( \text{J} \) |
| Кинетичка енергија | \( E_k \) | џул | \( \text{J} \) |
| Потенцијална енергија | \( E_p \) | џул | \( \text{J} \) |
| Снага | \( P \) | ват | \( \text{W} \) |
| Коефицијент корисног дејства | \( \eta \) | / (неименован број) | / |
Механички рад је физичка величина једнака производу силе и пређеног пута дуж правца деловања те силе.
\( A \)
џул (\( \text{J} \)), где је \( 1\text{ J} = 1\text{ N} \cdot 1\text{ m} \)
\[ A = F \cdot s \]
\( F \) – интензитет силе, \( s \) – пређени пут
Знак рада силе:
- Рад је позитиван (\( A > 0 \)) ако се тело креће у смеру деловања силе.
- Рад је негативан (\( A < 0 \)) ако се тело креће у смеру супротном од смера деловања силе (нпр. рад силе трења или отпора средине).
При савлађивању силе трења клизања \( F_{tr} = \mu m g \) на путу \( s \), рад силе трења износи:
\[ A_{tr} = - F_{tr} \cdot s = - \mu m g s \]
Дизалица подиже терет масе \( 400\text{ kg} \) на висину од \( 15\text{ m} \) равномерно праволинијски. Колики рад изврши сила подизања? (\( g = 9,81\text{ m/s}^2 \))
При равномерном подизању, вучна сила једнака је тежини терета:
\[ F = F_g = mg = 400\text{ kg} \cdot 9,81\text{ m/s}^2 = 3\,924\text{ N} \]
Извршени рад је:
\[ A = F \cdot h = 3\,924\text{ N} \cdot 15\text{ m} = 58\,860\text{ J} = 58,86\text{ kJ} \]
Кинетичка енергија је способност тела да врши рад услед свог кретања. Свако тело које поседује масу и креће се брзином \( v \) има кинетичку енергију.
\( E_k \)
џул (\( \text{J} \))
\[ E_k = \frac{m \cdot v^2}{2} \]
\( m \) – маса тела (\(\text{kg}\)), \( v \) – брзина тела (\(\text{m/s}\))
Кинетичка енергија зависи од квадрата брзине. Ако се брзина тела удвостручи, његова кинетичка енергија порасте за \( 2^2 = 4 \) пута.
Аутомобил масе \( 1\,200\text{ kg} \) креће се брзином од \( 72\text{ km/h} \). Колика је његова кинетичка енергија?
Прво преводимо брзину у основне јединице:
\[ v = 72\text{ km/h} = \frac{72}{3,6}\text{ m/s} = 20\text{ m/s} \]
Кинетичка енергија износи:
\[ E_k = \frac{m v^2}{2} = \frac{1\,200\text{ kg} \cdot (20\text{ m/s})^2}{2} = \frac{1\,200 \cdot 400}{2}\text{ J} = 240\,000\text{ J} = 240\text{ kJ} \]
Гравитациона потенцијална енергија је енергија узајамног положаја тела и Земље. Једнака је раду који се изврши при подизању тела масе \( m \) на висину \( h \).
\( E_p \)
џул (\( \text{J} \))
\[ E_p = m g h \]
\( m \) – маса тела, \( g \) – гравитационо убрзање (\(\approx 9,81\text{ m/s}^2\)), \( h \) – висина тела изнад референтног нивоа
Потенцијална енергија је увек релативна и одређује се у односу на изабрани референтни ниво (ниво на коме је \( h = 0 \), нпр. површина стола, под просторије или површина тла).
На којој се висини налази тело масе \( 5\text{ kg} \) ако његова потенцијална енергија у односу на tло износи \( 490,5\text{ J} \)? (\( g = 9,81\text{ m/s}^2 \))
Из формуле \( E_p = mgh \) следи:
\[ h = \frac{E_p}{mg} = \frac{490,5\text{ J}}{5\text{ kg} \cdot 9,81\text{ m/s}^2} = \frac{490,5}{49,05}\text{ m} = 10\text{ m} \]
Укупна механичка енергија тела (\( E \)) представља збир његове кинетичке и потенцијалне енергије у датом тренутку:
\[ E = E_k + E_p = \frac{m v^2}{2} + mgh \]
Закон одржања механичке енергије:
У изолованом систему у коме делују само конзервативне силе (као што је сила Земљине теже), укупна механичка енергија је стална:
\[ E_1 = E_2 \quad \text{односно} \quad E_k + E_p = \text{const.} \]
Кинетичка енергија може прелазити у потенцијалну и обрнуто, али њихов збир остаје непромењен.
Деловање спољашњих (неконзервативних) сила:
Уколико друга тела врше рад над посматраним телом (или силе отпора врше негативан рад):
\[ E_1 + A = E_2 \quad \implies \quad E_{p1} + E_{k1} + A = E_{p2} + E_{k2} \]
Ако постоје отпори средине (\( A_o \)):
\[ E_1 = E_2 + A_o \]
Тело масе \( 0,5\text{ kg} \) пада слободно без почетне брзине са висине \( 20\text{ m} \). Одредити брзину тела непосредно пре удара о тло (занемарити отпор ваздуха; \( g = 9,81\text{ m/s}^2 \)).
На врху тело има само потенцијалну енергију (\( E_1 = mgh \)), а на тлу само кинетичку (\( E_2 = \frac{mv^2}{2} \)).
Према Закону одржања механичке енергије: \[ mgh = \frac{mv^2}{2} \implies v^2 = 2gh \implies v = \sqrt{2gh} \] \[ v = \sqrt{2 \cdot 9,81\text{ m/s}^2 \cdot 20\text{ m}} = \sqrt{392,4}\text{ m/s} \approx 19,81\text{ m/s} \]
Према Закону одржања механичке енергије: \[ mgh = \frac{mv^2}{2} \implies v^2 = 2gh \implies v = \sqrt{2gh} \] \[ v = \sqrt{2 \cdot 9,81\text{ m/s}^2 \cdot 20\text{ m}} = \sqrt{392,4}\text{ m/s} \approx 19,81\text{ m/s} \]
Снага је физичка величина која показује брзину вршења рада, односно рад извршен у јединици времена.
\( P \)
ват (\( \text{W} \)), где је \( 1\text{ W} = 1\text{ J} / 1\text{ s} \)
\[ P = \frac{A}{t} \]
При деловању константне силе на тело које се креће брзином \( v \):
\[ P = \frac{F \cdot s}{t} = F \cdot v \]
Коефицијент корисног дејства (\( \eta \)) представља однос корисног рада (или корисне снаге) и укупно уложеног рада (или укупне снаге):
\[ \eta = \frac{A_k}{A_u} = \frac{P_k}{P_u} \]
\( A_k, P_k \) – користан рад и снага; \( A_u, P_u \) – укупан рад и снага
Коефицијент корисног дејства је увек мањи од 1 (односно мањи од \( 100\% \)) услед деловања сила трења и отпора који стварају губитке енергије.
Електромотор укупне снаге \( 2\text{ kW} \) ради са коефицијентом корисног дејства \( 0,85 \). Израчунати његову корисну снагу.
Из формуле \( \eta = \frac{P_k}{P_u} \) следи:
\[ P_k = \eta \cdot P_u = 0,85 \cdot 2\text{ kW} = 1,7\text{ kW} = 1\,700\text{ W} \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лаки ниво):
Тело масе \( 2\text{ kg} \) бачено је вертикално увис и на висини од \( 6\text{ m} \) изнад земље има брзину \( 4\text{ m/s} \). Колика је његова укупна механичка енергија на тој висини у односу на тло? (\( g = 9,81\text{ m/s}^2 \))
Укупна механичка енергија је збир потенцијалне и кинетичке енергије:
1. Потенцијална енергија: \[ E_p = mgh = 2\text{ kg} \cdot 9,81\text{ m/s}^2 \cdot 6\text{ m} = 117,72\text{ J} \] 2. Кинетичка енергија: \[ E_k = \frac{mv^2}{2} = \frac{2\text{ kg} \cdot (4\text{ m/s})^2}{2} = 16\text{ J} \] 3. Укупна енергија: \[ E = E_p + E_k = 117,72\text{ J} + 16\text{ J} = 133,72\text{ J} \]
1. Потенцијална енергија: \[ E_p = mgh = 2\text{ kg} \cdot 9,81\text{ m/s}^2 \cdot 6\text{ m} = 117,72\text{ J} \] 2. Кинетичка енергија: \[ E_k = \frac{mv^2}{2} = \frac{2\text{ kg} \cdot (4\text{ m/s})^2}{2} = 16\text{ J} \] 3. Укупна енергија: \[ E = E_p + E_k = 117,72\text{ J} + 16\text{ J} = 133,72\text{ J} \]
Задатак 2 (Средњи ниво):
Аутомобил масе \( 1\,100\text{ kg} \) убрзава из стања мировања до брзине \( 54\text{ km/h} \). Мотор аутомобила притом развија сталну снагу од \( 55\text{ kW} \). За које време аутомобил постиже ову брзину ако се занемаре губици услед трења и отпора ваздуха?
1. Претварање јединица брзине:
\[ v = 54\text{ km/h} = \frac{54}{3,6}\text{ m/s} = 15\text{ m/s} \]
2. Рад који мотор изврши једнак је промени кинетичке енергије аутомобила:
\[ A = E_k = \frac{mv^2}{2} = \frac{1\,100\text{ kg} \cdot (15\text{ m/s})^2}{2} = \frac{1\,100 \cdot 225}{2}\text{ J} = 123\,750\text{ J} \]
3. Из везе снаге и рада \( P = \frac{A}{t} \), време убрзавања је:
\[ t = \frac{A}{P} = \frac{123\,750\text{ J}}{55\,000\text{ W}} = 2,25\text{ s} \]
Задатак 3 (Средњи ниво):
Вучна сила локомотиве износи \( 45\text{ kN} \). Воз се креће константном брзином од \( 72\text{ km/h} \).
а) Колику снагу развија локомотива?
б) Колики рад изврши локомотива током \( 10\text{ минута} \) пута?
а) Колику снагу развија локомотива?
б) Колики рад изврши локомотива током \( 10\text{ минута} \) пута?
Брзина воза је: \( v = 72\text{ km/h} = 20\text{ m/s} \). Време је: \( t = 10\text{ min} = 600\text{ s} \).
а) Снага локомотиве: \[ P = F \cdot v = 45\,000\text{ N} \cdot 20\text{ m/s} = 900\,000\text{ W} = 900\text{ kW} \] б) Рад за дато време: \[ A = P \cdot t = 900\,000\text{ W} \cdot 600\text{ s} = 5,4 \cdot 10^8\text{ J} = 540\text{ MJ} \]
а) Снага локомотиве: \[ P = F \cdot v = 45\,000\text{ N} \cdot 20\text{ m/s} = 900\,000\text{ W} = 900\text{ kW} \] б) Рад за дато време: \[ A = P \cdot t = 900\,000\text{ W} \cdot 600\text{ s} = 5,4 \cdot 10^8\text{ J} = 540\text{ MJ} \]
Задатак 4 (Тежи ниво):
Падобранац масе \( 80\text{ kg} \) искочи из авиона са висине \( 2\,500\text{ m} \) без почетне брзине. На висини од \( 600\text{ m} \) отвара падобран при брзини падања од \( 50\text{ m/s} \). Колики је рад извршила сила отпора ваздуха од тренутка искакања до тренутка отварања падобрана? (\( g = 9,81\text{ m/s}^2 \))
Нека је \( h_1 = 2\,500\text{ m} \) почетна висина, а \( h_2 = 600\text{ m} \) висина на којој се отвара падобран брзином \( v = 50\text{ m/s} \).
Према закону о одржању енергије уз урачунавање рада силе отпора \( A_o \): \[ E_1 = E_2 + A_o \implies mgh_1 = mgh_2 + \frac{mv^2}{2} + A_o \] Одатле је рад силе отпора: \[ A_o = mg(h_1 - h_2) - \frac{mv^2}{2} \] Рачунамо вредности: \[ mg(h_1 - h_2) = 80\text{ kg} \cdot 9,81\text{ m/s}^2 \cdot (2\,500 - 600)\text{ m} = 784,8 \cdot 1\,900\text{ J} = 1\,491\,120\text{ J} \] \[ \frac{mv^2}{2} = \frac{80\text{ kg} \cdot (50\text{ m/s})^2}{2} = 40 \cdot 2\,500\text{ J} = 100\,000\text{ J} \] Следи: \[ A_o = 1\,491\,120\text{ J} - 100\,000\text{ J} = 1\,391\,120\text{ J} \approx 1,39\text{ MJ} \]
Према закону о одржању енергије уз урачунавање рада силе отпора \( A_o \): \[ E_1 = E_2 + A_o \implies mgh_1 = mgh_2 + \frac{mv^2}{2} + A_o \] Одатле је рад силе отпора: \[ A_o = mg(h_1 - h_2) - \frac{mv^2}{2} \] Рачунамо вредности: \[ mg(h_1 - h_2) = 80\text{ kg} \cdot 9,81\text{ m/s}^2 \cdot (2\,500 - 600)\text{ m} = 784,8 \cdot 1\,900\text{ J} = 1\,491\,120\text{ J} \] \[ \frac{mv^2}{2} = \frac{80\text{ kg} \cdot (50\text{ m/s})^2}{2} = 40 \cdot 2\,500\text{ J} = 100\,000\text{ J} \] Следи: \[ A_o = 1\,491\,120\text{ J} - 100\,000\text{ J} = 1\,391\,120\text{ J} \approx 1,39\text{ MJ} \]
