Најважније из лекције
Укупна механичка енергија: Представља збир кинетичке и потенцијалне енергије, \( E = E_k + E_p \).
Закон о одржању механичке енергије: У изолованом систему (без трења и отпора средине) укупна механичка енергија је константна: \( E_k + E_p = \text{const} \).
Међусобна трансформација: Смањење једног облика енергије праћено је једнаким повећањем другог:
Закон о одржању механичке енергије: У изолованом систему (без трења и отпора средине) укупна механичка енергија је константна: \( E_k + E_p = \text{const} \).
Међусобна трансформација: Смањење једног облика енергије праћено је једнаким повећањем другог:
- Пад тела / Спуштање клатна: \( E_p \to E_k \), брзина на дну \( v = \sqrt{2gh} \).
- Хитац навише: \( E_k \to E_p \), максимална висина \( h_{\max} = \frac{v_0^2}{2g} \).
Механичка енергија тела или система тела једнака је збиру његове кинетичке и потенцијалне енергије у датом тренутку.
\( E \) – укупна механичка енергија, \( E_k \) – кинетичка енергија, \( E_p \) – потенцијална енергија
Џул (\( \text{J} \))
\[ E = E_k + E_p \]
\( E_k = \frac{m \cdot v^2}{2} \) – кинетичка енергија, \( E_p = m \cdot g \cdot h \) – гравитациона потенцијална енергија
Изоловани физички систем је систем на који околина нема утицаја нити он утиче на околину. То значи да су занемарене спољашње силе попут отпора ваздуха и силе трења.
У изолованом физичком систему укупна механичка енергија тела остаје непромењена (константна) током времена.
\[ E_1 = E_2 = E_3 = \dots = \text{const} \]
\[ E_k + E_p = \text{const} \]
Вредности кинетичке и потенцијалне енергије се непрекидно мењају: ако се кинетичка енергија повећава, потенцијална се смањује за исти износ, и обрнуто, тако да њихов збир увек остаје исти.
При слободном паду тела масе \( m \) са висине \( h \):
- Почетни положај (врх): тело мирује (\( v_1 = 0 \)), па је \( E_{k1} = 0 \), а \( E_{p1} = mgh \). Укупна енергија је \( E_1 = mgh \).
- Произвољна висина \( h_2 \): тело има и брзину и висину, па је \( E_2 = \frac{mv_2^2}{2} + mgh_2 = mgh \).
- Непосредно пре удара о тло: висина је нула (\( E_{p3} = 0 \)), па је сва енергија прешла у кинетичку: \( E_3 = \frac{mv_3^2}{2} = mgh \).
Тело се са тла избацује почетном брзином \( v_0 \) (максимална кинетичка енергија, \( E_p = 0 \)). Како се пење, брзина опада, а на максималној висини \( h_{\max} \) брзина је нула (\( E_k = 0 \)):
\[ \frac{m \cdot v_0^2}{2} = m \cdot g \cdot h_{\max} \implies h_{\max} = \frac{v_0^2}{2 \cdot g} \]
У крајњим положајима клатно на тренутак застаје на висини \( h \) (\( v = 0, E = E_p = mgh \)). При проласку кроз равнотежни положај (\( h = 0 \)) сва потенцијална енергија прелази у кинетичку:
\[ m \cdot g \cdot h = \frac{m \cdot v^2}{2} \implies v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h} \]
- Тег на опрузи: Потенцијална енергија еластичне деформације опруге и гравитациона енергија тега наизменично прелазе у кинетичку енергију кретања тега и обрнуто.
- Галилејев жлеб: Куглица пуштена са врха једног краја жлеба спушта се повећавајући брзину (\( E_p \to E_k \)), а затим се уз други крај пење до исте почетне висине \( h \) где се зауставља (\( E_k \to E_p \)).
Брзина тела при паду или проласку кроз равнотежни положај, као и максимална висина коју тело достиже, не зависе од масе тела!
Општи закон одржања енергије: Енергија се у природи не може ни створити ни уништити, већ само прелази из једног облика у други или са једног тела на друго.
Када тело падне на сто или тло, механичка енергија постаје једнака нули, али није нестала - претворила се у топлотну енергију (загревање тела и подлоге), звучну енергију (звук удара) и рад утрошен на деформацију.
Претварање у електричну енергију:
- Хидроелектране: потенцијална енергија акумулиране воде претвара се у кинетичку енергију кретања воде, која покреће турбине генератора и ствара електричну енергију.
- Ветрогенератори: кинетичка енергија ветра претвара се у електричну енергију.
- Соларне електране: светлосна енергија Сунца претвара се у електричну енергију.
Задаци за вежбање
1. (Лако) Тело масе \( m = 2\text{ kg} \) пада са висине \( h = 5\text{ m} \) из стања мировања. Колика је укупна механичка енергија тела на почетку пада, а колика је његова кинетичка енергија непосредно пре удара о тло? (Узети \( g \approx 9,8\text{ m/s}^2 \))
Подаци: \( m = 2\text{ kg} \), \( h = 5\text{ m} \), \( g = 9,8\text{ m/s}^2 \).
1) На почетку пада брзина је \( v_1 = 0 \), па је кинетичка енергија \( E_{k1} = 0 \). Укупна механичка енергија једнака је гравитационој потенцијалној енергији: \[ E_1 = E_{p1} = m \cdot g \cdot h = 2\text{ kg} \cdot 9,8\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 5\text{ m} = 98\text{ J} \] 2) Према Закону о одржању механичке енергије, укупна енергија непосредно пре удара једнака је почетној енергији: \( E_2 = E_1 = 98\text{ J} \). Пошто је на тлу висина \( h = 0 \), следи \( E_{p2} = 0 \), па је сва енергија прешла у кинетичку: \[ E_{k2} = E_2 = 98\text{ J} \] Одговор: Почетна механичка енергија је \( 98\text{ J} \), а кинетичка енергија пре удара износи \( 98\text{ J} \).
1) На почетку пада брзина је \( v_1 = 0 \), па је кинетичка енергија \( E_{k1} = 0 \). Укупна механичка енергија једнака је гравитационој потенцијалној енергији: \[ E_1 = E_{p1} = m \cdot g \cdot h = 2\text{ kg} \cdot 9,8\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 5\text{ m} = 98\text{ J} \] 2) Према Закону о одржању механичке енергије, укупна енергија непосредно пре удара једнака је почетној енергији: \( E_2 = E_1 = 98\text{ J} \). Пошто је на тлу висина \( h = 0 \), следи \( E_{p2} = 0 \), па је сва енергија прешла у кинетичку: \[ E_{k2} = E_2 = 98\text{ J} \] Одговор: Почетна механичка енергија је \( 98\text{ J} \), а кинетичка енергија пре удара износи \( 98\text{ J} \).
2. (Средње) Тело је избачено са површине Земље вертикално навише почетном брзином \( v_0 = 14\text{ m/s} \). Применом Закона о одржању механичке енергије одреди максималну висину коју ће тело достићи. Отпор ваздуха занемарити. (\( g = 9,8\text{ m/s}^2 \))
Подаци: \( v_0 = 14\text{ m/s} \), \( g = 9,8\text{ m/s}^2 \), \( h_{\max} = ? \)
На почетку кретања сва енергија је кинетичка: \[ E_1 = E_{k1} = \frac{m \cdot v_0^2}{2} \] На максималној висини тело тренутно застаје (\( v = 0 \)), па је сва енергија прешла у потенцијалну: \[ E_2 = E_{p2} = m \cdot g \cdot h_{\max} \] Према Закону о одржању механичке енергије (\( E_1 = E_2 \)): \[ \frac{m \cdot v_0^2}{2} = m \cdot g \cdot h_{\max} \implies h_{\max} = \frac{v_0^2}{2 \cdot g} \] \[ h_{\max} = \frac{(14\text{ m/s})^2}{2 \cdot 9,8\text{ m/s}^2} = \frac{196}{19,6} = 10\text{ m} \] Одговор: Максимална висина коју тело достиже износи \( 10\text{ m} \).
На почетку кретања сва енергија је кинетичка: \[ E_1 = E_{k1} = \frac{m \cdot v_0^2}{2} \] На максималној висини тело тренутно застаје (\( v = 0 \)), па је сва енергија прешла у потенцијалну: \[ E_2 = E_{p2} = m \cdot g \cdot h_{\max} \] Према Закону о одржању механичке енергије (\( E_1 = E_2 \)): \[ \frac{m \cdot v_0^2}{2} = m \cdot g \cdot h_{\max} \implies h_{\max} = \frac{v_0^2}{2 \cdot g} \] \[ h_{\max} = \frac{(14\text{ m/s})^2}{2 \cdot 9,8\text{ m/s}^2} = \frac{196}{19,6} = 10\text{ m} \] Одговор: Максимална висина коју тело достиже износи \( 10\text{ m} \).
3. (Тешко) Куглица математичког клатна пуштена је без почетне брзине са висине \( h = 0,8\text{ m} \) изнад равнотежног положаја. Узети \( g = 10\text{ m/s}^2 \).
а) Колику брзину куглица има при проласку кроз равнотежни положај?
б) На којој висини \( h' \) изнад равнотежног положаја ће кинетичка енергија куглице бити једнака њеној потенцијалној енергији?
а) Колику брзину куглица има при проласку кроз равнотежни положај?
б) На којој висини \( h' \) изнад равнотежног положаја ће кинетичка енергија куглице бити једнака њеној потенцијалној енергији?
Подаци: \( h = 0,8\text{ m} \), \( g = 10\text{ m/s}^2 \).
а) Брзина у равнотежном положају:
Потенцијална енергија на почетку потпуно прелази у кинетичку енергију у најнижој тачки: \[ m \cdot g \cdot h = \frac{m \cdot v^2}{2} \implies v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h} \] \[ v = \sqrt{2 \cdot 10\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 0,8\text{ m}} = \sqrt{16\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}} = 4\text{ m/s} \] б) Висина на којој је \( E_k = E_p \):
Укупна механичка енергија у тој тачки је \( E = E_k' + E_p' \). Како је \( E_k' = E_p' \), важи: \[ E = E_p' + E_p' = 2 \cdot E_p' = 2 \cdot m \cdot g \cdot h' \] Пошто је укупна енергија очувана (\( E = m \cdot g \cdot h \)): \[ 2 \cdot m \cdot g \cdot h' = m \cdot g \cdot h \implies h' = \frac{h}{2} = \frac{0,8\text{ m}}{2} = 0,4\text{ m} \] Одговор: Брзина у равнотежном положају је \( 4\text{ m/s} \), а кинетичка и потенцијална енергија су једнаке на висини од \( 0,4\text{ m} \).
а) Брзина у равнотежном положају:
Потенцијална енергија на почетку потпуно прелази у кинетичку енергију у најнижој тачки: \[ m \cdot g \cdot h = \frac{m \cdot v^2}{2} \implies v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h} \] \[ v = \sqrt{2 \cdot 10\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 0,8\text{ m}} = \sqrt{16\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}} = 4\text{ m/s} \] б) Висина на којој је \( E_k = E_p \):
Укупна механичка енергија у тој тачки је \( E = E_k' + E_p' \). Како је \( E_k' = E_p' \), важи: \[ E = E_p' + E_p' = 2 \cdot E_p' = 2 \cdot m \cdot g \cdot h' \] Пошто је укупна енергија очувана (\( E = m \cdot g \cdot h \)): \[ 2 \cdot m \cdot g \cdot h' = m \cdot g \cdot h \implies h' = \frac{h}{2} = \frac{0,8\text{ m}}{2} = 0,4\text{ m} \] Одговор: Брзина у равнотежном положају је \( 4\text{ m/s} \), а кинетичка и потенцијална енергија су једнаке на висини од \( 0,4\text{ m} \).
