Најважније из лекције
Скуп природних бројева: \( N = \{1, 2, 3, \dots\} \) (са нулом је \( N_0 \)). Има их бесконачно много.
Претходник и следбеник: Претходник броја \( 50 \) је \( 49 \), а следбеник \( 51 \).
Класе и читање: Бројеве делимо на класе по три цифре с десна на лево (јединице, хиљаде, милиони, милијарде, билиони). Читамо их с лева на десно.
Месна вредност и декадни запис: Вредност цифре зависи од њене позиције. Број се може раставити: \( 5\,200 = 5 \cdot 1\,000 + 2 \cdot 100 \).
Упоређивање: Прво се гледа број цифара (већи је онај са више цифара), а затим се пореде цифре од највеће класе ка најмањој.
Претходник и следбеник: Претходник броја \( 50 \) је \( 49 \), а следбеник \( 51 \).
Класе и читање: Бројеве делимо на класе по три цифре с десна на лево (јединице, хиљаде, милиони, милијарде, билиони). Читамо их с лева на десно.
Месна вредност и декадни запис: Вредност цифре зависи од њене позиције. Број се може раставити: \( 5\,200 = 5 \cdot 1\,000 + 2 \cdot 100 \).
Упоређивање: Прво се гледа број цифара (већи је онај са више цифара), а затим се пореде цифре од највеће класе ка најмањој.
Скуп чији су чланови сви природни бројеви називамо скуп природних бројева. Природних бројева има бесконачно много и не постоји највећи природни број.
Ознака за скуп природних бројева је \( N = \{1, 2, 3, 4, 5, \dots\} \). Ако овом скупу додамо и нулу, означавамо га са \( N_0 = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots\} \).
Претходник природног броја \( n \) је број \( n - 1 \), а његов следбеник је број \( n + 1 \).
Парни бројеви се завршавају цифрама \(0, 2, 4, 6, 8\), док се непарни бројеви завршавају цифрама \(1, 3, 5, 7, 9\).
Који број је претходник, а који следбеник најмањег седмоцифреног броја? Да ли су они парни или непарни?
Најмањи седмоцифрени број је \( 1\,000\,000 \).
Његов претходник је \( 999\,999 \) (непаран број).
Његов следбеник је \( 1\,000\,001 \) (непаран број).
Његов претходник је \( 999\,999 \) (непаран број).
Његов следбеник је \( 1\,000\,001 \) (непаран број).
Ради лакшег читања и писања, цифре у великим бројевима се групишу по три, с десна на лево. Ове групе се називају класе. Свака класа садржи јединице (Ј), десетице (Д) и стотине (С).
| Билиони | Милијарде | Милиони | Хиљаде | Јединице | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| С | Д | Ј | С | Д | Ј | С | Д | Ј | С | Д | Ј | С | Д | Ј |
Бројеве читамо с лева на десно, читајући прво број унутар класе, а затим име те класе. Ако су у некој класи све цифре нуле, ту класу не изговарамо.
Број \( 38\,005\,000 \) се чита: тридесет осам милиона пет хиљада. (Класа јединица се не изговара јер су све нуле).
Напиши цифрама број: дванаест милијарди триста осам милиона педесет.
\( 12\,308\,000\,050 \)
Месна (позициона) вредност цифре значи да вредност цифре зависи од места на ком се она налази у запису броја.
Сваки природни број се може написати у облику збира производа једноцифреног броја и одговарајуће декадне јединице (\(1, 10, 100, 1\,000, 10\,000, 100\,000, 1\,000\,000 \dots\)).
\[ 12\,679 = 1 \cdot 10\,000 + 2 \cdot 1\,000 + 6 \cdot 100 + 7 \cdot 10 + 9 \cdot 1 \]
Запиши број \( 405\,030 \) у облику збира производа.
\( 405\,030 = 4 \cdot 100\,000 + 0 \cdot 10\,000 + 5 \cdot 1\,000 + 0 \cdot 100 + 3 \cdot 10 + 0 \cdot 1 \)
или краће: \( 4 \cdot 100\,000 + 5 \cdot 1\,000 + 3 \cdot 10 \)
или краће: \( 4 \cdot 100\,000 + 5 \cdot 1\,000 + 3 \cdot 10 \)
Скуп природних бројева је уређен скуп, што значи да за свака два броја знамо који је мањи, а који већи. Природне бројеве можемо приказати на бројевној правој.
Ако бројеви немају исти број цифара, већи је онај који има више цифара (вишу класу). Пример: \( 1\,250\,000 > 999\,999 \).
Ако имају исти број цифара, упоређују се цифре с лева на десно. Већи је онај који на првом различитом месту има већу цифру. Пример: \( 264\,912\,000 > 264\,314\,000 \) (јер је \( 9 > 3 \) на позицији стотина хиљада).
Одреди све природне бројеве \( x \) за које важи \( 15\,998 < x < 16\,002 \).
То су природни бројеви који су већи од \( 15\,998 \), а мањи од \( 16\,002 \).
Решење: \( x \in \{15\,999, 16\,000, 16\,001\} \)
Решење: \( x \in \{15\,999, 16\,000, 16\,001\} \)
Збир цифара неког броја одређујемо тако што саберемо све цифре које се јављају у запису тог броја.
Збир цифара броја \( 316\,724 \) је \( 3 + 1 + 6 + 7 + 2 + 4 = 23 \).
Одреди све двоцифрене бројеве чији је збир цифара 4.
Број \( 4 \) можемо записати као збир две цифре: \( 4+0, 3+1, 2+2 \).
Двоцифрени бројеви који се могу направити су: \( 40, 31, 13, 22 \).
Двоцифрени бројеви који се могу направити су: \( 40, 31, 13, 22 \).
Задаци за вежбање
Лак: Напиши речима број \( 4\,007\,020 \).
Четири милиона седам хиљада двадесет.
Средњи: Напиши најмањи и највећи петоцифрени број користећи цифре \( 0, 2, 5, 8, 9 \) тако да се свака цифра употреби тачно једном, а затим пронађи збир цифара оба броја.
Најмањи петоцифрени број (не може почињати нулом): \( 20\,589 \).
Највећи петоцифрени број: \( 98\,520 \).
Збир цифара за оба броја је исти: \( 2 + 0 + 5 + 8 + 9 = 24 \).
Највећи петоцифрени број: \( 98\,520 \).
Збир цифара за оба броја је исти: \( 2 + 0 + 5 + 8 + 9 = 24 \).
Тежак: Колико укупно има троцифрених бројева који се могу записати коришћењем само цифара \( 5 \) и \( 0 \)? Наброј их све.
Троцифрени број не може почињати цифром \( 0 \), па прва цифра мора бити \( 5 \).
Остале две позиције могу бити или \( 5 \) или \( 0 \).
То су бројеви: \( 500, 505, 550 \) и \( 555 \). Укупно их има 4.
То су бројеви: \( 500, 505, 550 \) и \( 555 \). Укупно их има 4.
