Најважније из лекције
Осна симетрија: Пресликавање где је тачка и њена слика подједнако удаљена од осе симетрије, а права која их спаја је нормална на ту осу. Ова трансформација чува дужине и углове.
Осносиметричне фигуре: Фигуре које се могу преклопити преко једне праве (осе) тако да им се половине поклопе (нпр. квадрат има 4 осе, кружница бесконачно много).
Симетрала дужи: Права која полови дуж под правим углом. Свака тачка на симетрали једнако је удаљена од крајева дужи. Ова особина је основа за конструисање нормала, паралелних правих и одређивање центра кружнице.
Осносиметричне фигуре: Фигуре које се могу преклопити преко једне праве (осе) тако да им се половине поклопе (нпр. квадрат има 4 осе, кружница бесконачно много).
Симетрала дужи: Права која полови дуж под правим углом. Свака тачка на симетрали једнако је удаљена од крајева дужи. Ова особина је основа за конструисање нормала, паралелних правих и одређивање центра кружнице.
Осна симетрија је пресликавање тачака равни у односу на једну праву коју називамо оса симетрије (обично се обележава са \( s \)).
Тачка \( A_1 \) је осносиметрична тачки \( A \) у односу на праву \( s \) ако:
- \( A_1 \) припада нормали из \( A \) на праву \( s \);
- \( A \) и \( A_1 \) се налазе са различитих страна праве \( s \);
- \( A \) и \( A_1 \) су једнако удаљене од праве \( s \).
Свака тачка која се налази на самој оси симетрије \( s \) пресликава се у саму себе.
Осна симетрија је изометријска трансформација, што значи да чува растојање између тачака (дуж се пресликава у једнаку дуж). Такође чува распоред колинеарних тачака и углове (угао се пресликава у једнак угао).
Слика праве при осној симетрији је такође права. Зависно од њеног положаја према оси \( s \):
- Ако права сече осу симетрије, њена слика такође пролази кроз ту тачку пресека.
- Ако је права паралелна оси симетрије, њена слика је такође паралелна оси.
- Ако је права нормална на осу симетрије, она се пресликава у саму себе.
Да бисмо конструисали слику дужи, пресликавамо само њене крајње тачке. Да бисмо пресликали троугао, пресликавамо његова темена. Да бисмо пресликали кружницу, пресликавамо њен центар, док полупречник остаје исти.
Фигура је осносиметрична ако постоји бар једна права (оса симетрије фигуре) по којој се фигура може "пресавити" тако да се њена два дела потпуно поклопе.
Број оса симетрије код неких познатих фигура:
- Паралелограм: 0 оса симетрије.
- Правоугаоник (који није квадрат): 2 осе симетрије.
- Квадрат: 4 осе симетрије.
- Кружница: бесконачно много оса симетрије (свака права која пролази кроз центар).
Симетрала дужи \( AB \) (ознака \( s_{AB} \)) је права која садржи средиште те дужи и нормална је на њу.
Ознака: \( s_{AB} \) чита се као "симетрала дужи AB".
Кључна особина: Свака тачка на симетрали дужи једнако је удаљена од крајева те дужи (Ако \( X \in s_{AB} \), онда је \( XA = XB \)). Важи и обрнуто: ако је тачка једнако удаљена од крајева дужи, она припада њеној симетрали.
Да бисмо конструисали симетралу дужи \( AB \), шестаром описујемо два кружна лука истог полупречника (већег од половине дужи) из тачака \( A \) и \( B \). Права која пролази кроз њихове пресечне тачке је симетрала.
Помоћу лењира и шестара можемо извршити следеће конструкције користећи особине симетрале:
Нормала из тачке на праву: Из тачке \( P \) конструишемо кружницу која сече праву \( p \) у две тачке. Затим конструишемо симетралу дужи чији су крајеви те пресечне тачке. Та симетрала је тражена нормала.
Центар кружнице: Центар се налази у пресеку симетрала било које две тетиве те кружнице.
Паралелна права: Кроз тачку \( P \) прво конструишемо нормалу \( n \) на дату праву \( p \), а затим у тачки \( P \) конструишемо нормалу \( a \) на праву \( n \). Добијена права \( a \) је паралелна са \( p \).
Задаци за вежбање
Лак: Колико оса симетрије има дуж, а колико кружница?
Одговор: Дуж има две осе симетрије (права на којој се налази и њена симетрала). Кружница има бесконачно много оса симетрије (свака права која пролази кроз њен центар).
Средњи: Дата је дуж \( PQ \). Тачка \( M \) припада симетрали \( s_{PQ} \). Ако је растојање од тачке \( M \) до тачке \( P \) једнако \( 7 \text{ cm} \), колико износи растојање од тачке \( M \) до тачке \( Q \)?
На основу особине симетрале дужи, свака тачка на њој је једнако удаљена од крајева те дужи. Дакле, \( MP = MQ \).
Одговор: Растојање од тачке \( M \) до тачке \( Q \) је такође \( 7 \text{ cm} \).
Одговор: Растојање од тачке \( M \) до тачке \( Q \) је такође \( 7 \text{ cm} \).
Средњи: Нека је права \( a \) нормална на осу симетрије \( s \). У шта се пресликава права \( a \) при осној симетрији у односу на праву \( s \)?
Одговор: Права која је нормална на осу симетрије пресликава се сама у себе.
Тежак: Објасните како се лењиром и шестаром конструише права \( a \) која пролази кроз тачку \( P \) и паралелна је правој \( p \) (која не садржи \( P \)).
Одговор: Конструкција се своди на цртање две нормале. Прво се конструише права \( n \) која пролази кроз \( P \) и нормална је на праву \( p \). Затим се конструише права \( a \) која пролази кроз \( P \) и нормална је на праву \( n \). Како су \( p \) и \( a \) нормалне на исту праву \( n \), оне су међусобно паралелне.
