Најважније из лекције
Пресек (\( \cap \)): Елементи који су и у једном и у другом скупу. (Заједнички елементи).
Унија (\( \cup \)): Елементи који су у једном или у другом скупу. (Сви елементи заједно).
Разлика (\( \setminus \)): Елементи који су у првом скупу, а нису у другом скупу. (Оно што остане кад се заједничко одузме од првог).
Унија (\( \cup \)): Елементи који су у једном или у другом скупу. (Сви елементи заједно).
Разлика (\( \setminus \)): Елементи који су у првом скупу, а нису у другом скупу. (Оно што остане кад се заједничко одузме од првог).
Пресек скупова \( A \) и \( B \) јесте скуп свих елемената који припадају и скупу \( A \) и скупу \( B \).
Ознака за пресек је \( A \cap B \).
\[ A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ и } x \in B\} \]
Својства пресека:
- \( A \cap B = B \cap A \)
- Ако је један скуп подскуп другог (\( C \subset D \)), онда је њихов пресек једнак мањем скупу: \( C \cap D = C \).
Дисјунктни скупови: За скупове чији је пресек празан скуп (\( E \cap F = \emptyset \)) каже се да су дисјунктни. Они немају заједничких елемената.
Дати су скупови \( S = \{1, 4, 9, 16\} \) и \( T = \{6, 16, 26\} \).
Њихов пресек су елементи који се налазе у оба скупа: \( S \cap T = \{16\} \).
Њихов пресек су елементи који се налазе у оба скупа: \( S \cap T = \{16\} \).
Унија скупова \( A \) и \( B \) јесте скуп свих елемената који припадају бар једном од скупова \( A \) или \( B \).
Ознака за унију је \( A \cup B \).
\[ A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ или } x \in B\} \]
Својства уније:
- \( A \cup B = B \cup A \)
- Ако је један скуп подскуп другог (\( C \subset D \)), онда је њихова унија једнака већем скупу: \( C \cup D = D \).
Дати су скупови \( A = \{1, 2\} \) и \( B = \{2, 3, 4\} \).
Њихова унија обухвата све елементе из оба скупа (без понављања): \( A \cup B = \{1, 2, 3, 4\} \).
Њихова унија обухвата све елементе из оба скупа (без понављања): \( A \cup B = \{1, 2, 3, 4\} \).
Разлика скупова \( A \) и \( B \) јесте скуп свих елемената који припадају скупу \( A \), а не припадају скупу \( B \).
Ознака за разлику је \( A \setminus B \).
\[ A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ и } x \notin B\} \]
Својства разлике:
- За разлику од пресека и уније, скупови \( A \setminus B \) и \( B \setminus A \) не морају бити једнаки.
- Ако су скупови једнаки (\( A = B \)), онда је \( A \setminus B = \emptyset \).
- Ако је \( C \subset D \), онда је \( C \setminus D = \emptyset \) (јер су сви елементи из \( C \) већ у \( D \)).
- Ако су скупови дисјунктни (\( E \cap F = \emptyset \)), тада уклањање елемената другог скупа ништа не мења: \( E \setminus F = E \).
Дати су скупови \( A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \) и \( B = \{4, 5, 6\} \).
\( A \setminus B = \{1, 2, 3\} \) (елементи који су само у A).
\( B \setminus A = \{6\} \) (елементи који су само у B).
\( A \setminus B = \{1, 2, 3\} \) (елементи који су само у A).
\( B \setminus A = \{6\} \) (елементи који су само у B).
Задаци за вежбање
Лак: Дати су скупови \( A = \{5, 10, 15\} \) и \( B = \{10, 15, 20\} \). Одреди њихов пресек (\( A \cap B \)) и унију (\( A \cup B \)).
\( A \cap B = \{10, 15\} \) (заједнички елементи)
\( A \cup B = \{5, 10, 15, 20\} \) (сви елементи из оба скупа)
\( A \cup B = \{5, 10, 15, 20\} \) (сви елементи из оба скупа)
Средњи: Дати су скупови \( C = \{2, 4, 6, 8, 10\} \) и \( D = \{6, 8, 10, 12\} \). Одреди разлике скупова \( C \setminus D \) и \( D \setminus C \).
\( C \setminus D = \{2, 4\} \) (елементи који су у C, али нису у D)
\( D \setminus C = \{12\} \) (елементи који су у D, али нису у C)
\( D \setminus C = \{12\} \) (елементи који су у D, али нису у C)
Тежак: Дат је скуп \( S = \{1, 2, 3\} \) и скуп \( T = \{1, 2, 3, 4, 5\} \). Приметимо да је \( S \subset T \). Користећи правила за подскупове (без појединачног исписивања елемената), одреди чему су једнаки \( S \cap T \), \( S \cup T \) и \( S \setminus T \).
Пошто је \( S \) подскуп скупа \( T \):
\( S \cap T = S \) (пресек је мањи скуп)
\( S \cup T = T \) (унија је већи скуп)
\( S \setminus T = \emptyset \) (када из подскупа одузмемо шири скуп, не остаје ништа)
\( S \cap T = S \) (пресек је мањи скуп)
\( S \cup T = T \) (унија је већи скуп)
\( S \setminus T = \emptyset \) (када из подскупа одузмемо шири скуп, не остаје ништа)
