Најважније из лекције
- Формуле дељења: \( a = b \cdot q \) (без остатка) и \( a = b \cdot q + r \) (са остатком).
- Закони дељивости: Олакшавају проверу дељивости збира, разлике или производа (нпр. ако су сабирци дељиви неким бројем, и збир је).
- Правила дељивости: Омогућавају проверу дељивости на основу цифара (нпр. дељивост са 2, 5, 10 преко последње цифре; са 3 и 9 преко збира цифара).
- Бројеви: Прости имају тачно 2 делиоца, сложени више од 2. Број 1 није ни прост ни сложен.
- НЗД и НЗС: НЗД је највећи заједнички делилац два броја, док је НЗС њихов најмањи заједнички садржалац.
Дељење може бити тачно (без остатка) или са остатком. Дељеник (број који се дели) увек се може изразити преко делиоца, количника и остатка.
Дељење без остатка:
\[ q = a : b \]
\[ a = b \cdot q \]
Ознаке: \( a \) је дељеник (садржалац), \( b \) је делилац (чинилац), а \( q \) је количник.
Дељење са остатком:
\[ a : b = q \text{ (остатак } r) \]
\[ a = b \cdot q + r \]
Ознаке: \( r \) је остатак при дељењу.
Ако је делилац 7, количник 4, а остатак 3, колики је дељеник?
Користимо формулу \( a = b \cdot q + r \).
\( a = 7 \cdot 4 + 3 = 28 + 3 = 31 \).
Одговор: Дељеник је 31.
\( a = 7 \cdot 4 + 3 = 28 + 3 = 31 \).
Одговор: Дељеник је 31.
Ова правила нам помажу да закључимо да ли је неки израз дељив одређеним бројем и пре него што израчунамо његову тачну вредност.
- Сваки природан број дељив је бројем 1 и самим собом.
- Закон за збир: Ако су сабирци дељиви неким бројем, онда је и њихов збир дељив тим бројем.
- Закон за разлику: Ако су умањеник и умањилац дељиви неким бројем, и разлика је дељива тим бројем.
- Закон за производ: Ако је бар један од чинилаца дељив неким бројем, и цео производ је дељив тим бројем.
Без рачунања збира и производа, одговорите да ли је збир \( 15 + 35 \) дељив са 5, и да ли је производ \( 8 \cdot 17 \) дељив са 4.
Одговор: Да. Бројеви 15 и 35 су дељиви са 5, па је по закону за збир и њихов збир дељив са 5.
Број 8 је дељив са 4, па је по закону за производ и цео производ \( 8 \cdot 17 \) дељив са 4.
Број 8 је дељив са 4, па је по закону за производ и цео производ \( 8 \cdot 17 \) дељив са 4.
Постоје практична правила која омогућавају да брзо утврдимо да ли је неки број дељив одређеним бројевима посматрајући његове цифре.
| Дељивост са... | Правило (Број је дељив ако...) |
|---|---|
| 2 | ...му је последња цифра 0, 2, 4, 6 или 8 (ако је паран). |
| 3 | ...му је збир свих цифара дељив са 3. |
| 4 | ...му је двоцифрени завршетак (последње две цифре) дељив са 4. |
| 5 | ...му је последња цифра 0 или 5. |
| 9 | ...му је збир свих цифара дељив са 9. |
| 10 | ...му је последња цифра 0. |
| 25 | ...му је двоцифрени завршетак дељив са 25 (00, 25, 50 или 75). |
| 100 | ...се завршава са најмање две нуле (последње две цифре су му 00). |
Да ли је број 345 дељив са 3 и са 5?
Збир цифара је \( 3 + 4 + 5 = 12 \). Број 12 је дељив са 3, па је и 345 дељив са 3.
Последња цифра броја је 5, па је број дељив са 5.
Одговор: Да, дељив је и са 3 и са 5.
Последња цифра броја је 5, па је број дељив са 5.
Одговор: Да, дељив је и са 3 и са 5.
Прост број је природан број (различит од 1) који има тачно два делиоца: број 1 и самог себе. Пример: 2, 3, 5, 7, 11...
Сложен број је природан број који има више од два делиоца. Пример: 4 (делиоци: 1, 2, 4), 6 (делиоци: 1, 2, 3, 6)...
Број 1 није ни прост ни сложен јер има само једног делиоца (самог себе).
Разврстајте следеће бројеве на просте и сложене: 9, 13, 15, 19.
Прости бројеви: 13 (делиоци 1 и 13) и 19 (делиоци 1 и 19).
Сложени бројеви: 9 (делиоци 1, 3, 9) и 15 (делиоци 1, 3, 5, 15).
Сложени бројеви: 9 (делиоци 1, 3, 9) и 15 (делиоци 1, 3, 5, 15).
Највећи заједнички делилац (НЗД) бројева \( a \) и \( b \) јесте највећи природан број који без остатка дели и број \( a \) и број \( b \).
Најмањи заједнички садржалац (НЗС) бројева \( a \) и \( b \) јесте најмањи природан број који је дељив и бројем \( a \) и бројем \( b \).
За бројеве 12 и 18:
Делиоци броја 12 су: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Делиоци броја 18 су: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
Заједнички делиоци су 1, 2, 3 и 6. Највећи од њих је 6, па је НЗД(12, 18) = 6.
Најмањи број који је дељив и са 12 и са 18 је 36, па је НЗС(12, 18) = 36.
Делиоци броја 12 су: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Делиоци броја 18 су: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
Заједнички делиоци су 1, 2, 3 и 6. Највећи од њих је 6, па је НЗД(12, 18) = 6.
Најмањи број који је дељив и са 12 и са 18 је 36, па је НЗС(12, 18) = 36.
Задаци за вежбање
Лак: Користећи правила дељивости, проверите да ли је број 820 дељив са 2, 5 и 10.
Последња цифра броја 820 је 0.
Пошто се завршава нулом, испуњава правило за дељивост са 2 (0 је парна цифра), са 5 (завршава се на 0 или 5) и са 10 (завршава се на 0).
Одговор: Број 820 је дељив са сва три броја (2, 5 и 10).
Пошто се завршава нулом, испуњава правило за дељивост са 2 (0 је парна цифра), са 5 (завршава се на 0 или 5) и са 10 (завршава се на 0).
Одговор: Број 820 је дељив са сва три броја (2, 5 и 10).
Средњи: Дат је израз \( 24 \cdot 13 + 36 \). Не израчунавајући вредност израза, докажите да је он дељив са 12. Које законе дељивости користите?
Број 24 је дељив са 12, па је по закону за производ и израз \( 24 \cdot 13 \) дељив са 12.
Број 36 је такође дељив са 12.
Пошто су оба сабирка (\( 24 \cdot 13 \) и \( 36 \)) дељива са 12, по закону за збир и цео израз је дељив са 12.
Број 36 је такође дељив са 12.
Пошто су оба сабирка (\( 24 \cdot 13 \) и \( 36 \)) дељива са 12, по закону за збир и цео израз је дељив са 12.
Тежак: Пронађите НЗД и НЗС за бројеве 15 и 20.
НЗД:
Делиоци броја 15: 1, 3, 5, 15.
Делиоци броја 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20.
Заједнички делиоци су 1 и 5. Највећи међу њима је 5. Зато је НЗД(15, 20) = 5.
НЗС:
Садржаоци броја 15: 15, 30, 45, 60, 75...
Садржаоци броја 20: 20, 40, 60, 80...
Најмањи заједнички садржалац је 60. Зато је НЗС(15, 20) = 60.
Делиоци броја 15: 1, 3, 5, 15.
Делиоци броја 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20.
Заједнички делиоци су 1 и 5. Највећи међу њима је 5. Зато је НЗД(15, 20) = 5.
НЗС:
Садржаоци броја 15: 15, 30, 45, 60, 75...
Садржаоци броја 20: 20, 40, 60, 80...
Најмањи заједнички садржалац је 60. Зато је НЗС(15, 20) = 60.
