Најважније из лекције
- Тачка \( O \) је центар симетрије за тачке \( A \) и \( A_1 \) ако се налази тачно на средини дужи \( AA_1 \).
- Централна симетрија чува растојања (представља изометрију): дуж се слика у паралелну дуж једнаке дужине.
- Слика праве која не садржи центар симетрије је њој паралелна права, док се права која пролази кроз центар слика у саму себе.
- Фигуре попут кружнице (у односу на њен центар) или дужи (у односу на њено средиште) су централносиметричне фигуре јер се при овом пресликавању поклапају са собом.
Тачка \( A_1 \) је централносиметрична тачки \( A \) у односу на тачку \( O \) уколико је \( O \) средиште дужи \( AA_1 \).
Тачка \( O \) се назива центар симетрије. Она је сама себи симетрична.
Да бисмо конструисали тачку \( T_1 \) симетричну тачки \( T \) у односу на центар \( O \):
1. Конструишемо полуправу \( TO \).
2. Уз помоћ шестара пренесемо растојање \( OT \) са друге стране тачке \( O \) на ту полуправу (сечемо полуправу луком кружнице са центром у \( O \) и полупречником \( OT \)). Та пресечна тачка је \( T_1 \).
1. Конструишемо полуправу \( TO \).
2. Уз помоћ шестара пренесемо растојање \( OT \) са друге стране тачке \( O \) на ту полуправу (сечемо полуправу луком кружнице са центром у \( O \) и полупречником \( OT \)). Та пресечна тачка је \( T_1 \).
Када се свака тачка неке равни пресликава у своју симетричну тачку у односу на центар \( O \), такво пресликавање називамо централна симетрија. За симетричне тачке кажемо да су слике једна друге.
Централна симетрија чува растојање између тачака. Растојање између две тачке једнако је растојању између њихових слика. Због ове особине, централна симетрија спада у изометријске трансформације (изометрија = иста мера).
При пресликавању праве \( p \) у односу на центар \( O \), разликују се два случаја:
- Ако центар \( O \) не припада правој \( p \) (\( O \notin p \)): права се пресликава у њој паралелну праву.
- Ако центар \( O \) припада правој \( p \) (\( O \in p \)): права се пресликава у саму себе.
Дуж \( AB \) се централном симетријом пресликава у паралелну дуж \( A_1B_1 \) исте дужине:
\[ p(A, B) \parallel p(A_1, B_1) \]
\[ AB = A_1B_1 \]
Да бисмо нашли слику неке фигуре, довољно је да пресликамо њене карактеристичне (кључне) тачке у односу на центар симетрије.
Слика троугла добија се тако што се конструишу централносиметричне слике сва три његова темена. Спајањем тих нових тачака добија се слика почетног троугла.
За пресликавање кружнице \( k(C, r) \) довољно је одредити слику њеног центра \( C \). Ако се \( C \) преслика у \( C_1 \), слика је кружница \( k_1(C_1, r) \). Полупречник \( r \) остаје непромењен!
Како ћемо најлакше конструисати слику праве \( p \) у односу на тачку \( O \) која не припада тој правој?
Можемо нацртати слику на два начина:
1. Изаберемо једну тачку на правој \( p \), нађемо њену слику, и кроз ту слику повучемо праву паралелну са \( p \).
2. Изаберемо две произвољне тачке на правој \( p \), нађемо њихове слике, и кроз те две нове тачке повучемо тражену праву.
1. Изаберемо једну тачку на правој \( p \), нађемо њену слику, и кроз ту слику повучемо праву паралелну са \( p \).
2. Изаберемо две произвољне тачке на правој \( p \), нађемо њихове слике, и кроз те две нове тачке повучемо тражену праву.
Фигура је централносиметрична ако се централном симетријом пресликава тачно у саму себе.
Да бисмо краће записали да се две ознаке односе на исти објекат (да су се поклопиле), користимо знак \( \equiv \) (нпр. \( A \equiv B_1 \)).
Примери централносиметричних фигура:
- Дуж: Ако је центар симетрије \( S \) средиште дужи \( AB \), онда се тачка \( A \) слика у \( B \), а \( B \) у \( A \). Дуж се слика у саму себе.
- Кружница: Било која кружница се симетријом у односу на свој центар пресликава у саму себе. Свака тачка се пресликава у тачку на супротном крају истог пречника.
Задаци за вежбање
Лак: Дата је дуж \( PQ \) дужине 8 cm. Ако се ова дуж преслика централном симетријом у односу на неку тачку \( O \) у дуж \( P_1Q_1 \), колика ће бити дужина дужи \( P_1Q_1 \)?
Пошто је централна симетрија изометријска трансформација (чува растојање), дужина слике мора бити једнака дужини почетне дужи.
Одговор: Дужина дужи \( P_1Q_1 \) је 8 cm.
Одговор: Дужина дужи \( P_1Q_1 \) је 8 cm.
Средњи: Дата је кружница \( k \) са центром \( C \) и полупречником \( r = 5 \text{ cm} \). Нека је \( O \) тачка на тој кружници. Ако се кружница \( k \) преслика централном симетријом у односу на тачку \( O \), где ће се налазити нови центар кружнице \( C_1 \) у односу на тачку \( O \) и колики ће бити њен полупречник?
Центар \( C \) се пресликава преко тачке \( O \) на супротну страну тако да је \( CO = OC_1 \). Пошто је \( O \) на кружници, растојање \( CO \) је једнако полупречнику (\( 5 \text{ cm} \)). Дакле, нови центар \( C_1 \) је удаљен 5 cm од тачке \( O \) на правој која пролази кроз \( C \) и \( O \). Полупречник остаје непромењен код централне симетрије.
Одговор: Полупречник слике је 5 cm, а њен центар \( C_1 \) се налази на правој \( CO \) тако да је \( O \) средиште дужи \( CC_1 \).
Одговор: Полупречник слике је 5 cm, а њен центар \( C_1 \) се налази на правој \( CO \) тако да је \( O \) средиште дужи \( CC_1 \).
Тежак: Права \( a \) садржи тачку \( A \), а тачка \( S \) (центар симетрије) не припада правој \( a \). Ако се тачка \( A \) преслика у тачку \( A_1 \), у каквом су међусобном положају права \( a \) и права \( a_1 \) која представља слику праве \( a \)? Да ли тачка \( A_1 \) припада правој \( a_1 \)?
На основу особина централне симетрије, пошто центар \( S \) не припада правој \( a \), слика те праве (\( a_1 \)) биће паралелна почетној правој (\( a_1 \parallel a \)). Пошто тачка \( A \) припада правој \( a \), њена слика \( A_1 \) мора припадати слици те праве, односно правој \( a_1 \).
Одговор: Праве \( a \) и \( a_1 \) су паралелне. Тачка \( A_1 \) припада правој \( a_1 \).
Одговор: Праве \( a \) и \( a_1 \) су паралелне. Тачка \( A_1 \) припада правој \( a_1 \).
