Најважније из лекције
- Полураван: Права дели раван на две полуравни.
- Многоугао: Унија затворене многоугаоне линије (без пресецања сопствених страница) и области коју ограничава. Специфичан случај са три темена и три странице је троугао.
- Пресек два троугла: Може варирати од празног скупа и тачке, преко дужи, све до шестоугла.
- Конвексност: Фигура је конвексна ако свака дуж која спаја две њене тачке лежи потпуно унутар ње (троугао, дуж и права су увек конвексни).
- Правила конвексности: Пресек две конвексне фигуре је увек конвексан, док унија не мора бити.
Праве деле раван у којој се налазе на различит број области у зависности од њиховог међусобног положаја:
- Једна права дели раван на две области.
- Две паралелне праве деле раван на три области.
- Две праве које се секу деле раван на четири области.
Две тачке равни су са исте стране неке праве те равни ако права не сече дуж одређену тим тачкама.
Полураван: Права заједно са свим тачкама равни које су са исте стране праве образује полураван. Свака права у равни одређује две полуравни.
Тачке \( A \) и \( B \) припадају једној полуравни коју одређује права \( p \), док тачка \( C \) припада другој полуравни коју одређује иста права. Да ли права \( p \) сече дуж \( AB \), а да ли сече дуж \( BC \)?
Одговор: Права \( p \) не сече дуж \( AB \) (јер су \( A \) и \( B \) са исте стране праве, у истој полуравни), али сече дуж \( BC \) (јер су \( B \) и \( C \) са разних страна праве).
Троугао: Пресек три полуравни одређене са три неколинеарне тачке \( A \), \( B \) и \( C \). Састоји се од троугаоне линије (унија дужи \( AB \), \( BC \) и \( CA \)) и одговарајуће области.
Троугао одређен тачкама \( A \), \( B \) и \( C \) обележавамо са \( \Delta ABC \).
Када дужима спајамо коначно много тачака у утврђеном редоследу (последња се спаја са првом), добијамо затворену изломљену линију. Ако сваке две несуседне странице немају заједничких тачака, то је многоугаона линија.
Многоугао: Унија многоугаоне линије и области коју она ограничава. Крајње тачке страница називају се теменима, а две странице са заједничким теменом су суседне странице.
Колико темена и колико страница има петоугао \( A_1 A_2 A_3 A_4 A_5 \)?
Одговор: Има пет темена (\( A_1, A_2, A_3, A_4, A_5 \)) и пет страница (\( A_1A_2, A_2A_3, A_3A_4, A_4A_5, A_5A_1 \)).
Једна страница једног троугла може да сече највише две странице другог троугла.
Због овог својства, пресек два троугла може бити веома различит. То може бити:
- празан скуп (ако се не додирују)
- тачка (ако се додирују само у једном темену или на страници)
- дуж
- троугао
- четвороугао
- петоугао
- шестоугао
Може ли пресек два троугла бити седмоугао?
Одговор: Не може. Највећи број темена који може настати у пресеку страница два троугла је 6 (шестоугао), јер свака од три странице првог троугла може пресећи највише две странице другог троугла (\(3 \cdot 2 = 6\)).
Конвексна фигура: Фигура је конвексна ако за сваке две тачке које јој припадају та фигура садржи и целу дуж чији су крајеви те две тачке.
Многоугао је конвексан ако је читав садржан у полуравни одређеној правом на којој се налази било која његова страница.
- Права, дуж, полуправа и сваки троугао јесу конвексне геометријске фигуре.
- Пресек две конвексне фигуре јесте увек конвексна фигура.
- Унија две конвексне фигуре не мора бити конвексна фигура (нпр. унија два троугла може дати неконвексну звезду).
Ако пресечемо два конвексна многоугла, да ли резултат (пресек) може бити неконвексна фигура?
Одговор: Не може. Према правилу, пресек било које две конвексне фигуре је увек конвексна фигура.
Задаци за вежбање
Лак: На колико области дели раван једна права која се у њој налази?
Одговор: Једна права дели раван на две области (две полуравни).
Средњи: Дат је многоугао који има "удубљење". Да ли је он конвексан? Објасните зашто.
Одговор: Није конвексан. У многоуглу са удубљењем могуће је пронаћи две тачке такве да дуж која их спаја пролази изван самог многоугла (пресеца "удубљење"). Да би фигура била конвексна, дуж која спаја било које две њене тачке мора у потпуности припадати тој фигури.
Тежак: Дати су троугао \( T \) и четвороугао \( Q \). Оба су конвексне фигуре. Њихова унија формира нову фигуру \( U \), а њихов пресек фигуру \( P \). Шта сигурно можемо да тврдимо за фигуре \( U \) и \( P \) када је у питању конвексност?
Одговор: За фигуру \( P \) (пресек) можемо сигурно да тврдимо да је конвексна, јер је пресек две конвексне фигуре увек конвексна фигура. За фигуру \( U \) (унија) не можемо сигурно да тврдимо да је конвексна, јер унија две конвексне фигуре не мора бити конвексна (зависи од њиховог међусобног положаја).
