Најважније из лекције
Однос правих: Различите праве у равни или се секу (\( a \cap b = \{P\} \)) или су паралелне (\( a \parallel b, a \cap b = \emptyset \)).
Аксиома паралелности: Кроз тачку ван праве постоји тачно једна паралелна права.
Дужи и полуправе: Паралелне су ако леже на паралелним правама или истој правој (не мешати са дужима које се просто не секу).
Паралелограм: Четвороугао са два пара паралелних страница (\( AB \parallel CD, BC \parallel AD \)). Наспрамне странице су једнаке, дијагонале се међусобно полове (\( OA = OC, OB = OD \)), а свака дијагонала дели паралелограм на два подударна троугла.
Аксиома паралелности: Кроз тачку ван праве постоји тачно једна паралелна права.
Дужи и полуправе: Паралелне су ако леже на паралелним правама или истој правој (не мешати са дужима које се просто не секу).
Паралелограм: Четвороугао са два пара паралелних страница (\( AB \parallel CD, BC \parallel AD \)). Наспрамне странице су једнаке, дијагонале се међусобно полове (\( OA = OC, OB = OD \)), а свака дијагонала дели паралелограм на два подударна троугла.
Две различите праве у истој равни могу имати највише једну заједничку тачку. Оне се или секу у тачно једној тачки или немају заједничких тачака.
Пресечне праве: Праве \( a \) и \( b \) које имају тачно једну заједничку тачку \( P \). Пише се \( a \cap b = \{P\} \).
Паралелне праве: Праве \( p \) и \( q \) исте равни које немају заједничких тачака (\( p \cap q = \emptyset \)). Означава се са \( p \parallel q \).
Праве које се поклапају (\( x = y \)) имају све заједничке тачке и сматрају се специјалним случајем паралелних правих.
Транзитивност паралелности: Ако су две праве паралелне трећој правој, оне су и међусобно паралелне.
\[ a \parallel b \quad \text{и} \quad b \parallel c \implies a \parallel c \]
Ако за различите праве \( m \) и \( n \) важи \( m \cap n = \emptyset \), у каквом су оне међусобном односу?
Пошто немају заједничких тачака, праве \( m \) и \( n \) су паралелне, односно \( m \parallel n \).
Аксиома паралелности: За сваку праву \( p \) и сваку тачку \( A \) која јој не припада (\( A \notin p \)), постоји тачно једна права која садржи тачку \( A \) и паралелна је са правом \( p \).
Паралелне праве се цртају помоћу троугаоног и равног лењира кроз следеће кораке:
Једну ивицу троугаоног лењира поставити тачно уз дату праву \( p \).
Уз другу ивицу тог троугаоног лењира чврсто прислонити обичан (равни) лењир као вођицу.
Клизећи троугаоним лењиром дуж равног лењира, доћи до жељене тачке \( A \) и повући праву \( q \).
Колико правих паралелних са правом \( p \) можемо повући кроз тачку \( M \) која лежи ван праве \( p \)?
Може се повући тачно једна таква права.
Две дужи (или две полуправе) су паралелне ако припадају истој правој или припадају паралелним правама.
\[ AB \parallel CD \iff p(A, B) \parallel p(C, D) \quad \text{или} \quad p(A, B) = p(C, D) \]
Чињеница да две дужи немају заједничких тачака не значи да су оне паралелне. Дужи могу бити дисјунктне (без пресека), а да њихове праве носиоци секу једна другу.
Ако су странице правоугаоника \( AB \) и \( CD \) паралелне, пишемо \( AB \parallel CD \). Међутим, суседне странице \( AB \) и \( BC \) нису паралелне јер се секу у тачки \( B \).
Дате су дужи \( EF \) и \( GH \) које се не секу. Да ли мора да важи \( EF \parallel GH \)?
Не мора. Дужи су паралелне само ако су праве \( p(E, F) \) и \( p(G, H) \) паралелне или се поклапају. Ако се те две праве секу ван самих дужи, дужи нису паралелне иако немају заједничких тачака.
Паралелограм: Четвороугао \( ABCD \) чије су наспрамне странице паралелне, настао у пресеку два пара паралелних правих (\( a \parallel b \) и \( c \parallel d \)).
Основна својства паралелограма:
- Наспрамне странице су паралелне и једнаких дужина: \[ AB \parallel CD,\; AB = CD \quad \text{и} \quad BC \parallel AD,\; BC = AD \]
- Дијагонале се узајамно полове (пресечна тачка \( O \) је средиште обе дијагонале): \[ OA = OC = \frac{1}{2}AC \quad \text{и} \quad OB = OD = \frac{1}{2}BD \]
- Свака дијагонала дели паралелограм на два подударна троугла: \[ \triangle ABC \cong \triangle CDA \quad \text{и} \quad \triangle ABD \cong \triangle CDB \]
Правоугаоник је паралелограм чији су сви углови прави. Његова дијагонала га дели на два подударна правоугла троугла.
Ако је у паралелограму \( ABCD \) дужина странице \( AB = 8\text{ cm} \), а растојање од темена \( B \) до пресека дијагонала \( O \) је \( BO = 3\text{ cm} \), одреди дужину странице \( CD \) и дужину целе дијагонале \( BD \).
Наспрамне странице су једнаке: \( CD = AB = 8\text{ cm} \).
Дијагонале се полове: \( BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 3\text{ cm} = 6\text{ cm} \).
Дијагонале се полове: \( BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 3\text{ cm} = 6\text{ cm} \).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак):
Колико највише заједничких тачака могу имати две различите праве у равни? Колико заједничких тачака имају паралелне праве које се не поклапају?
Две различите праве у равни могу имати највише једну заједничку тачку (ако се секу). Паралелне различите праве немају ниједну заједничку тачку (\( a \cap b = \emptyset \)).
Задатак 2 (средњи):
Дате су праве \( a \), \( b \) и \( c \) у једној равни. Ако знамо да је \( a \parallel b \) и да се права \( c \) сече са правом \( a \), да ли права \( c \) може бити паралелна са правом \( b \)? Обраложи одговор.
Не може. Када би права \( c \) била паралелна са \( b \), онда би због својства транзитивности (\( a \parallel b \) и \( c \parallel b \)) морало да важи и \( c \parallel a \). То је супротно чињеници да се праве \( a \) и \( c \) секу. Дакле, права \( c \) мора пресећи и праву \( b \).
Задатак 3 (средњи):
Обим паралелограма \( ABCD \) износи \( 30\text{ cm} \). Ако је дужина странице \( AB = 9\text{ cm} \), израчунај дужине осталих страница тог паралелограма.
Код паралелограма наспрамне странице су једнаке, па је \( CD = AB = 9\text{ cm} \) и \( AD = BC \).
Обим паралелограма је: \[ O = 2 \cdot AB + 2 \cdot BC \] \[ 30 = 2 \cdot 9 + 2 \cdot BC \implies 30 = 18 + 2 \cdot BC \implies 2 \cdot BC = 12 \implies BC = 6\text{ cm} \] Странице су: \( AB = 9\text{ cm} \), \( BC = 6\text{ cm} \), \( CD = 9\text{ cm} \), \( AD = 6\text{ cm} \).
Обим паралелограма је: \[ O = 2 \cdot AB + 2 \cdot BC \] \[ 30 = 2 \cdot 9 + 2 \cdot BC \implies 30 = 18 + 2 \cdot BC \implies 2 \cdot BC = 12 \implies BC = 6\text{ cm} \] Странице су: \( AB = 9\text{ cm} \), \( BC = 6\text{ cm} \), \( CD = 9\text{ cm} \), \( AD = 6\text{ cm} \).
Задатак 4 (тежак):
У правоугаонику \( ABCD \) дијагонале се секу у тачки \( O \). Ако је дужина дијагонале \( AC = 12\text{ cm} \), колико износи растојање \( OD \), знајући да су дијагонале правоугаоника једнаких дужина (\( AC = BD \))? На какве троуглове дијагонала \( AC \) дели овај правоугаоник?
1. Пошто су дијагонале правоугаоника једнаке: \( BD = AC = 12\text{ cm} \).
2. Како се дијагонале полове у тачки \( O \): \[ OD = \frac{1}{2} \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 12\text{ cm} = 6\text{ cm} \] 3. Дијагонала \( AC \) дели правоугаоник на два подударна правоугла троугла (\( \triangle ABC \cong \triangle CDA \)).
2. Како се дијагонале полове у тачки \( O \): \[ OD = \frac{1}{2} \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 12\text{ cm} = 6\text{ cm} \] 3. Дијагонала \( AC \) дели правоугаоник на два подударна правоугла троугла (\( \triangle ABC \cong \triangle CDA \)).
