Најважније из лекције
- Основна јединица за дужину је метар (\( m \)), док су мање јединице \( dm \), \( cm \) и \( mm \), а већа \( km \). За претварање важи: \( 1 \text{ m} = 10 \text{ dm} = 100 \text{ cm} = 1000 \text{ mm} \).
- Обим многоугла (и дужина изломљене линије) рачуна се као збир свих дужина дужи/страница од којих се састоји. Приликом сабирања све јединице морају бити исте.
- Ако за дужи \( AB \) и \( CD \) важи \( AB = CD \), оне имају исту дужину.
- Средиште дужи \( S \) дели дуж \( AB \) на два једнака дела: \( AS = BS \).
Основна јединица за мерење дужине јесе метар \( (m) \).
Поред метра, користе се веће и мање изведене јединице. Односи између њих базирани су на декадном систему:
| Јединица | Ознака | Однос према метру и осталим јединицама |
|---|---|---|
| Километар | \( km \) | \( 1 \text{ km} = 1\,000 \text{ m} \) |
| Дециметар | \( dm \) | \( 1 \text{ m} = 10 \text{ dm} \) |
| Центиметар | \( cm \) | \( 1 \text{ m} = 100 \text{ cm} \), \( 1 \text{ dm} = 10 \text{ cm} \) |
| Милиметар | \( mm \) | \( 1 \text{ m} = 1\,000 \text{ mm} \), \( 1 \text{ dm} = 100 \text{ mm} \), \( 1 \text{ cm} = 10 \text{ mm} \) |
Претвори наведене мере у центиметре: \( 4 \text{ m } 2 \text{ dm } 3 \text{ cm} \).
\( 4 \text{ m} = 400 \text{ cm} \)
\( 2 \text{ dm} = 20 \text{ cm} \)
\( 400 \text{ cm} + 20 \text{ cm} + 3 \text{ cm} = 423 \text{ cm} \).
Одговор: \( 423 \text{ cm} \).
\( 2 \text{ dm} = 20 \text{ cm} \)
\( 400 \text{ cm} + 20 \text{ cm} + 3 \text{ cm} = 423 \text{ cm} \).
Одговор: \( 423 \text{ cm} \).
Дужина дужи \( PQ \) се назива и најкраће растојање између тачака \( P \) и \( Q \).
Приликом сабирања и одузимања дужина, потребно је водити рачуна о мерним јединицама. Ако одузимамо већу вредност мање јединице од мање вредности, "позајмљујемо" од веће јединице.
Израчунајмо разлуку: \( 5 \text{ cm } 4 \text{ mm} - 3 \text{ cm } 7 \text{ mm} \).
Пошто не можемо одузети \( 7 \text{ mm} \) од \( 4 \text{ mm} \), претварамо \( 1 \text{ cm} \) у \( 10 \text{ mm} \):
\( 5 \text{ cm } 4 \text{ mm} = 4 \text{ cm } 14 \text{ mm} \)
\( 4 \text{ cm } 14 \text{ mm} - 3 \text{ cm } 7 \text{ mm} = 1 \text{ cm } 7 \text{ mm} \).
Израчунајмо разлуку: \( 5 \text{ cm } 4 \text{ mm} - 3 \text{ cm } 7 \text{ mm} \).
Пошто не можемо одузети \( 7 \text{ mm} \) од \( 4 \text{ mm} \), претварамо \( 1 \text{ cm} \) у \( 10 \text{ mm} \):
\( 5 \text{ cm } 4 \text{ mm} = 4 \text{ cm } 14 \text{ mm} \)
\( 4 \text{ cm } 14 \text{ mm} - 3 \text{ cm } 7 \text{ mm} = 1 \text{ cm } 7 \text{ mm} \).
Изломљену линију добијамо спајањем тачака дужима (надовезивањем). Дужина изломљене линије једнака је збиру дужина свих дужи које је чине.
Обим многоугла је збир дужина страница тог многоугла.
За троугао \( ABC \) обим се рачуна као:
\[ O_{ABC} = AB + BC + CA \]
\[ O_{ABC} = AB + BC + CA \]
Израчунај обим троугла чије су странице \( a = 30 \text{ mm} \), \( b = 24 \text{ mm} \) и \( c = 20 \text{ mm} \).
\( O = a + b + c \)
\( O = 30 \text{ mm} + 24 \text{ mm} + 20 \text{ mm} = 74 \text{ mm} \)
Обим се може записати и као \( 7 \text{ cm } 4 \text{ mm} \).
\( O = 30 \text{ mm} + 24 \text{ mm} + 20 \text{ mm} = 74 \text{ mm} \)
Обим се може записати и као \( 7 \text{ cm } 4 \text{ mm} \).
Две дужи су једнаке ако су једнаке њихове дужине. Запис \( AB = CD \) значи да су им дужине једнаке, а не да су иста дуж (исти скуп тачака).
На геометријским цртежима, дужи које су једнаке дужине често се обележавају истим бројем кратких попречних цртица на самој дужи.
Средиште дужи \( AB \) је тачка \( S \) која припада тој дужи и дели је на два једнака дела, тако да важи \( AS = BS \).
Дуж \( AB \) има дужину \( 8 \text{ cm} \). Тачка \( S \) је средиште дужи \( AB \). Колика је дужина дужи \( AS \)?
Пошто је \( S \) средиште, оно дели дуж \( AB \) на два једнака дела: \( AS = BS \).
\( AS = AB : 2 \)
\( AS = 8 \text{ cm} : 2 = 4 \text{ cm} \).
Одговор: Дужина дужи \( AS \) је \( 4 \text{ cm} \).
\( AS = AB : 2 \)
\( AS = 8 \text{ cm} : 2 = 4 \text{ cm} \).
Одговор: Дужина дужи \( AS \) је \( 4 \text{ cm} \).
Задаци за вежбање
Лак: Допуни једнакост тако да буде тачна: \( 12 \text{ cm} = \_\_\_\_ \text{ mm} \).
Пошто је \( 1 \text{ cm} = 10 \text{ mm} \), онда је \( 12 \text{ cm} = 12 \cdot 10 \text{ mm} = 120 \text{ mm} \).
Одговор: 120.
Одговор: 120.
Средњи: Изломљена линија се састоји од три дужи дужина \( 4 \text{ cm } 2 \text{ mm} \), \( 3 \text{ cm } 9 \text{ mm} \) и \( 5 \text{ cm } 1 \text{ mm} \). Израчунај укупну дужину ове изломљене линије.
Укупна дужина је збир појединачних дужина. Најлакше је претворити све у милиметре:
\( 42 \text{ mm} + 39 \text{ mm} + 51 \text{ mm} = 132 \text{ mm} \).
Ово можемо вратити у центиметре: \( 132 \text{ mm} = 13 \text{ cm } 2 \text{ mm} \).
Одговор: Дужина изломљене линије је \( 13 \text{ cm } 2 \text{ mm} \) (или \( 132 \text{ mm} \)).
\( 42 \text{ mm} + 39 \text{ mm} + 51 \text{ mm} = 132 \text{ mm} \).
Ово можемо вратити у центиметре: \( 132 \text{ mm} = 13 \text{ cm } 2 \text{ mm} \).
Одговор: Дужина изломљене линије је \( 13 \text{ cm } 2 \text{ mm} \) (или \( 132 \text{ mm} \)).
Тежак: Дате су тачке \( A \) и \( S \). Тачка \( B \) је одређена тако да је \( S \) средиште дужи \( AB \). Затим је одређена тачка \( C \) тако да је \( B \) средиште дужи \( AC \). Колико пута је дуж \( AC \) дужа од дужи \( AS \)?
Ако је \( S \) средиште дужи \( AB \), онда је \( AB = 2 \cdot AS \).
Ако је \( B \) средиште дужи \( AC \), онда је \( AC = 2 \cdot AB \).
Заменимо прву једнакост у другу: \( AC = 2 \cdot (2 \cdot AS) = 4 \cdot AS \).
Одговор: Дуж \( AC \) је 4 пута дужа од дужи \( AS \).
Ако је \( B \) средиште дужи \( AC \), онда је \( AC = 2 \cdot AB \).
Заменимо прву једнакост у другу: \( AC = 2 \cdot (2 \cdot AS) = 4 \cdot AS \).
Одговор: Дуж \( AC \) је 4 пута дужа од дужи \( AS \).
