Најважније из лекције
- Преношење дужи се врши шестаром, који нам омогућава да тачно измеримо и копирамо растојање између две тачке без употребе бројева и лењира са скалом.
- Сабирање (надовезивање) се постиже тако што се дужи ређају једна за другом на истој правој (наставак из крајње тачке претходне дужи).
- Одузимање дужи се ради тако што се мања дуж пренесе преко веће почевши од исте заједничке почетне тачке; део веће дужи који преостане је њихова разлика.
- Вишеструке дужи (нпр. \( 3a \)) добијамо узастопним преношењем исте дужине одговарајући број пута.
Преношење дужи је поступак којим се помоћу шестара и лењира на некој правој или полуправој одређује дуж једнака датој дужи.
Уместо мерења лењиром, користимо шестар како бисмо прецизно „узели” дужину. Да бисмо пренели дуж \( AB \) на полуправу \( Pp \), тако да добијемо дуж \( PQ = AB \), радимо следеће:
Иглу шестара поставимо у тачку \( A \), а графит у тачку \( B \), чиме смо отвором шестара „узели” дужину \( AB \).
Не мењајући отвор шестара, иглу поставимо у почетну тачку полуправе \( P \) и опишемо кружни лук који сече полуправу.
Пресечна тачка лука и полуправе је тражена тачка \( Q \).
Конструктивно сабирање дужи врши се њиховим надовезивањем једне на другу дуж исте праве или полуправе.
Ако желимо да саберемо дужи \( AB \) и \( CD \), поступак је следећи:
Нацртамо полуправу са почетном тачком (нпр. тачка \( O \)).
Пренесемо дуж \( AB \) на полуправу, тако да добијемо тачку \( X \). Тада је \( OX = AB \).
Из тачке \( X \) (као новог почетка) пренесемо дуж \( CD \), тако да добијемо тачку \( Y \). Тада је \( XY = CD \).
Укупна дуж \( OY \) представља збир дужи:
\[ OY = OX + XY = AB + CD \]
На исти начин можемо сабирати више дужи или узимати вишеструку вредност једне дужи. На пример, конструкција \( 3KL \) значи да дужину \( KL \) надовезујемо три пута заредом.
Дуж \( AB \) је мања од дужи \( CD \) (\( AB < CD \)) ако унутар дужи \( CD \) постоји тачка \( X \) таква да је растојање од почетка једнако \( AB \).
Дужи конструктивно одузимамо тако што мању дуж „сместимо” унутар веће, почевши од исте тачке:
На полуправу пренесемо већу дуж \( CD \) (добијамо крајеве који представљају укупну дужину).
Из исте почетне тачке пренесемо мању дуж \( AB \), означавајући тачку \( X \).
Преостали део веће дужи (од тачке \( X \) до краја веће дужи) представља њихову разлику.
Ако је почетна тачка \( C \), а пренета мања дуж је \( CX = AB \), разлика је:
\[ XD = CD - CX = CD - AB \]
Задаци за вежбање
Лак задатак: Објасни како би помоћу шестара и лењира конструисао дуж \( EF \) која је два пута дужа од дате дужи \( a \).
1. Нацртамо полуправу са почетком у тачки \( E \).
2. Отвором шестара узмемо дужину дужи \( a \).
3. Из тачке \( E \) пресечемо полуправу луком и означимо тачку \( X \).
4. Не мењајући отвор шестара, убодемо шестар у тачку \( X \) и поново пресечемо полуправу луком, добијајући тачку \( F \).
Дуж \( EF = a + a = 2a \).
2. Отвором шестара узмемо дужину дужи \( a \).
3. Из тачке \( E \) пресечемо полуправу луком и означимо тачку \( X \).
4. Не мењајући отвор шестара, убодемо шестар у тачку \( X \) и поново пресечемо полуправу луком, добијајући тачку \( F \).
Дуж \( EF = a + a = 2a \).
Средњи задатак: Дате су дужи \( a \) и \( b \), при чему је \( a > b \). Напиши поступак конструкције дужи \( x = a - b \).
1. Нацртамо полуправу са почетном тачком \( O \).
2. Отвором шестара пренесемо већу дуж \( a \) на полуправу и означимо пресечну тачку са \( M \) (\( OM = a \)).
3. Затим узмемо отвором шестара мању дуж \( b \).
4. Иглу шестара поставимо у тачку \( O \) и на дужи \( OM \) означимо тачку \( N \) (\( ON = b \)).
5. Дуж \( NM \) представља тражену разлику: \( NM = OM - ON = a - b \).
2. Отвором шестара пренесемо већу дуж \( a \) на полуправу и означимо пресечну тачку са \( M \) (\( OM = a \)).
3. Затим узмемо отвором шестара мању дуж \( b \).
4. Иглу шестара поставимо у тачку \( O \) и на дужи \( OM \) означимо тачку \( N \) (\( ON = b \)).
5. Дуж \( NM \) представља тражену разлику: \( NM = OM - ON = a - b \).
Тежак задатак: Дате су дужи \( x \) и \( y \). Опиши поступак конструкције дужи \( ZW \) такве да је \( ZW = 3x - 2y \) (подразумева се да је \( 3x > 2y \)).
1. Нацртамо полуправу са почетном тачком \( Z \).
2. Шестаром узмемо дужину \( x \) и три пута је надовежемо на полуправу (преносимо из \( Z \), па из добијене пресечне тачке, па из наредне). Обележимо крајњу тачку са \( K \). Тада је \( ZK = 3x \).
3. Узмемо отвор шестара дужине \( y \).
4. Иглу шестара поставимо у крајњу тачку \( K \) и уназад (према тачки \( Z \)) пресечемо дуж. Из те нове тачке још једном уназад пресечемо дуж. Крајњу добијену тачку обележимо са \( W \). Растојање које смо вратили је \( 2y \).
5. Тражена дуж је \( ZW = 3x - 2y \).
2. Шестаром узмемо дужину \( x \) и три пута је надовежемо на полуправу (преносимо из \( Z \), па из добијене пресечне тачке, па из наредне). Обележимо крајњу тачку са \( K \). Тада је \( ZK = 3x \).
3. Узмемо отвор шестара дужине \( y \).
4. Иглу шестара поставимо у крајњу тачку \( K \) и уназад (према тачки \( Z \)) пресечемо дуж. Из те нове тачке још једном уназад пресечемо дуж. Крајњу добијену тачку обележимо са \( W \). Растојање које смо вратили је \( 2y \).
5. Тражена дуж је \( ZW = 3x - 2y \).
