Најважније из лекције
- Својства: Комутативност (\( a+b = b+a \)) и асоцијативност (\( (a+b)+c = a+(b+c) \)) важе за разломке и децималне бројеве и користе се за брже рачунање.
- Више разломака: Сводимо их све на заједнички именилац (НЗС) пре сабирања или одузимања.
- Комбиновани изрази: Ако сви разломци могу да се претворе у коначан децимални број, рачунамо како нам је лакше. Ако бар један не може, обавезно све претварамо у разломке!
- Променљиве: У изразима са словима, прво заменимо слова њиховим бројним вредностима, па тек онда рачунамо вредност израза.
Сабирање разломака и децималних бројева наслеђује важна својства сабирања природних бројева. Ова својства нам омогућавају да групишемо сабирке на начин који нам олакшава рачунање.
Комутативност: Збир се не мења ако сабирци замене места.
\( r_1 + r_2 = r_2 + r_1 \)
\( r_1 + r_2 = r_2 + r_1 \)
Асоцијативност: Збир се не мења без обзира на то како групишемо сабирке.
\( (r_1 + r_2) + r_3 = r_1 + (r_2 + r_3) \)
\( (r_1 + r_2) + r_3 = r_1 + (r_2 + r_3) \)
Неутрални елемент: Нула као сабирак не утиче на вредност збира.
\( r + 0 = 0 + r = r \)
Такође важи: \( r - 0 = r \) и \( r - r = 0 \).
\( r + 0 = 0 + r = r \)
Такође важи: \( r - 0 = r \) и \( r - r = 0 \).
Коришћење комутативности и асоцијативности за лакше рачунање:
\( 0,25 + 0,567 + 1,75 = (0,25 + 1,75) + 0,567 = 2 + 0,567 = 2,567 \)
\( 0,25 + 0,567 + 1,75 = (0,25 + 1,75) + 0,567 = 2 + 0,567 = 2,567 \)
Збир више сабирака (разломака) рачунамо тако што прво одредимо НЗС (најмањи заједнички садржалац) свих именилаца. Затим проширимо сабирке да би имали једнаке имениоце и тек онда их саберемо.
\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{6}{12} + \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{13}{12} = 1\frac{1}{12} \]
(НЗС за 2, 3 и 4 је 12)
При сабирању више децималних бројева, потписујемо их један испод другог тако да децималне запете буду једна испод друге, а затим сабирамо.
\( 21,12 + 5,109 + 13,77 = 39,999 \)
Када у изразу учествују и разломци и децимални бројеви, прво морамо одлучити у ком запису ћемо радити (децималном или разломачком).
1. Случај: Ако сви разломци имају коначне децималне записе (именилац је делилац неке декадне јединице), можемо рачунати превођењем свега у децимални запис (што је често лакше) или превођењем свега у разломке.
\( \frac{4}{5} - 0,5 + \frac{7}{20} = 0,8 - 0,5 + 0,35 = 0,65 \)
2. Случај: Ако бар један разломак нема коначан децимални запис, тада све децималне бројеве морамо превести у разломке и цео израз рачунати у том облику.
У изразу \( \frac{4}{7} - 0,5 + \frac{7}{20} \), разломак \( \frac{4}{7} \) нема коначан децималан запис. Зато рачунамо овако:
\( \frac{4}{7} - \frac{1}{2} + \frac{7}{20} = \frac{80}{140} - \frac{70}{140} + \frac{49}{140} = \frac{59}{140} \)
\( \frac{4}{7} - \frac{1}{2} + \frac{7}{20} = \frac{80}{140} - \frac{70}{140} + \frac{49}{140} = \frac{59}{140} \)
Бројевни изрази се граде примењујући рачунске операције на бројеве. Њиховим решавањем по приоритету операција добијамо један коначан број који се зове вредност бројевног израза.
Изрази са променљивом
То су изрази који садрже слова (нпр. \( a + 4,5 \) или \( a - b + c \)). Вредност оваквог израза можемо израчунати тек када уместо слова (променљивих) убацимо конкретне бројеве.
Задаци за вежбање
Лаки задатак: Користећи својства сабирања, израчунај на најједноставнији начин:
\[ 2\frac{1}{5} + \frac{3}{8} + 1\frac{4}{5} \]
Примењујемо комутативност и асоцијативност да групишемо разломке са истим имениоцем:
\( \left(2\frac{1}{5} + 1\frac{4}{5}\right) + \frac{3}{8} = 4 + \frac{3}{8} = 4\frac{3}{8} \)
\( \left(2\frac{1}{5} + 1\frac{4}{5}\right) + \frac{3}{8} = 4 + \frac{3}{8} = 4\frac{3}{8} \)
Средњи задатак: Израчунај вредност израза:
\[ \frac{5}{6} + 0,2 - \frac{1}{3} \]
Разломак \( \frac{5}{6} \) нема коначан децимални запис, па цео израз морамо рачунати у разломцима. Претварамо \( 0,2 \) у \( \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \).
Израз постаје: \( \frac{5}{6} + \frac{1}{5} - \frac{1}{3} \).
НЗС за 6, 5 и 3 је 30.
\( \frac{25}{30} + \frac{6}{30} - \frac{10}{30} = \frac{31}{30} - \frac{10}{30} = \frac{21}{30} \)
Разломак можемо скратити са 3: \( \frac{7}{10} \) (или 0,7).
Израз постаје: \( \frac{5}{6} + \frac{1}{5} - \frac{1}{3} \).
НЗС за 6, 5 и 3 је 30.
\( \frac{25}{30} + \frac{6}{30} - \frac{10}{30} = \frac{31}{30} - \frac{10}{30} = \frac{21}{30} \)
Разломак можемо скратити са 3: \( \frac{7}{10} \) (или 0,7).
Тежи задатак: Израчунај вредност израза са променљивама \( x - y + z \), ако је:
\( x = 4,25 \), \( y = 1\frac{3}{4} \), \( z = 2,5 \)
Прво замењујемо променљиве датим вредностима:
\( 4,25 - 1\frac{3}{4} + 2,5 \)
Пошто сви бројеви могу имати коначан децимални запис, најлакше је да све претворимо у децималне бројеве (\( 1\frac{3}{4} = 1,75 \)):
\( 4,25 - 1,75 + 2,5 \)
Рачунамо редом слева надесно:
\( 2,50 + 2,5 = 5 \)
\( 4,25 - 1\frac{3}{4} + 2,5 \)
Пошто сви бројеви могу имати коначан децимални запис, најлакше је да све претворимо у децималне бројеве (\( 1\frac{3}{4} = 1,75 \)):
\( 4,25 - 1,75 + 2,5 \)
Рачунамо редом слева надесно:
\( 2,50 + 2,5 = 5 \)
