Најважније из лекције
- Непознат сабирак или умањеник: Решава се слично једначинама, знак неједнакости остаје исти.
- Непознат умањилац (\( a - x \)): Ово је једини случај где се знак неједнакости мења (из \( < \) у \( > \), и обрнуто).
- Услови код одузимања: Увек провери да ли је умањеник већи или једнак умањиоцу. За \( x - a \) мора важити \( x \ge a \), а за \( a - x \) мора важити \( x \le a \). Ови услови ограничавају скуп решења са једне стране.
- Графички приказ: Пун кружић се користи за \(\le\) и \(\ge\), а празан за \(<\) и \(>\).
Неједначина је неједнакост с променљивом. Решење неједначине је сваки број који замењен у неједначини даје тачну неједнакост.
Решења неједначина најчешће се приказују графички на бројевној полуправој. Скуп решења чине сви бројеви који задовољавају неједнакост, а у обзир се узимају и услови (на пример, да број не може бити мањи од нуле).
Правила за графички приказ:
- Пун (обојен) кружић се ставља када број припада скупу решења (знаци \(\le\) или \(\ge\)).
- Празан (необојен) кружић се ставља када број не припада скупу решења (знаци \(<\) или \(>\)).
- Стрелица и осенчени део показују на коју страну се простиру решења (надесно за веће, налево за мање вредности).
Непознати сабирак се израчунава тако што се од збира одузме познати сабирак. Знак неједнакости се не мења.
Ако је \( x + a < b \), тада је \( x < b - a \).
Ако је \( x + a > b \), тада је \( x > b - a \).
Ако је \( x + a > b \), тада је \( x > b - a \).
Реши неједначину \( x + 0,5 < 4\frac{3}{4} \).
\[ x < 4\frac{3}{4} - \frac{1}{2} \]
\[ x < 4\frac{3}{4} - \frac{2}{4} \]
\[ x < 4\frac{1}{4} \]
Како бројеви морају бити позитивни или нула, решење записујемо као: \( 0 \le x < 4\frac{1}{4} \).
Непознати умањеник се израчунава тако што се разлика сабере са умањиоцем. Знак неједнакости се не мења.
Код одузимања морамо водити рачуна да израз са одузимањем постоји! Умањеник мора бити већи или једнак умањиоцу. Зато, за израз \( x - a \) мора да важи услов \( x \ge a \).
Реши неједначину \( x - 2,7 < 3 \).
Услов: Број \( x \) мора бити већи или једнак са \( 2,7 \) (\( x \ge 2,7 \)) да би одузимање било могуће. \[ x < 3 + 2,7 \] \[ x < 5,7 \] Имајући у виду услов, коначно решење је: \( 2,7 \le x < 5,7 \).
Услов: Број \( x \) мора бити већи или једнак са \( 2,7 \) (\( x \ge 2,7 \)) да би одузимање било могуће. \[ x < 3 + 2,7 \] \[ x < 5,7 \] Имајући у виду услов, коначно решење је: \( 2,7 \le x < 5,7 \).
Непознати умањилац се израчунава тако што се од умањеника одузме разлика.
Знак неједнакости се мења! Знак \( < \) постаје \( > \), а знак \( > \) постаје \( < \). Такође, важи услов да умањилац не може бити већи од умањеника (\( x \le a \)).
Реши неједначину \( 3,9 - x < 2,05 \).
Услов: Број \( x \) мора бити мањи или једнак \( 3,9 \) (\( x \le 3,9 \)).
Мењамо знак: уместо \( < \) пишемо \( > \). \[ x > 3,9 - 2,05 \] \[ x > 1,85 \] Комбиновањем услова и решења добијамо: \( 1,85 < x \le 3,9 \).
Услов: Број \( x \) мора бити мањи или једнак \( 3,9 \) (\( x \le 3,9 \)).
Мењамо знак: уместо \( < \) пишемо \( > \). \[ x > 3,9 - 2,05 \] \[ x > 1,85 \] Комбиновањем услова и решења добијамо: \( 1,85 < x \le 3,9 \).
| Облик неједначине | Решење | Услов |
|---|---|---|
| \( x + a > b \) \( a + x > b \) |
\( x > b - a \) | \( a < b \) |
| \( x - a > b \) | \( x > b + a \) | (нема посебног услова, \( x \) ће свакако бити веће од \( a \)) |
| \( x + a < b \) \( a + x < b \) |
\( x < b - a \) | \( a < b \) |
| \( x - a < b \) | \( a \le x < b + a \) | \( x \ge a \) |
| \( a - x < b \) | \( a - b < x \le a \) | \( a \ge b \) |
| \( a - x > b \) | \( x < a - b \) | \( a > b \) |
Задаци за вежбање
Лак: Реши неједначину \( x + \frac{1}{3} > 1\frac{2}{3} \).
У питању је непознати сабирак, знак се не мења.
\[ x > 1\frac{2}{3} - \frac{1}{3} \]
\[ x > 1\frac{1}{3} \]
Средњи: Реши неједначину \( x - 1,4 \le 2,1 \) уз обавезно постављање услова за умањеник.
Услов: Да би одузимање постојало, мора да важи \( x \ge 1,4 \).
Решавање неједначине (знак се не мења): \[ x \le 2,1 + 1,4 \] \[ x \le 3,5 \] Када спојимо услов и решење, добијамо коначан скуп решења: \[ 1,4 \le x \le 3,5 \]
Решавање неједначине (знак се не мења): \[ x \le 2,1 + 1,4 \] \[ x \le 3,5 \] Када спојимо услов и решење, добијамо коначан скуп решења: \[ 1,4 \le x \le 3,5 \]
Тежак: Реши неједначину \( 5,2 - x < 1,7 \).
Непознат је умањилац, па се знак неједнакости мења. Такође, морамо поставити услов: \( x \le 5,2 \).
\[ x > 5,2 - 1,7 \]
\[ x > 3,5 \]
Комбиновањем овог резултата са почетним условом добијамо коначно решење:
\[ 3,5 < x \le 5,2 \]
