Најважније из лекције
Проширивање: Множење бројиоца и имениоца истим бројем (\( \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} \)).
Скраћивање: Дељење бројиоца и имениоца њиховим заједничким делиоцем (\( \frac{a}{b} = \frac{a : n}{b : n} \)). Вредност разломка остаје иста у оба случаја.
Несводљив разломак: Разломак који се не може даље скратити. Добија се када се почетни разломак скрати са НЗД бројиоца и имениоца.
Провера једнакости: Два разломка су једнака ако су им унакрсни производи једнаки (\( a \cdot d = b \cdot c \)).
Скраћивање: Дељење бројиоца и имениоца њиховим заједничким делиоцем (\( \frac{a}{b} = \frac{a : n}{b : n} \)). Вредност разломка остаје иста у оба случаја.
Несводљив разломак: Разломак који се не може даље скратити. Добија се када се почетни разломак скрати са НЗД бројиоца и имениоца.
Провера једнакости: Два разломка су једнака ако су им унакрсни производи једнаки (\( a \cdot d = b \cdot c \)).
Количник (вредност разломка) се не мења ако бројилац и именилац неког разломка помножимо истим природним бројем већим од 1. Тај поступак називамо проширивање разломка.
\[ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} \]
Проширивање разломка \( \frac{3}{4} \) бројем 2:
\[ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{6}{8} \]
Узастопним проширивањем бројевима \( m \) и \( n \) добија се исти разломак као при проширивању бројем \( m \cdot n \).
Ако желимо да проширимо два разломка тако да имају једнаке имениоце, најбоље је да нови именилац буде Најмањи заједнички садржалац (НЗС) њихових именилаца.
Ако бројилац и именилац нису узајамно прости бројеви, разломак можемо скратити. Количник се не мења ако бројилац и именилац поделимо неким њиховим заједничким делиоцем већим од 1.
\[ \frac{a}{b} = \frac{a : n}{b : n} \]
Постоји више могућности за скраћивање разломка \( \frac{36}{42} \) (нпр. са 2, 3 или 6):
\[ \frac{36}{42} = \frac{36 : 6}{42 : 6} = \frac{6}{7} \]
Узастопним скраћивањем бројевима \( m \) и \( n \) добија се исти резултат као при директном скраћивању бројем \( m \cdot n \).
Разломак чији су бројилац и именилац узајамно прости бројеви не може се даље скраћивати. Такве разломке називамо несводљивим.
Најефикасније (само једним скраћивањем) добијамо несводљив разломак ако дати разломак скратимо највећим заједничким делиоцем (НЗД) бројиоца и имениоца.
Да бисмо \( \frac{32}{72} \) претворили у несводљив разломак у једном кораку, тражимо \( \text{НЗД}(32, 72) = 8 \):
\[ \frac{32}{72} = \frac{32 : 8}{72 : 8} = \frac{4}{9} \]
Два разломка су једнака ако је производ бројиоца првог и имениоца другог једнак производу имениоца првог и бројиоца другог (унакрсно множење).
\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = c \cdot b \]
Да ли је \( \frac{2}{5} = \frac{6}{15} \)?
Проверавамо: \( 2 \cdot 15 = 30 \) и \( 5 \cdot 6 = 30 \). Пошто је \( 30 = 30 \), разломци су једнаки.
Проверавамо: \( 2 \cdot 15 = 30 \) и \( 5 \cdot 6 = 30 \). Пошто је \( 30 = 30 \), разломци су једнаки.
Задаци за вежбање
Лак: Прошири разломак \( \frac{4}{9} \) бројем 5.
Множимо и бројилац и именилац са 5:
\[ \frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{20}{45} \]
Средњи: Дат је разломак \( \frac{42}{54} \). Једним скраћивањем одреди њему једнак несводљив разломак.
Да бисмо га скратили у једном кораку, морамо наћи НЗД за 42 и 54.
\( \text{НЗД}(42, 54) = 6 \)
Делимо бројилац и именилац са 6: \[ \frac{42}{54} = \frac{42 : 6}{54 : 6} = \frac{7}{9} \]
\( \text{НЗД}(42, 54) = 6 \)
Делимо бројилац и именилац са 6: \[ \frac{42}{54} = \frac{42 : 6}{54 : 6} = \frac{7}{9} \]
Средњи: Без скраћивања и проширивања, провери да ли важи једнакост разломака: \( \frac{7}{8} = \frac{35}{40} \).
Користимо правило за једнакост разломака (\( a \cdot d = b \cdot c \)):
\( 7 \cdot 40 = 280 \)
\( 8 \cdot 35 = 280 \)
Пошто је \( 280 = 280 \), једнакост је тачна.
\( 7 \cdot 40 = 280 \)
\( 8 \cdot 35 = 280 \)
Пошто је \( 280 = 280 \), једнакост је тачна.
Тежак: Прошири разломке \( \frac{5}{12} \) и \( \frac{7}{18} \) најмањим могућим бројевима тако да добију једнаке имениоце. Који су то разломци?
Тражимо Најмањи заједнички садржалац (НЗС) за имениоце 12 и 18.
\( \text{НЗС}(12, 18) = 36 \)
Први разломак проширујемо са 3 (јер је \( 36 : 12 = 3 \)): \[ \frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{15}{36} \]
Други разломак проширујемо са 2 (јер је \( 36 : 18 = 2 \)): \[ \frac{7}{18} = \frac{7 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{14}{36} \]
Одговор: То су разломци \( \frac{15}{36} \) и \( \frac{14}{36} \).
\( \text{НЗС}(12, 18) = 36 \)
Први разломак проширујемо са 3 (јер је \( 36 : 12 = 3 \)): \[ \frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{15}{36} \]
Други разломак проширујемо са 2 (јер је \( 36 : 18 = 2 \)): \[ \frac{7}{18} = \frac{7 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{14}{36} \]
Одговор: То су разломци \( \frac{15}{36} \) и \( \frac{14}{36} \).
