Најважније из лекције
- Дефиниција: Размера \( a : b \) је количник два броја, а њена вредност је разломак \( \frac{a}{b} \).
- Особина: Вредност се не мења ако се оба члана помноже или поделе истим бројем (олакшава рад са децималама и разломцима).
- Мерне јединице: Приликом упоређивања, све величине морају бити изражене у истој мерној јединици.
- Подела количине: Када се нешто дели у размери \( a : b \), укупна количина се дели на \( a + b \) једнаких делова.
Размера (однос) два броја различита од нуле јесте количник тих бројева.
Размера бројева \( a \) и \( b \) означава се са \( a : b \) (чита се: „\( a \) према \( b \)“). Број \( a \) је први члан размере, а број \( b \) је други члан.
Вредност размере \( a : b \) јесте разломак:
\[ \frac{a}{b} \]
Вредност размере показује колико је пута један члан размере већи или мањи од другог. Две размере су једнаке ако имају исту вредност.
Ако су дужина и ширина правоугаоника у размери \( 4 : 3 \), то значи да ширина представља \( \frac{3}{4} \) његове дужине.
Вредност размере се не мења ако се оба члана помноже или поделе истим бројем који је различит од нуле.
Ово правило се користи како би се размера изразила преко узајамно простих природних бројева (без децимала и разломака).
Скраћивање размере: Делимо оба члана њиховим највећим заједничким делиоцем.
\( 45 : 198 = (45 : 9) : (198 : 9) = 5 : 22 \)
\( 45 : 198 = (45 : 9) : (198 : 9) = 5 : 22 \)
Проширивање (децимални бројеви): Множимо декадном јединицом да бисмо уклонили децимале.
\( 0,2 : 1,73 = (0,2 \cdot 100) : (1,73 \cdot 100) = 20 : 173 \)
\( 0,2 : 1,73 = (0,2 \cdot 100) : (1,73 \cdot 100) = 20 : 173 \)
Проширивање (разломци): Множимо оба члана најмањим заједничким садржаоцем (НЗС) њихових именилаца.
\( \frac{2}{3} : \frac{5}{7} = \left(\frac{2}{3} \cdot 21\right) : \left(\frac{5}{7} \cdot 21\right) = 14 : 15 \)
\( \frac{2}{3} : \frac{5}{7} = \left(\frac{2}{3} \cdot 21\right) : \left(\frac{5}{7} \cdot 21\right) = 14 : 15 \)
Запиши размеру \( 0,4 : 0,6 \) тако да чланови буду узајамно прости природни бројеви.
Прво проширујемо са 10 да уклонимо децимале:
\( 0,4 \cdot 10 : 0,6 \cdot 10 = 4 : 6 \)
Затим скраћујемо (делимо) са 2:
\( 4 : 2 = 2 \) и \( 6 : 2 = 3 \)
Одговор: Тражена размера је \( 2 : 3 \).
\( 0,4 \cdot 10 : 0,6 \cdot 10 = 4 : 6 \)
Затим скраћујемо (делимо) са 2:
\( 4 : 2 = 2 \) и \( 6 : 2 = 3 \)
Одговор: Тражена размера је \( 2 : 3 \).
Када се одређује размера два именована броја (величине које имају мерне јединице), прво их треба изразити истом јединицом мере!
Размера две истоимене величине је неименован број (нема мерну јединицу након краћења).
Израчунавање вредности размере \( 3 \text{ g} : 0,12 \text{ kg} \):
Прво претварамо килограме у граме: \( 0,12 \text{ kg} = 120 \text{ g} \).
Затим правимо размеру: \( 3 \text{ g} : 120 \text{ g} = 3 : 120 = 1 : 40 \).
Прво претварамо килограме у граме: \( 0,12 \text{ kg} = 120 \text{ g} \).
Затим правимо размеру: \( 3 \text{ g} : 120 \text{ g} = 3 : 120 = 1 : 40 \).
Размера на цртежу или мапи представља однос између величине на слици и те исте величине у стварности (оригинала).
- \( 1 : 2 \) – слика је два пута мања од оригинала;
- \( 2 : 1 \) – слика је два пута већа од оригинала;
- \( 1 : 1 \) – слика и оригинал су исте величине.
Растојање на мапи нацртаној у размери \( 1 : 1\,000\,000 \) износи \( 5 \text{ cm} \). То значи да је стварно растојање милион пута веће:
\( 5 \text{ cm} \cdot 1\,000\,000 = 5\,000\,000 \text{ cm} = 50\,000 \text{ m} = 50 \text{ km} \).
\( 5 \text{ cm} \cdot 1\,000\,000 = 5\,000\,000 \text{ cm} = 50\,000 \text{ m} = 50 \text{ km} \).
Често је потребно неку укупну количину (новац, дужину) поделити на делове који су у одређеној размери \( a : b \).
Сабери чланове размере (\( a + b \)) да добијеш укупан број једнаких делова.
Подели укупну количину са добијеним збиром да израчунаш вредност једног дела.
Помножи вредност једног дела са првим, односно другим чланом размере да добијеш крајње вредности.
Потребно је поделити 700 динара у односу \( 2 : 3 \).
1. Укупан број делова је \( 2 + 3 = 5 \).
2. Један део износи \( 700 : 5 = 140 \text{ динара} \).
3. Први део (2 дела): \( 140 \cdot 2 = 280 \text{ динара} \).
4. Други део (3 дела): \( 140 \cdot 3 = 420 \text{ динара} \).
1. Укупан број делова је \( 2 + 3 = 5 \).
2. Један део износи \( 700 : 5 = 140 \text{ динара} \).
3. Први део (2 дела): \( 140 \cdot 2 = 280 \text{ динара} \).
4. Други део (3 дела): \( 140 \cdot 3 = 420 \text{ динара} \).
Задаци за вежбање
Лак: Одреди вредност размере бројева 28 и 64.
Размера је \( 28 : 64 \). Када је запишемо у облику разломка и скратимо са 4, добијамо:
\[ \frac{28}{64} = \frac{28 : 4}{64 : 4} = \frac{7}{16} \]
Одговор: Вредност размере је \( \frac{7}{16} \) (или \( 7 : 16 \)).
Средњи: Дуж дужине \( 16 \text{ cm} \) подели у односу \( 3 : 5 \). Колике су дужине добијених делова?
Укупан број делова је \( 3 + 5 = 8 \).
Дужина једног дела је \( 16 \text{ cm} : 8 = 2 \text{ cm} \).
Први део: \( 3 \cdot 2 \text{ cm} = 6 \text{ cm} \).
Други део: \( 5 \cdot 2 \text{ cm} = 10 \text{ cm} \).
Одговор: Делови су дужине \( 6 \text{ cm} \) и \( 10 \text{ cm} \).
Дужина једног дела је \( 16 \text{ cm} : 8 = 2 \text{ cm} \).
Први део: \( 3 \cdot 2 \text{ cm} = 6 \text{ cm} \).
Други део: \( 5 \cdot 2 \text{ cm} = 10 \text{ cm} \).
Одговор: Делови су дужине \( 6 \text{ cm} \) и \( 10 \text{ cm} \).
Тежак: Одреди размеру мапе на којој је растојање од \( 60 \text{ km} \) представљено помоћу дужи од \( 12 \text{ cm} \).
Тражимо однос дужине на слици и дужине у природи: \( 12 \text{ cm} : 60 \text{ km} \).
Прво морамо да изједначимо мерне јединице. Претварамо километре у центиметре:
\( 60 \text{ km} = 60\,000 \text{ m} = 6\,000\,000 \text{ cm} \).
Сада постављамо размеру: \( 12 : 6\,000\,000 \).
Скраћујемо оба члана са 12:
\( (12 : 12) : (6\,000\,000 : 12) = 1 : 500\,000 \).
Одговор: Размера мапе је \( 1 : 500\,000 \).
Прво морамо да изједначимо мерне јединице. Претварамо километре у центиметре:
\( 60 \text{ km} = 60\,000 \text{ m} = 6\,000\,000 \text{ cm} \).
Сада постављамо размеру: \( 12 : 6\,000\,000 \).
Скраћујемо оба члана са 12:
\( (12 : 12) : (6\,000\,000 : 12) = 1 : 500\,000 \).
Одговор: Размера мапе је \( 1 : 500\,000 \).
