Најважније из лекције
- Углови са паралелним крацима: Увек су међусобно или једнаки или суплементни (збир им је \( 180^\circ \)).
- Паралелограм: Због паралелности страница, наспрамни углови су једнаки, а суседни углови су суплементни.
- Правоугаоник и квадрат: То су паралелограми код којих су сви углови једнаки, па сваки износи тачно \( 90^\circ \) (прави углови).
Ако краци једног угла припадају правама од којих је свака паралелна са по једном од правих на којима су краци неког другог угла, кажемо да су то углови са паралелним крацима.
Полуправе (краци) могу бити:
- Исто усмерене \( (\uparrow\uparrow) \): Налазе се на паралелним правама у истој полуравни или леже на истој правој и једна садржи другу.
- Супротно усмерене \( (\uparrow\downarrow) \): Налазе се на истој правој или паралелним правама, али нису исто усмерене.
Суплементни углови: Углови чији је збир опружен угао (\( 180^\circ \)).
Конвексни углови са паралелним крацима или су једнаки или су суплементни:
- Ако су оба пара кракова исто усмерена или су оба пара супротно усмерена, углови су једнаки.
- Ако је један пар кракова исто усмерен, а други супротно усмерен, углови су суплементни (збир им је \( 180^\circ \)).
Геометријска пресликавања чувају углове:
– Централна симетрија пресликава угао у њему једнак угао (краци су супротно усмерени).
– Транслација пресликава угао у њему једнак угао (краци су исто усмерени).
– Централна симетрија пресликава угао у њему једнак угао (краци су супротно усмерени).
– Транслација пресликава угао у њему једнак угао (краци су исто усмерени).
Ако је један од два угла са паралелним крацима једнак \( 65^\circ \), колики може бити други угао?
Пошто углови са паралелним крацима могу бити или једнаки или суплементни, други угао може бити:
1. \( 65^\circ \) (ако су једнаки)
2. \( 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ \) (ако су суплементни).
1. \( 65^\circ \) (ако су једнаки)
2. \( 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ \) (ако су суплементни).
Углове паралелограма можемо посматрати као углове са паралелним крацима, јер наспрамне странице паралелограма припадају паралелним правама.
Особине углова паралелограма:
- Наспрамни углови паралелограма су једнаки. (нпр. угао код темена A једнак је углу код темена C).
- Суседни углови паралелограма су суплементни. (нпр. збир углова код темена A и B је \( 180^\circ \)).
Ако је један угао паралелограма \( 120^\circ \), одреди остале углове.
Наспрамни угао је једнак датом углу, дакле износи \( 120^\circ \).
Суседни углови су суплементни датом углу, па износе \( 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
Одговор: Углови паралелограма су \( 120^\circ \), \( 60^\circ \), \( 120^\circ \) и \( 60^\circ \).
Суседни углови су суплементни датом углу, па износе \( 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
Одговор: Углови паралелограма су \( 120^\circ \), \( 60^\circ \), \( 120^\circ \) и \( 60^\circ \).
Сваки правоугаоник и квадрат су специјални случајеви паралелограма.
Правоугаоник је паралелограм чији су сви углови међусобно једнаки.
Квадрат је правоугаоник чије су све странице међусобно једнаке.
Узимајући у обзир особине паралелограма (да су суседни углови суплементни), ако су сви углови једнаки, сваки од њих мора износити тачно \( 180^\circ : 2 = 90^\circ \). Дакле, сви углови правоугаоника и квадрата су прави углови.
Задаци за вежбање
Лак: Један угао паралелограма износи \( 45^\circ \). Колики је збир тог угла и њему наспрамног угла?
Наспрамни углови у паралелограму су једнаки.
Дакле, наспрамни угао је такође \( 45^\circ \).
Њихов збир је \( 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ \).
Дакле, наспрамни угао је такође \( 45^\circ \).
Њихов збир је \( 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ \).
Средњи: Да ли паралелограм може имати тачно три права угла? Објасни одговор.
Не може. Ако паралелограм има један прав угао (\( 90^\circ \)), његов суседни угао мора бити суплементан, односно \( 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \). Наспрамни углови су такође једнаки овима, па и они морају бити по \( 90^\circ \). Дакле, ако паралелограм има један прав угао, сви његови углови морају бити прави (такав паралелограм је правоугаоник).
Тежак: Разлика два суседна угла паралелограма је \( 50^\circ \). Одреди величине свих углова тог паралелограма.
Нека су \( \alpha \) и \( \beta \) суседни углови паралелограма и нека је \( \alpha > \beta \).
Пошто су суседни, они су суплементни: \( \alpha + \beta = 180^\circ \).
Из услова задатка знамо да је њихова разлика: \( \alpha - \beta = 50^\circ \), што значи да је \( \alpha = \beta + 50^\circ \).
Заменом у прву једначину добијамо:
\( (\beta + 50^\circ) + \beta = 180^\circ \)
\( 2\beta = 130^\circ \implies \beta = 65^\circ \)
Тада је \( \alpha = 65^\circ + 50^\circ = 115^\circ \).
Одговор: Углови паралелограма су \( 115^\circ \), \( 65^\circ \), \( 115^\circ \) и \( 65^\circ \).
Пошто су суседни, они су суплементни: \( \alpha + \beta = 180^\circ \).
Из услова задатка знамо да је њихова разлика: \( \alpha - \beta = 50^\circ \), што значи да је \( \alpha = \beta + 50^\circ \).
Заменом у прву једначину добијамо:
\( (\beta + 50^\circ) + \beta = 180^\circ \)
\( 2\beta = 130^\circ \implies \beta = 65^\circ \)
Тада је \( \alpha = 65^\circ + 50^\circ = 115^\circ \).
Одговор: Углови паралелограма су \( 115^\circ \), \( 65^\circ \), \( 115^\circ \) и \( 65^\circ \).
Тежак: Разлика два угла са паралелним крацима износи \( 24^\circ \). Колики су ти углови?
Углови са паралелним крацима могу бити или једнаки или суплементни.
Пошто постоји разлика између њих (\( 24^\circ \)), они не могу бити једнаки, већ морају бити суплементни.
Нека су ти углови \( x \) и \( y \).
\( x + y = 180^\circ \)
\( x - y = 24^\circ \implies x = y + 24^\circ \)
\( (y + 24^\circ) + y = 180^\circ \)
\( 2y = 156^\circ \implies y = 78^\circ \)
\( x = 78^\circ + 24^\circ = 102^\circ \).
Одговор: Ти углови су \( 102^\circ \) и \( 78^\circ \).
Пошто постоји разлика између њих (\( 24^\circ \)), они не могу бити једнаки, већ морају бити суплементни.
Нека су ти углови \( x \) и \( y \).
\( x + y = 180^\circ \)
\( x - y = 24^\circ \implies x = y + 24^\circ \)
\( (y + 24^\circ) + y = 180^\circ \)
\( 2y = 156^\circ \implies y = 78^\circ \)
\( x = 78^\circ + 24^\circ = 102^\circ \).
Одговор: Ти углови су \( 102^\circ \) и \( 78^\circ \).
