Најважније из лекције
Мерење углова: Пун угао износи \( 360^\circ \), опружен \( 180^\circ \), а прав \( 90^\circ \).
Јединице: \( 1^\circ = 60' \), \( 1' = 60'' \), \( 1^\circ = 3\,600'' \). Пример: \( 130' = 2^\circ 10' \).
Рачунске операције: Сабирање и одузимање врше се по позицијама степени, минута и секунди уз претварање по бази \( 60 \) (позајмљивање или пренос).
Односи углова:
Јединице: \( 1^\circ = 60' \), \( 1' = 60'' \), \( 1^\circ = 3\,600'' \). Пример: \( 130' = 2^\circ 10' \).
Рачунске операције: Сабирање и одузимање врше се по позицијама степени, минута и секунди уз претварање по бази \( 60 \) (позајмљивање или пренос).
Односи углова:
- Комплементни: \( \alpha + \beta = 90^\circ \) (нпр. \( 30^\circ \) и \( 60^\circ \)).
- Суплементни / упоредни: \( \alpha + \beta = 180^\circ \) (нпр. \( 110^\circ \) и \( 70^\circ \)).
- Унакрсни: углавно једнаки (\( \alpha = \gamma \)).
Пун угао описује полуправа која се у равни окрене око своје почетне тачке, обиђе цео круг и врати у почетни положај.
Важна својства пуног угла:
- Краци пуног угла се поклапају.
- Пун угао чине све тачке равни.
- Кружни лукови који му одговарају су пуне кружнице.
- Збир два опружена угла је пун угао.
- Збир четири права угла је пун угао.
\[ \text{Пун угао} = 360^\circ \]
\[ \text{Опружен угао} = 180^\circ \]
\[ \text{Прав угао} = 90^\circ \]
Колико правих углова садржи један опружен угао, а колико један пун угао?
Пошто је прав угао \( 90^\circ \):
Опружен угао садржи \( 180^\circ : 90^\circ = 2 \) права угла.
Пун угао садржи \( 360^\circ : 90^\circ = 4 \) права угла.
Опружен угао садржи \( 180^\circ : 90^\circ = 2 \) права угла.
Пун угао садржи \( 360^\circ : 90^\circ = 4 \) права угла.
Угаони степен (\( 1^\circ \)) јесте триста шездесети део (\( \frac{1}{360} \)) пуног угла. Ознака је кружић горе десно уз број.
Угаони минут (\( 1' \)) јесте шездесети део (\( \frac{1}{60} \)) степена.
Угаона секунда (\( 1'' \)) јесте шездесети део (\( \frac{1}{60} \)) минута.
\[ 1^\circ = 60' \]
\[ 1' = 60'' \]
\[ 1^\circ = 3\,600'' \]
За мерење величине углова и за цртање углова задате мере користи се геометријски инструмент угломер.
Претварање мере угла изражене само у минутима у вишеименовани број:
Нека је \( \alpha = 463' \). Пошто је \( 463 : 60 = 7 \) са остатком \( 43 \), имамо: \[ 463' = 7 \cdot 60' + 43' = 7^\circ 43' \]
Нека је \( \alpha = 463' \). Пошто је \( 463 : 60 = 7 \) са остатком \( 43 \), имамо: \[ 463' = 7 \cdot 60' + 43' = 7^\circ 43' \]
Претвори \( 135'' \) у минуте и секунде.
\( 135 : 60 = 2 \) (остатак \( 15 \)), што значи да је:
\[ 135'' = 2 \cdot 60'' + 15'' = 2' 15'' \]
Сабирају се засебно секунде са секундама, минути са минутима и степени са степенима. Ако збир секунди или минута износи \( 60 \) или више, група од \( 60 \) се претвара у једну јединицу вишег реда (\( 60'' = 1' \), \( 60' = 1^\circ \)).
\[
\begin{array}{r@{\quad}r@{\quad}r}
41^\circ & 36' & 18'' \\
+\quad 5^\circ & 15' & 54'' \\
\hline
=\quad 46^\circ & 51' & 72''
\end{array}
\]
Како је \( 72'' = 1' 12'' \), додајемо \( 1' \) на минуте:
\[ 46^\circ 51' 72'' = 46^\circ 52' 12'' \]
Одузимају се истоимене јединице. Када је број секунди или минута умањеника мањи од броја код умањиоца, врши се позајмљивање: \( 1' \) претварамо у \( 60'' \), односно \( 1^\circ \) у \( 60' \).
Израчунајмо \( 21^\circ 46' 12'' - 9^\circ 37' 53'' \):
Позајмимо \( 1' = 60'' \), па \( 12'' \) постаје \( 72'' \), а \( 46' \) постаје \( 45' \): \[ \begin{array}{r@{\quad}r@{\quad}r} 21^\circ & 45' & 72'' \\ -\quad 9^\circ & 37' & 53'' \\ \hline =\quad 12^\circ & 8' & 19'' \end{array} \]
Позајмимо \( 1' = 60'' \), па \( 12'' \) постаје \( 72'' \), а \( 46' \) постаје \( 45' \): \[ \begin{array}{r@{\quad}r@{\quad}r} 21^\circ & 45' & 72'' \\ -\quad 9^\circ & 37' & 53'' \\ \hline =\quad 12^\circ & 8' & 19'' \end{array} \]
Израчунај разлику: \( 90^\circ - 64^\circ 18' 36'' \).
Позајмљујемо \( 1^\circ = 60' \), а затим од тих \( 60' \) позајмљујемо \( 1' = 60'' \):
\[ 90^\circ = 89^\circ 59' 60'' \]
\[
\begin{array}{r@{\quad}r@{\quad}r}
89^\circ & 59' & 60'' \\
-\quad 64^\circ & 18' & 36'' \\
\hline
=\quad 25^\circ & 41' & 24''
\end{array}
\]
Комплементни углови: Два угла \( \alpha \) и \( \beta \) су комплементни ако је њихов збир једнак правом углу (\( 90^\circ \)).
\[ \alpha + \beta = 90^\circ \]
Суплементни углови: Два угла \( \alpha \) и \( \beta \) су суплементни ако је њихов збир једнак опруженом углу (\( 180^\circ \)).
\[ \alpha + \beta = 180^\circ \]
Упоредни углови: Суседни углови који заједно образују опружен угао. Њихов збир је увек \( 180^\circ \).
\[ \alpha + \beta = 180^\circ \]
Унакрсни углови: Углови формирани пресеком две праве чији су краци супротне полуправе. Унакрсни углови су међусобно једнаки.
\[ \alpha = \gamma \]
Ако су \( \alpha \) и \( \beta \) упоредни углови и \( \alpha = 93^\circ \), мера угла \( \beta \) је:
\[ \beta = 180^\circ - 93^\circ = 87^\circ \]
Одреди угао комплементан углу од \( 34^\circ 20' \).
Збир комплементних углова је \( 90^\circ \):
\[ 90^\circ - 34^\circ 20' = 89^\circ 60' - 34^\circ 20' = 55^\circ 40' \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Изрази меру угла од \( 6^\circ 15' \) само у минутима.
Како је \( 1^\circ = 60' \):
\[ 6^\circ 15' = 6 \cdot 60' + 15' = 360' + 15' = 375' \]
Задатак 2 (средњи): Израчунај збир углова \( \alpha = 17^\circ 16' 45'' \) и \( \beta = 41^\circ 52' 18'' \).
Сабирамо појединачне вредности:
- Секунде: \( 45'' + 18'' = 63'' = 1' 3'' \) (преносимо \( 1' \))
- Минути: \( 16' + 52' + 1' = 69' = 1^\circ 9' \) (преносимо \( 1^\circ \))
- Степени: \( 17^\circ + 41^\circ + 1^\circ = 59^\circ \)
Задатак 3 (средњи): Израчунај разлику мера углова: \( 43^\circ 18' 17'' - 24^\circ 53' 29'' \).
Вршимо позајмљивање:
- Позајмимо \( 1' = 60'' \): \( (60'' + 17'') - 29'' = 77'' - 29'' = 48'' \), остаје \( 17' \).
- Позајмимо \( 1^\circ = 60' \): \( (60' + 17') - 53'' = 77' - 53' = 24' \), остаје \( 42^\circ \).
- Одузимамо степене: \( 42^\circ - 24^\circ = 18^\circ \).
Задатак 4 (тежи): Углови \( \alpha \) и \( \beta \) су упоредни. Угао \( \alpha \) је унакрсан са углом од \( 62^\circ 44' 35'' \). Одреди меру угла \( \beta \).
1. Пошто су унакрсни углови једнаки:
\[ \alpha = 62^\circ 44' 35'' \]
2. Како су \( \alpha \) и \( \beta \) упоредни, њихов збир је \( 180^\circ \):
\[ \beta = 180^\circ - \alpha = 179^\circ 59' 60'' - 62^\circ 44' 35'' \]
\[
\begin{array}{r@{\quad}r@{\quad}r}
179^\circ & 59' & 60'' \\
-\quad 62^\circ & 44' & 35'' \\
\hline
=\quad 117^\circ & 15' & 25''
\end{array}
\]
Одговор: Мера угла \( \beta \) је \( 117^\circ 15' 25'' \).
