Најважније из лекције
Трансверзала је права која сече паралелне праве, при чему настаје осам углова.
Кључна правила:
1. Сви оштри углови (\( \alpha \)) су међусобно једнаки.
2. Сви тупи углови (\( \beta \)) су међусобно једнаки.
3. Збир било ког оштрог и тупог угла је увек \( 180^\circ \) (\( \alpha + \beta = 180^\circ \)).
Парови углова: Наизменични и сагласни углови су једнаки, што се често користи за одређивање непознатих углова између паралелних правих.
Кључна правила:
1. Сви оштри углови (\( \alpha \)) су међусобно једнаки.
2. Сви тупи углови (\( \beta \)) су међусобно једнаки.
3. Збир било ког оштрог и тупог угла је увек \( 180^\circ \) (\( \alpha + \beta = 180^\circ \)).
Парови углова: Наизменични и сагласни углови су једнаки, што се често користи за одређивање непознатих углова између паралелних правих.
Свака права која сече паралелне праве назива се трансверзала (пресечница или попречница).
Трансверзала и пар паралелних правих одређују укупно осам углова. У општем случају, четири угла су оштра, а четири су тупа.
Ако је трансверзала заједничка нормала паралелних правих (сече их под правим углом), свих осам углова су прави углови (\( 90^\circ \)).
Када трансверзала сече паралелне праве, успостављају се строга правила о величинама насталих углова:
Сви оштри углови на трансверзали међусобно су једнаки.
Сви тупи углови на трансверзали међусобно су једнаки.
Сваки оштар угао на трансверзали суплементан је сваком тупом углу на трансверзали (њихов збир је \( 180^\circ \)).
\[ \alpha (\text{оштар}) + \beta (\text{туп}) = 180^\circ \]
Према позицији коју заузимају у односу на паралелне праве и трансверзалу, углове делимо у неколико парова:
Сагласни углови: Налазе се са исте стране трансверзале и на одговарајућим позицијама у односу на паралелне праве (нпр. оба су изнад правих и десно од трансверзале). Сагласни углови су међусобно једнаки.
Супротни углови: Налазе се са исте стране трансверзале, али један је „између” паралелних правих, а други је „споља”.
Наизменични углови: Налазе се са различитих страна трансверзале и оба су или унутрашња (између паралелних правих) или спољашња. Наизменични углови су међусобно једнаки.
Ако се између две паралелне праве налази изломљена линија која формира неки непознати угао \( \phi \), тај угао се може израчунати увођењем помоћне праве.
Кроз теме непознатог угла \( \phi \) повуци помоћну праву која је паралелна са почетним паралелним правама.
Помоћна права дели непознати угао на два мања дела: \( \phi_1 \) и \( \phi_2 \).
Применом правила о једнакости наизменичних углова на трансверзали, одреди вредности \( \phi_1 \) и \( \phi_2 \).
Сабери добијене вредности: \[ \phi = \phi_1 + \phi_2 \]
Задаци за вежбање
Лак: Један од углова који настаје пресеком две паралелне праве и трансверзале износи \( 55^\circ \). Колико износи туп угао на тој трансверзали?
Угао од \( 55^\circ \) је оштар. Сваки оштар и сваки туп угао на трансверзали су суплементни (збир им је \( 180^\circ \)).
\[ \beta = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ \] Одговор: Туп угао износи \( 125^\circ \).
\[ \beta = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ \] Одговор: Туп угао износи \( 125^\circ \).
Средњи: Збир два оштра угла на трансверзали износи \( 130^\circ \). Колика је мера једног тупог угла на тој трансверзали?
Пошто су сви оштри углови међусобно једнаки, меру једног оштрог угла добијамо дељењем њиховог збира са 2:
\[ \alpha = 130^\circ : 2 = 65^\circ \]
Туп угао је суплементан оштром углу:
\[ \beta = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ \] Одговор: Мера тупог угла је \( 115^\circ \).
\[ \alpha = 130^\circ : 2 = 65^\circ \]
Туп угао је суплементан оштром углу:
\[ \beta = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ \] Одговор: Мера тупог угла је \( 115^\circ \).
Тежак: Праве \( a \) и \( b \) су паралелне. Између њих се налази изломљена линија са теменом \( M \). Дужи које чине изломљену линију секу праве \( a \) и \( b \) формирајући оштре углове од \( 40^\circ \) (на правој \( a \)) и \( 32^\circ \) (на правој \( b \)). Колика је мера угла код темена \( M \)?
Примењујемо правило увођења помоћне праве. Повлачимо праву кроз теме \( M \) која је паралелна са правама \( a \) и \( b \).
Ова права дели угао код темена \( M \) на два дела. На основу правила о једнакости наизменичних углова:
Горњи део угла код \( M \) једнак је углу на правој \( a \) (\( \phi_1 = 40^\circ \)).
Доњи део угла код \( M \) једнак је углу на правој \( b \) (\( \phi_2 = 32^\circ \)).
Укупна мера угла је њихов збир:
\[ \phi = 40^\circ + 32^\circ = 72^\circ \] Одговор: Мера угла код темена \( M \) је \( 72^\circ \).
Ова права дели угао код темена \( M \) на два дела. На основу правила о једнакости наизменичних углова:
Горњи део угла код \( M \) једнак је углу на правој \( a \) (\( \phi_1 = 40^\circ \)).
Доњи део угла код \( M \) једнак је углу на правој \( b \) (\( \phi_2 = 32^\circ \)).
Укупна мера угла је њихов збир:
\[ \phi = 40^\circ + 32^\circ = 72^\circ \] Одговор: Мера угла код темена \( M \) је \( 72^\circ \).
