Најважније из лекције
- НЗС два или више бројева је најмањи природан број који је дељив свим тим бројевима.
- Ако један број дели други (\( a \mid b \)), онда је \( \text{НЗС}(a, b) = b \).
- За узајамно просте бројеве важи: \( \text{НЗС}(a, b) = a \cdot b \).
- Основна веза између НЗД и НЗС: \( \text{НЗС}(a, b) \cdot \text{НЗД}(a, b) = a \cdot b \).
Скуп свих природних садржалаца броја \( n \) означавамо са \( S_n \). Овај скуп је бесконачан.
Пример за бројеве 4 и 6:
\( S_4 = \{4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...\} \)
\( S_6 = \{6, 12, 18, 24, 30, 36, ...\} \)
Заједнички садржаоци су бројеви који се налазе у оба скупа: 12, 24, 36...
\( S_4 = \{4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...\} \)
\( S_6 = \{6, 12, 18, 24, 30, 36, ...\} \)
Заједнички садржаоци су бројеви који се налазе у оба скупа: 12, 24, 36...
Најмањи заједнички садржалац (НЗС) бројева \( a \) и \( b \) јесте најмањи природан број који је дељив и бројем \( a \) и бројем \( b \). Означава се са \( \text{НЗС}(a, b) \).
Ако је број \( b \) дељив бројем \( a \) (односно \( a \mid b \)), онда је \( \text{НЗС}(a, b) = b \).
Најмањи заједнички садржалац се може одредити растављањем бројева на просте чиниоце или скраћеним поступком (истовременим дељењем).
Растављање на просте чиниоце: НЗС је производ свих простих чинилаца који се јављају у растављању бар једног од бројева, узетих највећи број пута колико се појављују у једном броју.
Одредимо \( \text{НЗС}(126, 315) \):
\[ 126 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7 \]
\[ 315 = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \]
Узимамо све чиниоце са највећим изложиоцем:
\[ \text{НЗС}(126, 315) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 630 \]
Скраћени поступак: Истовремено тражимо просте бројеве који деле бар један од датих бројева. Бројеви који нису дељиви тим простим бројем се само преписују. Поступак се завршава када се на дну добију све јединице.
Одредимо \( \text{НЗС}(15, 63) \) скраћеним поступком:
\[
\begin{array}{rr|l}
15, & 63 & 3 \quad \text{(делимо са 3, оба су дељива)} \\
5, & 21 & 3 \quad \text{(делимо са 3, 21 је дељиво, 5 преписујемо)} \\
5, & 7 & 5 \quad \text{(делимо са 5, 5 је дељиво, 7 преписујемо)} \\
1, & 7 & 7 \quad \text{(делимо са 7)} \\
1, & 1 & \quad \text{(крај поступка)}
\end{array}
\]
\[ \text{НЗС}(15, 63) = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 315 \]
За свака два природна броја \( a \) и \( b \) важи:
\[ \text{НЗС}(a, b) \cdot \text{НЗД}(a, b) = a \cdot b \]
Ако су \( a \) и \( b \) узајамно прости бројеви (њихов НЗД је 1), онда је њихов најмањи заједнички садржалац једнак њиховом производу:
\[ \text{НЗС}(a, b) = a \cdot b \]
Бројеви 84 и 90:
\( \text{НЗД}(84, 90) = 6 \)
\( \text{НЗС}(84, 90) = 1260 \)
Провера формуле: \( 1260 \cdot 6 = 7560 \) и \( 84 \cdot 90 = 7560 \). Једнакост важи!
\( \text{НЗД}(84, 90) = 6 \)
\( \text{НЗС}(84, 90) = 1260 \)
Провера формуле: \( 1260 \cdot 6 = 7560 \) и \( 84 \cdot 90 = 7560 \). Једнакост важи!
Задаци за вежбање
Лак: Одреди \( \text{НЗС}(8, 24) \) без рачунања скраћеним поступком, применом одговарајућег правила.
Како је број 24 дељив бројем 8 (\( 8 \mid 24 \)), примењујемо правило да је НЗС једнак већем броју.
Одговор: \( \text{НЗС}(8, 24) = 24 \).
Одговор: \( \text{НЗС}(8, 24) = 24 \).
Средњи: Одреди \( \text{НЗС}(48, 72, 96) \).
Примењујемо скраћени поступак:
\[
\begin{array}{rrr|l}
48, & 72, & 96 & 2 \\
24, & 36, & 48 & 2 \\
12, & 18, & 24 & 2 \\
6, & 9, & 12 & 2 \\
3, & 9, & 6 & 2 \\
3, & 9, & 3 & 3 \\
1, & 3, & 1 & 3 \\
1, & 1, & 1 &
\end{array}
\]
\( \text{НЗС}(48, 72, 96) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3^2 = 32 \cdot 9 = 288 \).
Одговор: 288.
Одговор: 288.
Тежак: Одреди најмањи природан број који при дељењу са било којим од бројева 4, 8 или 12 даје остатак 3.
Нека је \( n \) тражени број. Пошто при дељењу даје остатак 3, то значи да је број \( n - 3 \) дељив са 4, 8 и 12 без остатка.
Најмањи број који је дељив са 4, 8 и 12 јесте њихов НЗС.
\( \text{НЗС}(4, 8, 12) = 24 \).
Дакле, \( n - 3 = 24 \), што значи да је \( n = 24 + 3 = 27 \).
Одговор: Тражени број је 27.
Најмањи број који је дељив са 4, 8 и 12 јесте њихов НЗС.
\( \text{НЗС}(4, 8, 12) = 24 \).
Дакле, \( n - 3 = 24 \), што значи да је \( n = 24 + 3 = 27 \).
Одговор: Тражени број је 27.
Тежак: Ако знаш да је \( \text{НЗД}(x, y) = 15 \) и да је \( x \cdot y = 1350 \), одреди \( \text{НЗС}(x, y) \).
Користимо формулу: \( \text{НЗС}(x, y) \cdot \text{НЗД}(x, y) = x \cdot y \).
Замењујемо познате вредности: \( \text{НЗС}(x, y) \cdot 15 = 1350 \).
\( \text{НЗС}(x, y) = 1350 : 15 \).
\( \text{НЗС}(x, y) = 90 \).
Одговор: 90.
Замењујемо познате вредности: \( \text{НЗС}(x, y) \cdot 15 = 1350 \).
\( \text{НЗС}(x, y) = 1350 : 15 \).
\( \text{НЗС}(x, y) = 90 \).
Одговор: 90.
