Најважније из лекције
Приликом решавања неједначина са множењем и дељењем, кључно је запамтити понашање знака неједнакости:
- Непознат чинилац (\( a \cdot x < b \)): Знак неједнакости остаје исти.
- Непознат дељеник (\( x : a < b \)): Знак неједнакости остаје исти.
- Непознат делилац (\( a : x < b \)): Знак неједнакости се мења у супротан (окреће се), а такође се мора узети у обзир услов да делилац мора бити већи од нуле (\( x > 0 \)).
Смањивањем чиниоца производ се смањује, а повећавањем чиниоца производ се повећава.
Због тога се при решавању неједначина у којима је непознат чинилац знак неједнакости не мења.
Због тога се при решавању неједначина у којима је непознат чинилац знак неједнакости не мења.
Ако је \( a \cdot x < b \), онда је \( x < b : a \).
(Исто важи и за знакове \( >, \le, \ge \))
(Исто важи и за знакове \( >, \le, \ge \))
\( 4 \cdot x \le 2,2 \)
\( x \le 2,2 : 4 \)
\( x \le 0,55 \)
\( x \le 2,2 : 4 \)
\( x \le 0,55 \)
Реши неједначину: \( x \cdot \frac{2}{3} > \frac{1}{5} \).
\( x > \frac{1}{5} : \frac{2}{3} \)
\( x > \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{2} \)
Одговор: \( x > \frac{3}{10} \)
\( x > \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{2} \)
Одговор: \( x > \frac{3}{10} \)
Смањивањем дељеника количник се смањује, а повећавањем дељеника количник се повећава.
Због тога се при решавању неједначина у којима је непознат дељеник знак неједнакости не мења.
Због тога се при решавању неједначина у којима је непознат дељеник знак неједнакости не мења.
Ако је \( x : a < b \), онда је \( x < b \cdot a \).
(Исто важи и за знакове \( >, \le, \ge \))
(Исто важи и за знакове \( >, \le, \ge \))
\( x : 3,7 \le 1,2 \)
\( x \le 1,2 \cdot 3,7 \)
\( x \le 4,44 \)
\( x \le 1,2 \cdot 3,7 \)
\( x \le 4,44 \)
Реши неједначину: \( x : \frac{4}{9} > 1,5 \).
\( 1,5 = \frac{3}{2} \)
\( x > \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{9} \)
\( x > \frac{12}{18} \)
Одговор: \( x > \frac{2}{3} \)
\( x > \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{9} \)
\( x > \frac{12}{18} \)
Одговор: \( x > \frac{2}{3} \)
Нулом се не дели! Број 0 не може бити решење ових неједначина (услов је \( x \neq 0 \)). У скупу позитивних разломака важи услов \( x > 0 \).
Смањивањем делиоца количник се повећава, а повећавањем делиоца количник се смањује.
Због тога се при решавању неједначина у којима је непознат делилац знак неједнакости мења (окреће се у супротан).
Због тога се при решавању неједначина у којима је непознат делилац знак неједнакости мења (окреће се у супротан).
Ако је \( a : x < b \), онда је \( x > a : b \).
Ако је \( a : x \ge b \), онда је \( x \le a : b \).
Ако је \( a : x \ge b \), онда је \( x \le a : b \).
\( 1,7 : x < 0,8 \)
\( x > 1,7 : 0,8 \) (Знак се окренуо!)
\( x > 2,125 \)
\( x > 1,7 : 0,8 \) (Знак се окренуо!)
\( x > 2,125 \)
Реши неједначину: \( 0,93 : x > 1,2 \).
\( x < 0,93 : 1,2 \) (Знак се окренуо!)
\( x < 0,775 \)
Пошто делилац мора бити већи од нуле, коначно решење је:
Одговор: \( 0 < x < 0,775 \)
\( x < 0,775 \)
Пошто делилац мора бити већи од нуле, коначно решење је:
Одговор: \( 0 < x < 0,775 \)
Код сложенијих израза, део који садржи непознату (производ или количник) прво се посматра као једна целина (нпр. непознати сабирак, умањеник или умањилац), а тек се у следећем кораку решава множење или дељење.
Израз \( 2 \cdot x \) посматрамо као непознати сабирак.
Израчунамо вредност тог сабирка.
Решавамо једноставну неједначину са непознатим чиниоцем.
\( 2 \cdot x + \frac{2}{3} > \frac{3}{4} \)
\( 2 \cdot x > \frac{3}{4} - \frac{2}{3} \)
\( 2 \cdot x > \frac{9}{12} - \frac{8}{12} \)
\( 2 \cdot x > \frac{1}{12} \)
\( x > \frac{1}{12} : 2 \)
\( x > \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{2} \Rightarrow x > \frac{1}{24} \)
\( 2 \cdot x > \frac{3}{4} - \frac{2}{3} \)
\( 2 \cdot x > \frac{9}{12} - \frac{8}{12} \)
\( 2 \cdot x > \frac{1}{12} \)
\( x > \frac{1}{12} : 2 \)
\( x > \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{2} \Rightarrow x > \frac{1}{24} \)
Задаци за вежбање
Лак: Реши неједначину: \( 1 \frac{1}{4} \cdot x \ge 1 \frac{1}{5} \).
Непознат је чинилац, знак остаје исти.
\( x \ge 1 \frac{1}{5} : 1 \frac{1}{4} \)
\( x \ge \frac{6}{5} : \frac{5}{4} \)
\( x \ge \frac{6}{5} \cdot \frac{4}{5} \)
Одговор: \( x \ge \frac{24}{25} \)
\( x \ge 1 \frac{1}{5} : 1 \frac{1}{4} \)
\( x \ge \frac{6}{5} : \frac{5}{4} \)
\( x \ge \frac{6}{5} \cdot \frac{4}{5} \)
Одговор: \( x \ge \frac{24}{25} \)
Средњи: Реши неједначину: \( x : 0,78 < \frac{3}{4} \).
Непознат је дељеник, знак остаје исти.
\( \frac{3}{4} = 0,75 \)
\( x < 0,75 \cdot 0,78 \)
Одговор: \( x < 0,585 \)
\( \frac{3}{4} = 0,75 \)
\( x < 0,75 \cdot 0,78 \)
Одговор: \( x < 0,585 \)
Тежак: Реши неједначину и одреди скуп решења: \( \frac{5}{8} : x \ge 3 \frac{3}{4} \).
Непознат је делилац, знак се мења.
\( x \le \frac{5}{8} : 3 \frac{3}{4} \)
\( x \le \frac{5}{8} : \frac{15}{4} \)
\( x \le \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{15} \)
\( x \le \frac{1}{6} \)
Како делилац мора бити већи од нуле (\( x > 0 \)), потребно је додати тај услов.
Одговор: \( 0 < x \le \frac{1}{6} \)
\( x \le \frac{5}{8} : 3 \frac{3}{4} \)
\( x \le \frac{5}{8} : \frac{15}{4} \)
\( x \le \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{15} \)
\( x \le \frac{1}{6} \)
Како делилац мора бити већи од нуле (\( x > 0 \)), потребно је додати тај услов.
Одговор: \( 0 < x \le \frac{1}{6} \)
