Најважније из лекције
Осна симетрија: Геометријско пресликавање које сваку тачку \( A \) пресликава у тачку \( A_1 \) тако да је оса симетрије нормална на дуж \( AA_1 \) и полови је. Тачке на оси остају на свом месту.
Изометрија: Ово пресликавање чува растојања (дужине), мере углова и распоред тачака. Дуж се слика у једнаку дуж, а угао у једнак угао.
Пресликавање фигура: Фигуре пресликавамо тако што нађемо слике њихових карактеристичних тачака (темена многоугла, крајеве дужи, центар кружнице) спуштањем нормале на осу и преношењем растојања.
Изометрија: Ово пресликавање чува растојања (дужине), мере углова и распоред тачака. Дуж се слика у једнаку дуж, а угао у једнак угао.
Пресликавање фигура: Фигуре пресликавамо тако што нађемо слике њихових карактеристичних тачака (темена многоугла, крајеве дужи, центар кружнице) спуштањем нормале на осу и преношењем растојања.
Тачка \( A_1 \) је осносиметрична (или симетрична) тачки \( A \) у односу на праву \( s \) уколико испуњава три услова:
- \( A_1 \) припада нормали из тачке \( A \) на праву \( s \);
- \( A_1 \) и \( A \) се налазе са различитих страна праве \( s \);
- \( A_1 \) и \( A \) су једнако удаљене од праве \( s \).
Пресликавање при ком се свака тачка равни пресликава у своју осносиметричну тачку назива се осна симетрија. Права \( s \) се назива оса симетрије.
Свака тачка која припада оси симетрије \( s \) пресликава се у саму себе.
Растојање између две тачке једнако је растојању између слика тих тачака. Због тога је осна симетрија изометријска трансформација.
- Колинеарне тачке се пресликавају у колинеарне тачке (права се пресликава у праву).
- Осна симетрија чува распоред тачака (ако је \( A - B - C \), онда је и \( A_1 - B_1 - C_1 \)).
- Дуж се пресликава у једнаку дуж.
- Угао се пресликава у једнак угао.
Специфични положаји правих у односу на осу симетрије:
- Ако права сече осу, тачка пресека припада и њеној слици.
- Ако је права паралелна оси, и њена слика је паралелна оси.
- Ако је права нормална на осу, она се пресликава у саму себе.
Да бисмо конструисали слику \( T_1 \) тачке \( T \) која није на оси \( s \):
1. Из тачке \( T \) конструишемо нормалу на осу \( s \).
2. Шестаром пренесемо растојање од пресека нормале и осе до тачке \( T \) на супротну страну осе.
1. Из тачке \( T \) конструишемо нормалу на осу \( s \).
2. Шестаром пренесемо растојање од пресека нормале и осе до тачке \( T \) на супротну страну осе.
Слику дужи добијамо тако што пресликамо њене крајње тачке. Слику многоугла (нпр. троугла) добијамо пресликавањем његових темена.
Кружница \( k(O, r) \) се пресликава тако што се преслика само њен центар \( O \) у тачку \( O_1 \). Полупречник \( r \) остаје непромењен, па је слика кружница \( k_1(O_1, r) \).
Задаци за вежбање
Лак: Дужина дужи \( AB \) износи \( 7 \text{ cm} \). Дуж \( AB \) је осном симетријом пресликана у дуж \( A_1B_1 \). Колика је дужина дужи \( A_1B_1 \)?
Осна симетрија је изометријска трансформација, што значи да чува дужине дужи.
Одговор: Дужина дужи \( A_1B_1 \) је такође \( 7 \text{ cm} \).
Одговор: Дужина дужи \( A_1B_1 \) је такође \( 7 \text{ cm} \).
Средњи: Тачка \( P \) се налази на растојању од \( 4 \text{ cm} \) од осе симетрије \( s \). Колико износи најкраће растојање између тачке \( P \) и њене осносиметричне слике \( P_1 \)?
Тачка \( P_1 \) се налази са друге стране осе \( s \), на истом растојању од ње као и тачка \( P \). Права која их спаја нормална је на осу симетрије.
Растојање између \( P \) и \( P_1 \) једнако је збиру њихових растојања од осе: \( 4 \text{ cm} + 4 \text{ cm} = 8 \text{ cm} \).
Одговор: Растојање износи \( 8 \text{ cm} \).
Растојање између \( P \) и \( P_1 \) једнако је збиру њихових растојања од осе: \( 4 \text{ cm} + 4 \text{ cm} = 8 \text{ cm} \).
Одговор: Растојање износи \( 8 \text{ cm} \).
Тежак: Нека се праве \( a \) и \( b \) секу у тачки \( M \), при чему права \( a \) није нормална на осу симетрије \( s \), а тачка \( M \) припада оси \( s \). Шта можеш закључити о тачки пресека слика ових правих (\( a_1 \) и \( b_1 \)) након осне симетрије у односу на праву \( s \)?
Свака тачка која припада оси симетрије пресликава се у саму себе. Пошто тачка пресека \( M \) припада оси \( s \), њена слика \( M_1 \) се поклапа са тачком \( M \).
Како се права пресликава у праву, слике правих \( a_1 \) и \( b_1 \) морају садржати слику пресечне тачке.
Одговор: Слике правих \( a_1 \) и \( b_1 \) се такође секу у тачки \( M \) на оси симетрије.
Како се права пресликава у праву, слике правих \( a_1 \) и \( b_1 \) морају садржати слику пресечне тачке.
Одговор: Слике правих \( a_1 \) и \( b_1 \) се такође секу у тачки \( M \) на оси симетрије.
