Најважније из лекције
Кључна правила за решавање неједначина:
- Сабирање/одузимање: Додавањем или одузимањем истог броја обема странама знак неједнакости се не мења.
Пример: \( x - 3 > 2 \implies x > 5 \). - Множење/дељење позитивним бројем: Знак неједнакости остаје исти.
Пример: \( 2x \geq 8 \implies x \geq 4 \). - Множење/дељење негативним бројем: Знак неједнакости се окреће (\( < \leftrightarrow > \), \( \leq \leftrightarrow \geq \)).
Пример: \( -2x < 6 \implies x > -3 \). - Поступак за \( ax + b < c \): Прво пребацити сабирак \( b \), затим поделити коефицијентом \( a \) водећи рачуна о његовом знаку.
Неједнакости се не мењају ако обема странама додамо исти број, али се смер знака може променити при множењу или дељењу.
Сабирање: За \( a, b, c \in \mathbb{Q} \), ако је \( a < b \), онда је:
\[ a + c < b + c \]
(Знак неједнакости остаје непромењен).
Множење позитивним бројем: За \( a, b \in \mathbb{Q} \) и \( c \in \mathbb{Q}^+ \) (\( c > 0 \)), ако је \( a < b \), онда је:
\[ a \cdot c < b \cdot c \]
(Знак неједнакости остаје непромењен).
Супротни бројеви: За \( a, b \in \mathbb{Q} \), ако је \( a < b \), онда је:
\[ -a > -b \]
Множење негативним бројем: За \( a, b \in \mathbb{Q} \) и \( c \in \mathbb{Q}^- \) (\( c < 0 \)), ако је \( a < b \), онда је:
\[ a \cdot c > b \cdot c \]
Када се лева и десна страна неједначине множе (или деле) негативним бројем, знак неједнакости се окреће (\( < \) прелази у \( > \), \( \leq \) у \( \geq \), и обрнуто).
Ако је \( x < 5 \), какав је однос између израза \( -3x \) и \( -15 \)?
Множимо обе стране неједначине негативним бројем \( -3 \):
\[ x < 5 \quad / \cdot (-3) \]
\[ -3x > -15 \]
Одговор: Знак неједнакости се окреће, па је \( -3x > -15 \).
Неједначине облика \( x + b < c \), \( x + b \leq c \), \( x + b > c \) или \( x + b \geq c \) решавају се додавањем истог броја обема странама тако да непозната \( x \) остане сама на једној страни.
Решити неједначину: \( 3,1 - x < 5,2 \)
1. Додамо \( x \) обема странама: \[ 3,1 - x + x < 5,2 + x \implies 3,1 < 5,2 + x \] 2. Додамо \( -5,2 \) обема странама: \[ 3,1 - 5,2 < x \implies -2,1 < x \] Односно: \[ x > -2,1 \]
1. Додамо \( x \) обема странама: \[ 3,1 - x + x < 5,2 + x \implies 3,1 < 5,2 + x \] 2. Додамо \( -5,2 \) обема странама: \[ 3,1 - 5,2 < x \implies -2,1 < x \] Односно: \[ x > -2,1 \]
Реши неједначину у скупу \( \mathbb{Q} \): \( y - 0,5 \geq \frac{5}{6} \).
Пребацимо број \( -0,5 \) на десну страну (додамо \( 0,5 = \frac{1}{2} \) обема странама):
\[ y \geq \frac{5}{6} + \frac{1}{2} \]
\[ y \geq \frac{5}{6} + \frac{3}{6} \]
\[ y \geq \frac{8}{6} \implies y \geq \frac{4}{3} \quad \left( y \geq 1\frac{1}{3} \right) \]
Неједначине облика \( ax < c \), \( ax \leq c \), \( ax > c \) или \( ax \geq c \) (\( a \neq 0 \)) решавају се множењем или дељењем обе стране бројем уз непознату.
Ако је број \( a \) позитиван (\( a > 0 \)), смер знака неједнакости се не мења.
Ако је број \( a \) негативан (\( a < 0 \)), смер знака неједнакости се обавезно окреће.
Ако је број \( a \) негативан (\( a < 0 \)), смер знака неједнакости се обавезно окреће.
Решити неједначину: \( -\frac{2}{7} \cdot x > \frac{1}{3} \)
Множимо обе стране реципрочним бројем \( -\frac{7}{2} \) (који је негативан, па окрећемо знак): \[ -\frac{7}{2} \cdot \left( -\frac{2}{7} \right) \cdot x < -\frac{7}{2} \cdot \frac{1}{3} \] \[ x < -\frac{7}{6} \quad \left( x < -1\frac{1}{6} \right) \]
Множимо обе стране реципрочним бројем \( -\frac{7}{2} \) (који је негативан, па окрећемо знак): \[ -\frac{7}{2} \cdot \left( -\frac{2}{7} \right) \cdot x < -\frac{7}{2} \cdot \frac{1}{3} \] \[ x < -\frac{7}{6} \quad \left( x < -1\frac{1}{6} \right) \]
Реши неједначину у скупу \( \mathbb{Q} \): \( -4 \cdot p \leq -\frac{3}{2} \).
Делимо обе стране са \( -4 \) (негативан број, знак \( \leq \) прелази у \( \geq \)):
\[ p \geq -\frac{3}{2} : (-4) \]
\[ p \geq -\frac{3}{2} \cdot \left( -\frac{1}{4} \right) \]
\[ p \geq \frac{3}{8} \]
Неједначине овог типа решавају се узастопном применом правила за сабирање и правила за множење/дељење.
Ослободити се слободног члана \( b \) тако што се обема странама дода супротан број \( -b \) (пребацивање са променом знака).
Ослободити се коефицијента \( a \) множењем реципрочном вредношћу или дељењем са \( a \). Ако је \( a < 0 \), окренути знак неједнакости.
Решити неједначину: \( 1,2x - 1,4 \geq 3,4 \)
1. Додамо \( 1,4 \) обема странама: \[ 1,2x \geq 3,4 + 1,4 \implies 1,2x \geq 4,8 \] 2. Поделимо обе стране са \( 1,2 \) (позитиван број, знак остаје исти): \[ x \geq 4,8 : 1,2 \implies x \geq 4 \]
1. Додамо \( 1,4 \) обема странама: \[ 1,2x \geq 3,4 + 1,4 \implies 1,2x \geq 4,8 \] 2. Поделимо обе стране са \( 1,2 \) (позитиван број, знак остаје исти): \[ x \geq 4,8 : 1,2 \implies x \geq 4 \]
Реши неједначину: \( 31 - 7p < 52 \).
\[ -7p < 52 - 31 \]
\[ -7p < 21 \]
Делимо са \( -7 \) (знак се окреће из \( < \) у \( > \)):
\[ p > 21 : (-7) \]
\[ p > -3 \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Реши неједначину у скупу \( \mathbb{Q} \):
\[ x + \frac{3}{4} > \frac{4}{3} \]
Одузмемо \( \frac{3}{4} \) од обе стране неједначине:
\[ x > \frac{4}{3} - \frac{3}{4} \]
Сведемо на заједнички именилац (12):
\[ x > \frac{16}{12} - \frac{9}{12} \]
\[ x > \frac{7}{12} \]
Задатак 2 (средњи): Реши неједначину у скупу \( \mathbb{Q} \):
\[ -3 \cdot p \geq -21 \]
Делимо обе стране негативним бројем \( -3 \), при чему окрећемо смер знака неједнакости:
\[ p \leq \frac{-21}{-3} \]
\[ p \leq 7 \]
Задатак 3 (средњи): Реши неједначину у скупу \( \mathbb{Q} \):
\[ \frac{2}{3} \cdot a + \frac{3}{4} < -\frac{1}{6} \]
Прво пребацимо \( \frac{3}{4} \) на десну страну:
\[ \frac{2}{3}a < -\frac{1}{6} - \frac{3}{4} \]
Заједнички именилац за 6 и 4 је 12:
\[ \frac{2}{3}a < -\frac{2}{12} - \frac{9}{12} \]
\[ \frac{2}{3}a < -\frac{11}{12} \]
Помножимо обе стране реципрочним бројем \( \frac{3}{2} \) (позитиван број, знак се не мења):
\[ a < -\frac{11}{12} \cdot \frac{3}{2} \]
Скратимо 12 и 3 са 3:
\[ a < -\frac{11}{4 \cdot 2} \implies a < -\frac{11}{8} \quad \left( a < -1\frac{3}{8} \right) \]
Задатак 4 (тежак): Одреди највећи цео број који задовољава неједначину:
\[ -2x + 5 > 12 \]
Решавамо неједначину:
\[ -2x > 12 - 5 \]
\[ -2x > 7 \]
Делимо са \( -2 \) уз обавезно окретање знака:
\[ x < -\frac{7}{2} \implies x < -3,5 \]
Цели бројеви мањи од \( -3,5 \) су: \( \{-4, -5, -6, \dots\} \).
Одговор: Највећи цео број међу њима је \( -4 \).
Одговор: Највећи цео број међу њима је \( -4 \).
