Најважније из лекције
Паралелограм: \(a \parallel c,\; b \parallel d\). Наспрамне странице и наспрамни углови су једнаки, суседни углови дају \(180^\circ\), дијагонале се полове. \(O = 2(a+b)\).
Правоугаоник: Паралелограм са свим правим угловима (\(90^\circ\)). Дијагонале су једнаке (\(d_1 = d_2\)). Има описану кружницу са центром у пресеку дијагонала (\(R = \frac{d}{2}\)).
Ромб: Паралелограм са свим једнаким страницама. Дијагонале су нормалне (\(d_1 \perp d_2\)) и полове унутрашње углове. Има уписану кружницу. \(O = 4a\).
Квадрат: И правоугаоник и ромб (све странице једнаке, сви углови \(90^\circ\)). Дијагонале су једнаке, узајамно нормалне и заклапају са страницама угао од \(45^\circ\).
Правоугаоник: Паралелограм са свим правим угловима (\(90^\circ\)). Дијагонале су једнаке (\(d_1 = d_2\)). Има описану кружницу са центром у пресеку дијагонала (\(R = \frac{d}{2}\)).
Ромб: Паралелограм са свим једнаким страницама. Дијагонале су нормалне (\(d_1 \perp d_2\)) и полове унутрашње углове. Има уписану кружницу. \(O = 4a\).
Квадрат: И правоугаоник и ромб (све странице једнаке, сви углови \(90^\circ\)). Дијагонале су једнаке, узајамно нормалне и заклапају са страницама угао од \(45^\circ\).
Паралелограм је четвороугао чије су наспрамне странице паралелне (\(AB \parallel CD\) и \(AD \parallel BC\)).
Основне особине паралелограма:
- Наспрамне странице су једнаке: \(a = c\) и \(b = d\).
- Наспрамни углови су једнаки: \(\alpha = \gamma\) и \(\beta = \delta\).
- Суседни углови су суплементни (њихов збир је \(180^\circ\)): \(\alpha + \beta = 180^\circ\).
- Дијагонале се међусобно полове (пресечна тачка је средиште обе дијагонале).
Обим паралелограма:
\[ O = 2 \cdot a + 2 \cdot b = 2(a + b) \]
\(a\) и \(b\) су дужине суседних страница паралелограма.
Ако је један унутрашњи угао паралелограма \(\alpha = 70^\circ\), онда је њему наспрамни угао \(\gamma = 70^\circ\), а суседни углови су \(\beta = \delta = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\).
Израчунај обим паралелограма ако је једна страница дужине \(9\text{ cm}\), а друга три пута краћа од ње.
Дужина друге странице је \(b = 9\text{ cm} : 3 = 3\text{ cm}\).
Обим је: \[ O = 2(a + b) = 2(9 + 3) = 2 \cdot 12 = 24\text{ cm} \]
Обим је: \[ O = 2(a + b) = 2(9 + 3) = 2 \cdot 12 = 24\text{ cm} \]
Четвороугао је паралелограм ако испуњава било који од следећих услова:
- Сваке две наспрамне странице су му једнаке.
- Две наспрамне странице су му истовремено и једнаке и паралелне.
- Наспрамни углови су му једнаки (или су свака два суседна угла суплементна).
- Дијагонале му се узајамно полове.
Није довољно да четвороугао има само један пар једнаких наспрамних страница или само један пар једнаких наспрамних углова да би био паралелограм (пример је једнакокраки трапез или делтоид).
Да ли је четвороугао \(ABCD\) паралелограм ако се његове дијагонале секу у тачки \(S\) тако да је \(AS = 4\text{ cm}\), \(SC = 4\text{ cm}\), \(BS = 6\text{ cm}\) и \(SD = 6\text{ cm}\)?
Тачка \(S\) полови дијагоналу \(AC\) (јер је \(AS = SC = 4\text{ cm}\)) и дијагоналу \(BD\) (јер је \(BS = SD = 6\text{ cm}\)). Како се дијагонале узајамно полове, четвороугао \(ABCD\) јесте паралелограм.
Правоугаоник је четвороугао чији су сви углови међусобно једнаки.
Особине правоугаоника:
- Сваки правоугаоник је паралелограм (важе све особине паралелограма).
- Сви унутрашњи углови су прави: \(\alpha = \beta = \gamma = \delta = 90^\circ\).
- Дијагонале правоугаоника су међусобно једнаке (\(d_1 = d_2 = d\)) и полове се.
- Око сваког правоугаоника може се описати кружница чији је центар у пресеку дијагонала, а полупречник једнак половини дијагонале: \(R = \frac{d}{2}\).
Обим правоугаоника:
\[ O = 2(a + b) \]
Ако су странице правоугаоника \(6\text{ cm}\) и \(4\text{ cm}\), колики је његов обим?
\[ O = 2(a + b) = 2(6 + 4) = 2 \cdot 10 = 20\text{ cm} \]
Ромб је четвороугао чије су све странице међусобно једнаке (\(a = b = c = d\)).
Особине ромба:
- Сваки ромб је паралелограм (наспрамни углови су једнаки, суседни суплементни).
- Дијагонале ромба се секу под правим углом (\(d_1 \perp d_2\)) и међусобно се полове.
- Дијагонале ромба полове његове унутрашње углове (дијагонале су симетрале углова).
- У сваки ромб се може уписати кружница чији се центар налази у пресеку дијагонала.
Обим ромба:
\[ O = 4a \]
Ако је један угао ромба \(60^\circ\), остали углови су \(120^\circ\), \(60^\circ\) и \(120^\circ\). Дијагонале деле оштар угао од \(60^\circ\) на два угла од по \(30^\circ\), а туп угао од \(120^\circ\) на два угла од по \(60^\circ\).
Израчунај обим ромба чија је страница дужине \(3\text{ cm}\).
\[ O = 4a = 4 \cdot 3 = 12\text{ cm} \]
Квадрат је четвороугао чије су све странице једнаке и сви углови једнаки (\(90^\circ\)).
Особине квадрата:
- Сваки квадрат је истовремено паралелограм, правоугаоник и ромб.
- Има све особине правоугаоника: сви углови су прави (\(90^\circ\)), дијагонале су једнаке.
- Има све особине ромба: све странице су једнаке, дијагонале су узајамно нормалне и полове углове (заклапају са страницама угао од \(45^\circ\)).
- Квадрат има и уписану и описану кружницу; центар обе кружнице је пресек дијагонала.
Обим квадрата:
\[ O = 4a \]
- Сви правоугаоници, ромбови и квадрати су паралелограми.
- Сваки квадрат је и правоугаоник и ромб.
- Није сваки правоугаоник квадрат, нити је сваки ромб квадрат.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Мера једног унутрашњег угла паралелограма износи \(62^\circ\). Одреди мере осталих унутрашњих углова тог паралелограма.
Наспрамни углови паралелограма су једнаки, а суседни суплементни (\(\alpha + \beta = 180^\circ\)):
- Наспрамни угао: \(\gamma = 62^\circ\)
- Суседни угао: \(\beta = 180^\circ - 62^\circ = 118^\circ\)
- Четврти угао (наспраман углу \(\beta\)): \(\delta = 118^\circ\)
Задатак 2 (средњи): Обим паралелограма је \(28\text{ cm}\), а једна његова страница је за \(4\text{ cm}\) дужа од друге. Израчунај дужине страница тог паралелограма.
Означимо краћу страницу са \(b\), а дужу са \(a = b + 4\).
Формула за обим је \(O = 2(a + b)\): \[ 2(b + 4 + b) = 28 \] \[ 2(2b + 4) = 28 \] \[ 2b + 4 = 14 \] \[ 2b = 10 \implies b = 5\text{ cm} \] Дужа страница је: \[ a = 5 + 4 = 9\text{ cm} \] Одговор: Дужине страница су \(9\text{ cm}\) и \(5\text{ cm}\).
Формула за обим је \(O = 2(a + b)\): \[ 2(b + 4 + b) = 28 \] \[ 2(2b + 4) = 28 \] \[ 2b + 4 = 14 \] \[ 2b = 10 \implies b = 5\text{ cm} \] Дужа страница је: \[ a = 5 + 4 = 9\text{ cm} \] Одговор: Дужине страница су \(9\text{ cm}\) и \(5\text{ cm}\).
Задатак 3 (средњи): Симетрала оштрог угла \(BAD\) паралелограма \(ABCD\) сече наспрамну страницу \(CD\) у тачки \(E\). Ако је \(DE = 5\text{ cm}\) и \(EC = 2\text{ cm}\), одреди дужине страница и обим паралелограма.
1. Страница \(CD\) састоји се од делова \(DE\) и \(EC\):
\[ CD = DE + EC = 5\text{ cm} + 2\text{ cm} = 7\text{ cm} \implies AB = 7\text{ cm} \]
2. Симетрала дели угао код темена \(A\) на два једнака угла: \(\angle DAE = \angle EAB\).
Пошто су странице \(AB\) и \(CD\) паралелне, углови са паралелним крацима су једнаки (наизменични углови): \(\angle EAB = \angle DEA\).
Следи да је \(\angle DAE = \angle DEA\), што значи да је троугао \(\triangle ADE\) једнакокраки са крацима \(AD = DE\).
Како је \(DE = 5\text{ cm}\), следи да је \(AD = 5\text{ cm}\) (па је и \(BC = 5\text{ cm}\)).
3. Обим паралелограма: \[ O = 2(a + b) = 2(7 + 5) = 2 \cdot 12 = 24\text{ cm} \] Одговор: Странице су дужина \(7\text{ cm}\) и \(5\text{ cm}\), а обим је \(24\text{ cm}\).
Пошто су странице \(AB\) и \(CD\) паралелне, углови са паралелним крацима су једнаки (наизменични углови): \(\angle EAB = \angle DEA\).
Следи да је \(\angle DAE = \angle DEA\), што значи да је троугао \(\triangle ADE\) једнакокраки са крацима \(AD = DE\).
Како је \(DE = 5\text{ cm}\), следи да је \(AD = 5\text{ cm}\) (па је и \(BC = 5\text{ cm}\)).
3. Обим паралелограма: \[ O = 2(a + b) = 2(7 + 5) = 2 \cdot 12 = 24\text{ cm} \] Одговор: Странице су дужина \(7\text{ cm}\) и \(5\text{ cm}\), а обим је \(24\text{ cm}\).
Задатак 4 (тежи): Из темена тупог угла \(D\) паралелограма \(ABCD\) повучене су висине на странице \(AB\) и \(BC\). Ако је угао између тих висина једнак \(40^\circ\), израчунај унутрашње углове паралелограма.
Означимо подножја висина из темена \(D\) са \(M\) (на страници \(AB\)) и \(N\) (на страници \(BC\)).
Посматрајмо четвороугао \(MBND\):
Одговор: Унутрашњи углови су \(40^\circ\), \(140^\circ\), \(40^\circ\) и \(140^\circ\).
Посматрајмо четвороугао \(MBND\):
- Углови код темена \(M\) и \(N\) су прави: \(\angle DMB = 90^\circ\) и \(\angle DNB = 90^\circ\).
- Угао између висина је дат: \(\angle MDN = 40^\circ\).
- Збир углова у четвороуглу је \(360^\circ\): \[ \angle B + 90^\circ + 90^\circ + 40^\circ = 360^\circ \implies \angle B + 220^\circ = 360^\circ \implies \angle B = 140^\circ \]
- Оштар угао паралелограма је суплементан тупом: \(\alpha = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ\).
- Наспрамни углови су једнаки: \(\gamma = 40^\circ\) и \(\delta = 140^\circ\).
Одговор: Унутрашњи углови су \(40^\circ\), \(140^\circ\), \(40^\circ\) и \(140^\circ\).
