Најважније из лекције
Обрнута пропорционалност: Производ две величине је сталан број: \(x \cdot y = k\). Повећањем једне величине \(n\) пута, друга се смањује \(n\) пута (нпр. \(2 \text{ радника} \cdot 6 \text{ h} = 12 \implies 4 \text{ радника} \cdot 3 \text{ h} = 12\)).
Пропорција: Једнакост две размере \(a : b = c : d\).
Основно својство: Производ спољашњих једнак је производу унутрашњих чланова: \(a \cdot d = b \cdot c\) (нпр. \(2 : 3 = 4 : 6 \implies 2 \cdot 6 = 3 \cdot 4 = 12\)).
Пропорција: Једнакост две размере \(a : b = c : d\).
Основно својство: Производ спољашњих једнак је производу унутрашњих чланова: \(a \cdot d = b \cdot c\) (нпр. \(2 : 3 = 4 : 6 \implies 2 \cdot 6 = 3 \cdot 4 = 12\)).
Две променљиве величине \(x\) и \(y\) су обрнуто пропорционалне ако је њихов производ константан за све одговарајуће позитивне вредности.
\[ k = x \cdot y \quad \text{односно} \quad y = \frac{k}{x} \]
\(k\) представља коефицијент обрнуте пропорционалности (\(k > 0\)).
Ако су две величине обрнуто пропорционалне, при повећању једне величине одређени број пута, друга величина се толико пута смањи.
Број радника и време потребно да се обави неки посао су обрнуто пропорционалне величине: ако дуплирамо број радника, потребно време ће се преполовити.
Величине \(x\) и \(y\) су обрнуто пропорционалне са коефицијентом \(k = 12\). Одреди вредност величине \(y\) за \(x = 3\).
Користећи формулу \(y = \frac{k}{x}\):
\[ y = \frac{12}{3} = 4 \]
Одговор: \(y = 4\).
Пропорција је једнакост двеју размера.
\[ a : b = c : d \quad \text{односно} \quad \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad (a, b, c, d \neq 0) \]
У пропорцији \(a : b = c : d\):
- \(a\) и \(d\) су спољашњи чланови
- \(b\) и \(c\) су унутрашњи чланови
У пропорцији \(2 : 3 = 4 : 6\), бројеви \(2\) и \(6\) су спољашњи чланови, док су бројеви \(3\) и \(4\) унутрашњи чланови.
Одреди спољашње и унутрашње чланове пропорције \(5 : x = 15 : 12\).
Спољашњи чланови: \(5\) и \(12\)
Унутрашњи чланови: \(x\) и \(15\)
Унутрашњи чланови: \(x\) и \(15\)
Основно својство пропорције: Производ спољашњих чланова једнак је производу унутрашњих чланова пропорције.
\[ a : b = c : d \iff a \cdot d = b \cdot c \]
Идентификуј спољашње и унутрашње чланове пропорције.
Примени основно својство: изједначи производ спољашњих и производ унутрашњих чланова (\(a \cdot d = b \cdot c\)).
Реши добијену једначину по непознатој величини.
Одреди непознати члан пропорције \(3 : 4 = 9 : x\):
\[ 3 \cdot x = 4 \cdot 9 \]
\[ 3x = 36 \implies x = \frac{36}{3} = 12 \]
Израчунај непознати члан пропорције: \(\frac{x + 2}{7} = \frac{5}{21}\).
Применом основног својства пропорције:
\[ 21 \cdot (x + 2) = 7 \cdot 5 \]
\[ 21x + 42 = 35 \]
\[ 21x = 35 - 42 \]
\[ 21x = -7 \implies x = -\frac{7}{21} = -\frac{1}{3} \]
Одговор: \(x = -\frac{1}{3}\).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Провери да ли је пропорција \(18 : 24 = 3 : 4\) тачна користећи основно својство пропорције.
Рачунамо производ спољашњих и производ унутрашњих чланова:
\[ 18 \cdot 4 = 72 \]
\[ 24 \cdot 3 = 72 \]
Пошто су производи једнаки (\(72 = 72\)), пропорција је тачна.
Задатак 2 (средњи): Израчунај непознати члан пропорције \(-3 : (-7) = 15 : x\).
Применимо основно својство пропорције:
\[ -3 \cdot x = (-7) \cdot 15 \]
\[ -3x = -105 \]
\[ x = \frac{-105}{-3} = 35 \]
Одговор: \(x = 35\).
Задатак 3 (средњи): Три радника окрече школу за \(10\) дана. За колико дана би исту школу окречило \(5\) радника, под претпоставком да сви раде једнаком брзином?
Број радника и број дана су обрнуто пропорционалне величине, што значи да је њихов производ константан:
\[ k = 3 \cdot 10 = 30 \text{ (радник-дана)} \]
За \(5\) радника време \(t\) износи:
\[ 5 \cdot t = 30 \implies t = \frac{30}{5} = 6 \text{ дана} \]
Одговор: Пет радника би окречило школу за \(6\) дана.
Задатак 4 (тежак): Број \(22\) подели на два сабирка који су у размери \(5 : 6\).
Нека су тражени сабирци \(a\) и \(b\).
Из размере \(a : b = 5 : 6\) следи да је \(a = 5k\) и \(b = 6k\).
Њихов збир је: \[ a + b = 22 \] \[ 5k + 6k = 22 \implies 11k = 22 \implies k = 2 \] Сада рачунамо појединачне сабирке: \[ a = 5 \cdot 2 = 10 \] \[ b = 6 \cdot 2 = 12 \] Одговор: Тражени сабирци су \(10\) и \(12\).
Из размере \(a : b = 5 : 6\) следи да је \(a = 5k\) и \(b = 6k\).
Њихов збир је: \[ a + b = 22 \] \[ 5k + 6k = 22 \implies 11k = 22 \implies k = 2 \] Сада рачунамо појединачне сабирке: \[ a = 5 \cdot 2 = 10 \] \[ b = 6 \cdot 2 = 12 \] Одговор: Тражени сабирци су \(10\) и \(12\).
