Најважније из лекције
Скуп целих бројева: \(\mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}\). Природни бројеви су подскуп (\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\)). Нула није ни позитивна ни негативна.
Бројевна права: Права са координатним почетком \(O(0)\), јединичном дужи \(OI\) и смером. Позитивни бројеви су десно од нуле, негативни лево.
Апсолутна вредност: Удаљеност броја од координатног почетка (\(|a| \geq 0\)). Супротни бројеви имају једнаке вредности: \(|-a| = |a|\).
Упоређивање: \(\text{позитиван} > 0 > \text{негативан}\). Од два негативна броја већи је онај са мањом апсолутном вредношћу (нпр. \(-2 > -5\)).
Сабирање: Исти знаци \(\rightarrow\) сабирају се апсолутне вредности и преписује знак; Различити знаци \(\rightarrow\) од веће вредности се одузима мања и преписује знак већег по апсолутној вредности. Збир супротних бројева је увек \(0\).
Бројевна права: Права са координатним почетком \(O(0)\), јединичном дужи \(OI\) и смером. Позитивни бројеви су десно од нуле, негативни лево.
Апсолутна вредност: Удаљеност броја од координатног почетка (\(|a| \geq 0\)). Супротни бројеви имају једнаке вредности: \(|-a| = |a|\).
Упоређивање: \(\text{позитиван} > 0 > \text{негативан}\). Од два негативна броја већи је онај са мањом апсолутном вредношћу (нпр. \(-2 > -5\)).
Сабирање: Исти знаци \(\rightarrow\) сабирају се апсолутне вредности и преписује знак; Различити знаци \(\rightarrow\) од веће вредности се одузима мања и преписује знак већег по апсолутној вредности. Збир супротних бројева је увек \(0\).
Негативни цели бројеви су бројеви са знаком минус: \(-1, -2, -3, \dots\) Скуп негативних целих бројева означава се са \(\mathbb{Z}^-\).
Позитивни цели бројеви су природни бројеви: \(1, 2, 3, \dots\) Скуп позитивних целих бројева означава се са \(\mathbb{Z}^+\). Испред њих се знак плус (\(+\)) обично не пише (\(+3 = 3\)).
Број нула (\(0\)) није ни позитиван ни негативан цео број (\(+0 = -0 = 0\)).
\[ \mathbb{Z} = \mathbb{Z}^- \cup \{0\} \cup \mathbb{Z}^+ = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\} \]
Скуп природних бројева \(\mathbb{N}\) је подскуп скупа целих бројева: \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\). Сваки природан број је цео број, али сваки цео број није природан (нпр. \(-4 \in \mathbb{Z}\), али \(-4 \notin \mathbb{N}\)).
Дати су бројеви: \(-12, 7, 0, -5, 18\). Разврстај их на скупове \(\mathbb{Z}^+\) и \(\mathbb{Z}^-\).
Позитивни цели бројеви: \(7, 18 \in \mathbb{Z}^+\).
Негативни цели бројеви: \(-12, -5 \in \mathbb{Z}^-\).
Број \(0\) не припада ни једном од ових скупова.
Негативни цели бројеви: \(-12, -5 \in \mathbb{Z}^-\).
Број \(0\) не припада ни једном од ових скупова.
Целе бројеве приказујемо као тачке на правој, коју претварамо у бројевну праву одређивањем следећих елемената:
Координатни почетак: произвољна тачка \(O\) којој додељујемо број \(0\).
Јединична дуж: дуж \(OI\) одређена тачком \(I\) којој додељујемо број \(1\).
Смер: смер од тачке \(O\) ка тачки \(I\) је позитиван смер (означава се стрелицом, обично удесно). Супротан смер је негативан.
Сваком целом броју одговара тачно једна тачка на правој, а тај број представља координату те тачке (нпр. \(A(3)\), \(B(-2)\)).
Апсолутна вредност броја \(a\), у ознаци \(|a|\), представља удаљеност тачке \(A(a)\) од координатног почетка \(O(0)\) на бројевној правој.
\[ |a| = \begin{cases} a, & \text{ако је } a \geq 0 \\ -a, & \text{ако је } a < 0 \end{cases} \]
Примери: \(|5| = 5\), \(|-5| = 5\), \(|0| = 0\).
Основна својства:
- Апсолутна вредност је увек ненегативна: \(|a| \geq 0\) за свако \(a \in \mathbb{Z}\).
- Супротни бројеви имају једнаке апсолутне вредности: \(|a| = |-a|\).
- Ако је \(|x| = c\) и \(c > 0\), једначина има два решења: \(x = c\) или \(x = -c\).
- Ако је \(|x| = 0\), једино решење је \(x = 0\).
- Ако је \(|x| = -c\) (\(c > 0\)), једначина нема решења јер удаљеност не може бити негативна.
- Једначина \(|x| = -x\) важи за све бројеве који су мањи или једнаки нули (\(x \in \mathbb{Z}_0^-\)).
На бројевној правој већи број се увек налази десно од мањег броја.
| Правило | Пример |
|---|---|
| Сваки позитиван број је већи од нуле и од сваког негативног броја. | \(4 > 0\), \(\quad 2 > -7\) |
| Број 0 је већи од сваког негативног броја. | \(0 > -6\) |
| Од два негативна броја већи је онај чија је апсолутна вредност мања (онај који је ближи нули). | \(-3 > -8\) (јер је \(|-3| < |-8|\)) |
1. Сабирање бројева истог знака:
Сабирају се њихове апсолутне вредности, а резултат задржава заједнички знак. \[ (+3) + (+5) = +8 = 8 \] \[ (-4) + (-6) = -(4 + 6) = -10 \]
Сабирају се њихове апсолутне вредности, а резултат задржава заједнички знак. \[ (+3) + (+5) = +8 = 8 \] \[ (-4) + (-6) = -(4 + 6) = -10 \]
2. Сабирање бројева различитих знакова:
Од веће апсолутне вредности одузима се мања, а резултат добија знак сабирка чија је апсолутна вредност већа. \[ (-8) + 5 = -(8 - 5) = -3 \quad (\text{јер је } |-8| > |5|) \] \[ 9 + (-4) = +(9 - 4) = 5 \quad (\text{јер је } |9| > |-4|) \]
Од веће апсолутне вредности одузима се мања, а резултат добија знак сабирка чија је апсолутна вредност већа. \[ (-8) + 5 = -(8 - 5) = -3 \quad (\text{јер је } |-8| > |5|) \] \[ 9 + (-4) = +(9 - 4) = 5 \quad (\text{јер је } |9| > |-4|) \]
Својства сабирања целих бројева:
- Неутрални елемент: \(a + 0 = 0 + a = a\)
- Збир супротних бројева: \(a + (-a) = (-a) + a = 0\)
- Комутативност: \(a + b = b + a\)
- Асоцијативност: \((a + b) + c = a + (b + c)\)
Задаци за вежбање
Лак задатак: Израчунај вредност израза:
а) \(|-15| - |7|\)
б) \(0 + (-9)\)
в) Упореди бројеве \(-12\) и \(-5\).
а) \(|-15| - |7|\)
б) \(0 + (-9)\)
в) Упореди бројеве \(-12\) и \(-5\).
а) \(|-15| - |7| = 15 - 7 = 8\)
б) \(0 + (-9) = -9\) (нула је неутрални елемент за сабирање)
в) Пошто је \(|-5| = 5\), а \(|-12| = 12\), број \(-5\) има мању апсолутну вредност (ближи је нули), па важи \(-12 < -5\) (или \(-5 > -12\)).
б) \(0 + (-9) = -9\) (нула је неутрални елемент за сабирање)
в) Пошто је \(|-5| = 5\), а \(|-12| = 12\), број \(-5\) има мању апсолутну вредност (ближи је нули), па важи \(-12 < -5\) (или \(-5 > -12\)).
Средњи задатак: Израчунај вредност збира користећи особине сабирања:
\[ (-18) + 27 + (-12) + (-7) \]
Користећи комутативност и асоцијативност, згодно је груписати негативне и позитивне сабирке:
\[ [(-18) + (-12) + (-7)] + 27 \]
\[ = [-(18 + 12 + 7)] + 27 \]
\[ = (-37) + 27 \]
Пошто је сабирак са већом апсолутном вредношћу негативан (\(|-37| > |27|\)), одузимамо вредности и стављамо минус:
\[ = -(37 - 27) = -10 \]
Тежак задатак: Реши једначине у скупу целих бројева (\(\mathbb{Z}\)):
а) \(|x| - 6 = 3\)
б) \(|x| + 5 = 2\)
а) \(|x| - 6 = 3\)
б) \(|x| + 5 = 2\)
а) Најпре изразимо \(|x|\):
\[ |x| = 3 + 6 \]
\[ |x| = 9 \]
Постоје два броја чија је удаљеност од нуле једнака 9: \(x = 9\) или \(x = -9\), односно \(x \in \{-9, 9\}\).
б) Изразимо \(|x|\): \[ |x| = 2 - 5 \] \[ |x| = -3 \] Пошто апсолутна вредност броја никада не може бити негативна (\(|x| \geq 0\)), ова једначина нема решења у скупу целих бројева.
б) Изразимо \(|x|\): \[ |x| = 2 - 5 \] \[ |x| = -3 \] Пошто апсолутна вредност броја никада не може бити негативна (\(|x| \geq 0\)), ова једначина нема решења у скупу целих бројева.
