Најважније из лекције
Унакрсни и упоредни углови: Унакрсни су једнаки (\(\alpha = \beta\)), а упоредни су суплементни (\(\alpha + \beta = 180^\circ\)).
Трансверзала паралелних правих: Сагласни и наизменични углови су једнаки, а супротни углови у збиру дају \(180^\circ\).
Углови троугла: Збир унутрашњих углова је \(180^\circ\). Спољашњи угао једнак је збиру два несуседна унутрашња (\(\alpha_1 = \beta + \gamma\)).
Четвороуглови: Код паралелограма наспрамни углови су једнаки, а суседни суплементни (\(180^\circ\)). Код трапеза су углови на истом краку суплементни.
Странице и углови: У једнакокраком троуглу \(a = b \iff \alpha = \beta\). Наспрам веће странице је већи угао (\(a > b \iff \alpha > \beta\)).
Неједнакост троугла: За сваки троугао важи \(|a - b| < c < a + b\).
Трансверзала паралелних правих: Сагласни и наизменични углови су једнаки, а супротни углови у збиру дају \(180^\circ\).
Углови троугла: Збир унутрашњих углова је \(180^\circ\). Спољашњи угао једнак је збиру два несуседна унутрашња (\(\alpha_1 = \beta + \gamma\)).
Четвороуглови: Код паралелограма наспрамни углови су једнаки, а суседни суплементни (\(180^\circ\)). Код трапеза су углови на истом краку суплементни.
Странице и углови: У једнакокраком троуглу \(a = b \iff \alpha = \beta\). Наспрам веће странице је већи угао (\(a > b \iff \alpha > \beta\)).
Неједнакост троугла: За сваки троугао важи \(|a - b| < c < a + b\).
Две праве које се секу образују четири неопружена угла:
- Упоредни углови су два суседна угла. Они су суплементни: \[ \alpha + \beta = 180^\circ \]
- Унакрсни углови су два несуседна (наспрамна) угла.
Унакрсни углови су међусобно једнаки.
\[ \alpha = \alpha' \quad \text{и} \quad \beta = \beta' \]
Ако је један од четири угла који настају пресеком двеју правих једнак \(40^\circ\), њему унакрстан угао такође износи \(40^\circ\), док су њему два упоредна угла једнака \(180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\).
Трансверзала је права која сече две паралелне (или непаралелне) праве.
Када трансверзала \(t\) сече две паралелне праве \(a\) и \(b\), образују се три карактеристична пара углова:
Ако трансверзала сече две паралелне праве (\(a \parallel b\)):
- Свака два сагласна угла су једнака.
- Свака два наизменична угла су једнака.
- Свака два супротна угла су суплементна (њихов збир је \(180^\circ\)).
Ако је угао \(\alpha = 65^\circ\), њему наизменичан угао је такође \(65^\circ\), сагласан је \(65^\circ\), а њему супротан угао износи \(180^\circ - 65^\circ = 115^\circ\).
Нека права \(t\) сече праве \(a\) и \(b\). Праве \(a\) и \(b\) су паралелне (\(a \parallel b\)) ако и само ако важи један од услова:
- Сагласни углови су једнаки;
- Наизменични углови су једнаки;
- Збир супротних углова је једнак \(180^\circ\).
Ако је збир унутрашњих супротних углова са једне стране трансверзале мањи од \(180^\circ\) (\(\alpha + \beta < 180^\circ\)), праве \(a\) и \(b\) нису паралелне и секу се на тој страни.
Две праве \(a\) и \(b\) пресечене су правом \(t\). Један унутрашњи угао износи \(83^\circ\), а унутрашњи супротни угао износи \(97^\circ\). Испитај да ли су праве \(a\) и \(b\) паралелне.
Саберемо супротне углове: \(83^\circ + 97^\circ = 180^\circ\).
Пошто је њихов збир тачно \(180^\circ\), на основу обрата теореме о трансверзали праве \(a\) и \(b\) јесу паралелне.
Пошто је њихов збир тачно \(180^\circ\), на основу обрата теореме о трансверзали праве \(a\) и \(b\) јесу паралелне.
Збир углова у троуглу: Збир унутрашњих углова било ког троугла износи \(180^\circ\).
\[ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \]
Спољашњи угао троугла је угао суплементан (упоредан) одговарајућем унутрашњем углу тог троугла.
Спољашњи угао троугла: Сваки спољашњи угао троугла једнак је збиру два њему несуседна унутрашња угла.
\[ \alpha_1 = \beta + \gamma, \quad \beta_1 = \alpha + \gamma, \quad \gamma_1 = \alpha + \beta \]
Углови паралелограма и трапеза:
- Код паралелограма суседни углови су суплементни (\(\alpha + \beta = 180^\circ\)), а наспрамни углови су једнаки (\(\alpha = \gamma\), \(\beta = \delta\)).
- Код трапеза углови који належу на исти крак су суплементни.
Једнакокраки троугао: Углови на основици једнакокраког троугла су једнаки.
\[ a = b \iff \alpha = \beta \]
Однос страница и углова: Наспрам веће странице троугла налази се већи угао, и обрнуто.
\[ a > b \iff \alpha > \beta \]
Неједнакост троугла: Свака страница троугла мања је од збира остале две странице, а већа од њихове позитивне разлике:
\[ |b - c| < a < b + c \]
\[ |a - c| < b < a + c \]
\[ |a - b| < c < a + b \]
Троугао са страницама \(3\text{ cm}, 4\text{ cm}, 8\text{ cm}\) не може постојати јер \(8 > 3 + 4\) (најдужа страница није мања од збира остале две).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): У једнакокраком троуглу угао при врху износи \(44^\circ\). Израчунај величину углова на основици.
Углови на основици једнакокраког троугла су једнаки (\(\alpha = \beta\)).
Како је збир углова у троуглу \(180^\circ\): \[ 2\alpha + 44^\circ = 180^\circ \implies 2\alpha = 180^\circ - 44^\circ = 136^\circ \implies \alpha = 68^\circ \] Одговор: Углови на основици износе по \(68^\circ\).
Како је збир углова у троуглу \(180^\circ\): \[ 2\alpha + 44^\circ = 180^\circ \implies 2\alpha = 180^\circ - 44^\circ = 136^\circ \implies \alpha = 68^\circ \] Одговор: Углови на основици износе по \(68^\circ\).
Задатак 2 (средњи): Спољашњи угао при темену \(A\) троугла \(ABC\) је \(\alpha_1 = 115^\circ\), а унутрашњи угао при темену \(B\) је \(\beta = 53^\circ\). Израчунај унутрашње углове \(\alpha\) и \(\gamma\), а затим поређај странице троугла по дужини од најкраће до најдуже.
1. Унутрашњи угао \(\alpha\) је упоредан са \(\alpha_1\):
\[ \alpha = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ \]
2. Спољашњи угао \(\alpha_1\) је једнак збиру несуседних унутрашњих углова:
\[ \alpha_1 = \beta + \gamma \implies 115^\circ = 53^\circ + \gamma \implies \gamma = 115^\circ - 53^\circ = 62^\circ \]
3. Поређење углова: \(\beta < \gamma < \alpha\) (\(53^\circ < 62^\circ < 65^\circ\)).
Пошто наспрам већег угла лежи дужа страница: \[ b < c < a \] Одговор: Углови су \(\alpha = 65^\circ, \gamma = 62^\circ\); поредак страница је \(b < c < a\).
Пошто наспрам већег угла лежи дужа страница: \[ b < c < a \] Одговор: Углови су \(\alpha = 65^\circ, \gamma = 62^\circ\); поредак страница је \(b < c < a\).
Задатак 3 (средњи): Две паралелне праве пресечене су трансверзалом тако да је један од супротних углова за \(36^\circ\) већи од другог. Одредити те углове.
Супротни углови на трансверзали су суплементни: \(\alpha + \beta = 180^\circ\).
Нека је \(\alpha = \beta + 36^\circ\): \[ (\beta + 36^\circ) + \beta = 180^\circ \implies 2\beta + 36^\circ = 180^\circ \implies 2\beta = 144^\circ \implies \beta = 72^\circ \] \[ \alpha = 72^\circ + 36^\circ = 108^\circ \] Одговор: Углови износе \(72^\circ\) и \(108^\circ\).
Нека је \(\alpha = \beta + 36^\circ\): \[ (\beta + 36^\circ) + \beta = 180^\circ \implies 2\beta + 36^\circ = 180^\circ \implies 2\beta = 144^\circ \implies \beta = 72^\circ \] \[ \alpha = 72^\circ + 36^\circ = 108^\circ \] Одговор: Углови износе \(72^\circ\) и \(108^\circ\).
Задатак 4 (тежак): Дужине две странице троугла су \(a = 5\text{ cm}\) и \(b = 9\text{ cm}\). Ако је дужина треће странице \(c\) цео број центиметара, одреди:
а) све могуће вредности за дужину странице \(c\);
б) највећу могућу вредност обима овог троугла.
а) све могуће вредности за дужину странице \(c\);
б) највећу могућу вредност обима овог троугла.
Према неједнакости троугла важи:
\[ |b - a| < c < b + a \]
\[ |9 - 5| < c < 9 + 5 \implies 4 < c < 14 \]
а) Цели бројеви у овом интервалу су: \(c \in \{5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13\}\text{ cm}\).
б) Обим је највећи када је страница \(c\) најдужа (\(c = 13\text{ cm}\)): \[ O_{\text{max}} = a + b + c = 5 + 9 + 13 = 27\text{ cm} \] Одговор: а) \(c \in \{5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13\}\text{ cm}\); б) \(O_{\text{max}} = 27\text{ cm}\).
б) Обим је највећи када је страница \(c\) најдужа (\(c = 13\text{ cm}\)): \[ O_{\text{max}} = a + b + c = 5 + 9 + 13 = 27\text{ cm} \] Одговор: а) \(c \in \{5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13\}\text{ cm}\); б) \(O_{\text{max}} = 27\text{ cm}\).
