VI.1. Средња Вредност, Медијана И Мод

Шта треба урадити

За сваки пар бројева прво рачунамо њихову аритметичку средину (средњу вредност) по формули \[ \bar{x}=\frac{a+b}{2}, \] а затим и бројеве и њихову средину приказујемо на бројевној правој. Као што се види на слици уз задатак: ако је \( A(a) \) и \( B(b) \), онда је тачка \( S\!\left(\frac{a+b}{2}\right) \) средиште дужи \( AB \). Она је од оба броја подједнако удаљена, и то за \( \frac{|b-a|}{2} \). То је добра провера: кад израчунаш средину, измери растојања лево и десно — морају бити једнака.

а) бројеви \( 3 \) и \( 5 \)

\[ \bar{x}=\frac{3+5}{2}=\frac{8}{2}=4 \] На бројевној правој обележимо \( A(3) \) и \( B(5) \), а средина \( S(4) \) је тачно између њих. Провера: \( 4-3=1 \) и \( 5-4=1 \) — растојања су једнака.

б) бројеви \( 70 \) и \( -110 \)

\[ \bar{x}=\frac{70+(-110)}{2}=\frac{-40}{2}=-20 \] Овде је згодно узети јединичну дуж која одговара, на пример, броју \( 10 \). Обележимо \( A(-110) \) лево од нуле и \( B(70) \) десно од нуле; средина \( S(-20) \) је лево од нуле. Провера: \( -20-(-110)=90 \) и \( 70-(-20)=90 \) — растојања су једнака.

в) бројеви \( -1,3 \) и \( -4,1 \)

\[ \bar{x}=\frac{-1,3+(-4,1)}{2}=\frac{-5,4}{2}=-2,7 \] Оба броја су негативна, па су обе тачке лево од нуле, а и њихова средина \( S(-2,7) \) је лево од нуле, између њих. Провера: \( -2,7-(-4,1)=1,4 \) и \( -1,3-(-2,7)=1,4 \) — растојања су једнака.

г) бројеви \( 3 \) и \( -2,7 \)

\[ \bar{x}=\frac{3+(-2,7)}{2}=\frac{0,3}{2}=0,15 \] Тачка \( A(-2,7) \) је лево од нуле, тачка \( B(3) \) десно од нуле, а њихова средина \( S(0,15) \) је сасвим близу нуле, мало десно од ње. Провера: \( 0,15-(-2,7)=2,85 \) и \( 3-0,15=2,85 \) — растојања су једнака.

Закључак

Аритметичка средина два броја увек „пада“ између њих — тачно на половини њиховог растојања.

Средина је средиште дужи: \( \bar{x}=\frac{a+b}{2} \). Добијамо \( 4 \), \( -20 \), \( -2,7 \) и \( 0,15 \).