IV.6. Правилни Многоуглови

Шта је дато

Дат је једнакостранични троугао \( ABC \) странице \( a = 1\ \text{cm} \). Треба одредити његову висину \( h \), полупречник описане кружнице \( R \) и полупречник уписане кружнице \( r \).

Висина

Код једнакостраничног троугла висина из темена \( B \) је истовремено и тежишна дуж и симетрала странице \( AC \), па њено подножје \( D \) полови страницу: \( AD = \frac{a}{2} \). Троугао \( ABD \) је правоугли, са хипотенузом \( AB = a \) и катетама \( AD = \frac{a}{2} \) и \( BD = h \). По Питагориној теореми: \[ h^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4} \] \[ h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{1\ \text{cm} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\ \text{cm} \approx 0,87\ \text{cm} \]

Полупречници

Центар описане и центар уписане кружнице једнакостраничног троугла поклапају се међусобно и са тежиштем \( O \) троугла. Тежиште дели сваку тежишну дуж (а то је овде баш висина) у размери \( 2:1 \), рачунајући од темена. Зато је полупречник описане кружнице две трећине висине, а полупречник уписане кружнице једна трећина висине: \[ R = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}\ \text{cm} \approx 0,58\ \text{cm} \] \[ r = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{6}\ \text{cm} \approx 0,29\ \text{cm} \]

Провера

Мора да важи \( R + r = h \) и \( R = 2r \): \[ R + r = \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3} + \sqrt{3}}{6} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} = h \] Обе провере се слажу, па су добијене вредности тачне.

За \( a = 1\ \text{cm} \): \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,87\ \text{cm} \), а тежиште дели висину у размери \( 2:1 \), па је \( R = \frac{2}{3}h \approx 0,58\ \text{cm} \) и \( r = \frac{1}{3}h \approx 0,29\ \text{cm} \).