Најважније из лекције
- Број троуглова: Дијагонале из једног темена деле многоугао на \( n - 2 \) троуглова.
- Збир унутрашњих углова (\( S_n \)): Рачуна се по формули \( S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ \). (нпр. за четвороугао: \( 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ \)).
- Веза унутрашњег и спољашњег угла: Они су упоредни, па је њихов збир \( 180^\circ \) (\( \alpha + \alpha_1 = 180^\circ \)).
- Збир спољашњих углова: Увек износи тачно \( 360^\circ \), без обзира на то колико темена (\( n \)) многоугао има.
Повлачењем свих дијагонала из само једног темена, многоугао се може разложити на одређен број троуглова. Број добијених троуглова зависи од броја темена многоугла.
Ако многоугао има \( n \) темена (\( n \in \mathbb{N}, n > 3 \)), дијагоналама из једног темена он се разлаже на:
\[ n - 2 \text{ троуглова} \]
На пример, код шестоугла (\( n = 6 \)), дијагонале повучене из једног темена разлажу тај шестоугао на \( 6 - 2 = 4 \) троугла.
На колико троуглова се разлаже многоугао са 12 темена повлачењем дијагонала из једног темена?
Користимо правило \( n - 2 \). Пошто је \( n = 12 \), добијамо \( 12 - 2 = 10 \).
Одговор: Многоугао се разлаже на 10 троуглова.
Одговор: Многоугао се разлаже на 10 троуглова.
Пошто се сваки многоугао може разложити на \( n - 2 \) троуглова (а збир углова у једном троуглу је \( 180^\circ \)), збир свих унутрашњих углова многоугла се рачуна множењем броја тих троуглова са \( 180^\circ \).
Нека је \( n \) (\( n \in \mathbb{N}, n \ge 3 \)) број темена многоугла и \( S_n \) збир унутрашњих углова. Тада је:
\[ S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ \]
Израчунавање збира унутрашњих углова за осмоугао (\( n = 8 \)):
\( S_8 = (8 - 2) \cdot 180^\circ = 6 \cdot 180^\circ = 1080^\circ \)
\( S_8 = (8 - 2) \cdot 180^\circ = 6 \cdot 180^\circ = 1080^\circ \)
Збир унутрашњих углова неког многоугла износи \( 1440^\circ \). Колико темена има тај многоугао?
Потребно је решити једначину по \( n \):
\( (n - 2) \cdot 180^\circ = 1440^\circ \)
\( n - 2 = 1440^\circ : 180^\circ \)
\( n - 2 = 8 \)
\( n = 10 \)
Одговор: Многоугао има 10 темена (десетоугао).
\( (n - 2) \cdot 180^\circ = 1440^\circ \)
\( n - 2 = 1440^\circ : 180^\circ \)
\( n - 2 = 8 \)
\( n = 10 \)
Одговор: Многоугао има 10 темена (десетоугао).
Спољашњи углови многоугла су углови који су упоредни са унутрашњим угловима многоугла.
Ако се унутрашњи угао обележи грчким словом (нпр. \( \alpha \)), њему одговарајући спољашњи угао обележава се истим словом са индексом 1 (нпр. \( \alpha_1 \)).
Пошто су унутрашњи и спољашњи угао упоредни, њихов збир чини опружен угао:
\[ \alpha + \alpha_1 = 180^\circ \]
Збир свих спољашњих углова било ког конвексног многоугла увек износи \( 360^\circ \). Овај збир не зависи од броја темена тог многоугла!
Ако је један унутрашњи угао многоугла \( 110^\circ \), колико износи њему одговарајући спољашњи угао?
Збир унутрашњег и спољашњег угла је \( 180^\circ \).
\( 110^\circ + \alpha_1 = 180^\circ \)
\( \alpha_1 = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \)
Одговор: Спољашњи угао износи \( 70^\circ \).
\( 110^\circ + \alpha_1 = 180^\circ \)
\( \alpha_1 = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \)
Одговор: Спољашњи угао износи \( 70^\circ \).
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај збир унутрашњих углова седмоугла.
Седмоугао има \( n = 7 \) темена.
Користимо формулу: \( S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ \)
\( S_7 = (7 - 2) \cdot 180^\circ \)
\( S_7 = 5 \cdot 180^\circ = 900^\circ \)
Одговор: Збир унутрашњих углова је \( 900^\circ \).
Користимо формулу: \( S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ \)
\( S_7 = (7 - 2) \cdot 180^\circ \)
\( S_7 = 5 \cdot 180^\circ = 900^\circ \)
Одговор: Збир унутрашњих углова је \( 900^\circ \).
Средњи: Одреди број страница многоугла који се дијагоналама повученим из једног темена разлаже на 15 троуглова, а затим израчунај збир његових унутрашњих углова.
Број троуглова се рачуна по формули \( n - 2 \).
\( n - 2 = 15 \)
\( n = 17 \) (Многоугао има 17 страница/темена).
Збир унутрашњих углова:
\( S_{17} = (17 - 2) \cdot 180^\circ = 15 \cdot 180^\circ = 2700^\circ \).
Одговор: Број страница је 17, а збир унутрашњих углова је \( 2700^\circ \).
\( n - 2 = 15 \)
\( n = 17 \) (Многоугао има 17 страница/темена).
Збир унутрашњих углова:
\( S_{17} = (17 - 2) \cdot 180^\circ = 15 \cdot 180^\circ = 2700^\circ \).
Одговор: Број страница је 17, а збир унутрашњих углова је \( 2700^\circ \).
Тежак: Пет спољашњих углова шестоугла износе \( 40^\circ, 55^\circ, 85^\circ, 50^\circ \) и \( 60^\circ \). Одреди све унутрашње углове тог шестоугла.
Збир свих спољашњих углова шестоугла је увек \( 360^\circ \).
Нека је шести спољашњи угао \( \phi_1 \).
\( 40^\circ + 55^\circ + 85^\circ + 50^\circ + 60^\circ + \phi_1 = 360^\circ \)
\( 290^\circ + \phi_1 = 360^\circ \implies \phi_1 = 70^\circ \).
Унутрашњи углови се добијају одузимањем спољашњих од \( 180^\circ \):
\( \alpha = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \)
\( \beta = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ \)
\( \gamma = 180^\circ - 85^\circ = 95^\circ \)
\( \delta = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ \)
\( \epsilon = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \)
\( \phi = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \)
Одговор: Унутрашњи углови су \( 140^\circ, 125^\circ, 95^\circ, 130^\circ, 120^\circ \) и \( 110^\circ \).
Нека је шести спољашњи угао \( \phi_1 \).
\( 40^\circ + 55^\circ + 85^\circ + 50^\circ + 60^\circ + \phi_1 = 360^\circ \)
\( 290^\circ + \phi_1 = 360^\circ \implies \phi_1 = 70^\circ \).
Унутрашњи углови се добијају одузимањем спољашњих од \( 180^\circ \):
\( \alpha = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \)
\( \beta = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ \)
\( \gamma = 180^\circ - 85^\circ = 95^\circ \)
\( \delta = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ \)
\( \epsilon = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \)
\( \phi = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \)
Одговор: Унутрашњи углови су \( 140^\circ, 125^\circ, 95^\circ, 130^\circ, 120^\circ \) и \( 110^\circ \).
