Најважније из лекције
Кључни закључци:
- Одређеност: Раван је једнозначно одређена са 3 неколинеарне тачке, правом и тачком ван ње, или двема правама које се секу / које су паралелне.
- Мимоилазне праве: Праве у простору које немају заједничких тачака и не припадају истој равни.
- Нормалност: Права је нормална на раван (\(n \perp \rho\)) ако је нормална на барем две праве те равни које пролазе кроз њен продор.
- Ортогонална пројекција дужи: Увек је краћа или једнака оригиналној дужи (\(d' \le d\)). Рачуна се применом Питагорине теореме преко формула: \(d' = \sqrt{d^2 - (h_2 - h_1)^2}\) (иста страна) или \(d' = \sqrt{d^2 - (h_1 + h_2)^2}\) (различите стране).
- Ојлерова формула: За сваки конвексан полиедар важи \(T - I + S = 2\).
- Платонова тела: Постоји тачно 5 правилних полиедара: тетраедар (4), коцка (6), октаедар (8), додекаедар (12) и икосаедар (20 страна).
Стереометрија је део геометрије који проучава просторне фигуре и њихове међусобне односе.
Основни елементи простора су тачке (означавају се великим латиничним словима: \(A, B, C\dots\)), праве (мала латинична слова: \(a, b, p\dots\)) и равни (грчка слова: \(\alpha, \beta, \pi, \rho\dots\)).
Колинеарност и компланарност:
- Тачке су колинеарне ако припадају једној правој. У супротном су неколинеарне.
- Број правих одређених са \(n\) тачака од којих никоје три нису колинеарне рачуна се по формули: \[ \frac{n(n - 1)}{2} \]
- Тачке су компланарне ако припадају једној равни. У супротном су некомпланарне.
Одређеност равни: Тачно једна раван је одређена:
- трима неколинеарним тачкама;
- правом и тачком која јој не припада;
- двема правама које се секу;
- двема паралелним правама.
Међусобни односи у простору:
- Права и раван: Права припада равни (\(p \subset \alpha\)), продире раван у једној тачки (\(p \cap \alpha = \{P\}\)) или је паралелна са равни (\(p \parallel \alpha\)). Ако права и раван имају две заједничке тачке, цела права лежи у тој равни.
- Две праве: Секу се (имају једну заједничку тачку), паралелне су (немају заједничких тачака и леже у истој равни) или су мимоилазне (немају заједничких тачака и не припадају истој равни).
- Две равни: Паралелне су (\(\alpha \parallel \beta\)) или се секу по правој линији (\(\alpha \cap \beta = p\)).
Колико различитих правих одређују темена квадрата \(ABCD\)?
Четири темена (\(n = 4\)), од којих никоје три нису колинеарне, одређују: \[ \frac{4 \cdot (4 - 1)}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ правих (четири странице и две дијагонале)}. \]
Четири темена (\(n = 4\)), од којих никоје три нису колинеарне, одређују: \[ \frac{4 \cdot (4 - 1)}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ правих (четири странице и две дијагонале)}. \]
Колико равни одређује 5 тачака од којих никоје четири нису компланарне и никоје три нису колинеарне?
Свака тројка неколинеарних тачака одређује једну раван. Број начина да изаберемо 3 тачке од 5 једнак је 10. Дакле, тачке одређују тачно 10 равни.
Две праве су нормалне (ортогоналне) ако се секу под правим углом од \(90^\circ\) (\(p \perp q\)).
Нормалност праве и равни:
Права је нормална на раван ако и само ако је нормална на сваку праву те равни која садржи тачку продора. Практично правило гласи: ако је права нормална на двема правама равни које се секу у тачки продора, она је нормална на ту раван (\(n \perp \rho\)).
Нормалност две равни:
Две равни које се секу по правој \(p\) међусобно су нормалне (\(\alpha \perp \beta\)) ако су нормале конструисане на пресечну праву \(p\) у једној тачки у обе равни међусобно нормалне.
Растојање између тачака у нормалним равнима:
Ако су равни \(\pi\) и \(\rho\) нормалне и секу се по правој \(p\), а тачке \(A \in \pi\) и \(B \in \rho\) имају подножја нормала \(O_1\) и \(O_2\) на праву \(p\), при чему је \(AO_1 = a\), \(BO_2 = b\) и \(O_1O_2 = d\), растојање \(AB\) рачуна се двоструком применом Питагорине теореме:
\[ AB = \sqrt{a^2 + d^2 + b^2} \]
Равни \(\alpha\) и \(\beta\) су узајамно нормалне и секу се по правој \(p\). Тачка \(A \in \alpha\) удаљена је од праве \(p\) за \(4\text{ cm}\), а тачка \(B \in \beta\) удаљена је од праве \(p\) за \(3\text{ cm}\). Ако је растојање између њихових пројекција на праву \(p\) једнако \(12\text{ cm}\), одреди растојање \(AB\).
Применом формуле за растојање у нормалним равнима:
\[ AB = \sqrt{a^2 + d^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 12^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 144 + 9} = \sqrt{169} = 13\text{ cm}. \]
Ортогонална пројекција тачке на раван је подножје нормале спуштене из те тачке на дату раван. Дужина те нормале представља растојање тачке од равни.
Ортогонална пројекција праве:
- Ако права није нормална на раван, њена пројекција је права.
- Ако је права нормална на раван, њена пројекција је једна тачка.
Нагибни угао праве према равни је оштар угао који та права заклапа са својом ортогоналном пројекцијом на ту раван.
Ортогонална пројекција дужи (\(AB\)) дужине \(d\) са пројекцијом \(A_1B_1 = d'\):
- Ако је дуж паралелна са равни: \(d' = d\).
- Ако је дуж коса према равни: \(d' < d\).
- Ако је дуж нормална на раван: \(d' = 0\) (пројекција је тачка).
Рачунање пројекције дужи помоћу Питагорине теореме:
1. Када су крајње тачке \(A\) и \(B\) са исте стране равни на растојањима \(h_1\) и \(h_2\): \[ d' = \sqrt{d^2 - (h_2 - h_1)^2} \] 2. Када су крајње тачке \(A\) и \(B\) са различитих страна равни (дуж сече раван): \[ d' = \sqrt{d^2 - (h_1 + h_2)^2} \]
1. Када су крајње тачке \(A\) и \(B\) са исте стране равни на растојањима \(h_1\) и \(h_2\): \[ d' = \sqrt{d^2 - (h_2 - h_1)^2} \] 2. Када су крајње тачке \(A\) и \(B\) са различитих страна равни (дуж сече раван): \[ d' = \sqrt{d^2 - (h_1 + h_2)^2} \]
Дуж \(AB = 10\text{ cm}\) сече раван \(\pi\). Крајње тачке се налазе на растојањима \(2\text{ cm}\) и \(6\text{ cm}\) од равни. Колика је дужина ортогоналне пројекције дужи \(AB\) на раван \(\pi\)?
Пошто су тачке са различитих страна равни, растојања се сабирају:
\[ h_1 + h_2 = 2 + 6 = 8\text{ cm} \]
\[ d' = \sqrt{d^2 - (h_1 + h_2)^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6\text{ cm}. \]
Полиедар је део простора ограничен многоугловима. Те многоуглове називамо странама, њихове странице су ивице полиедра, а њихова темена су темена полиедра.
Ојлерова формула за конвексне полиедре:
\[ T - I + S = 2 \]
\(T\) – број темена, \(I\) – број ивица, \(S\) – број страна
Површина и запремина полиедра:
- Површина (\(P\)) полиедра једнака је збиру површина свих његових страна (односно површини његове равне мреже).
- Запремина (\(V\)) је величина дела простора који полиедар заузима. Основна јединица је \(1\text{ m}^3\).
- Веза масе, запремине и густине материјала: \(m = V \cdot \rho \iff V = \frac{m}{\rho}\).
Платонова тела (правилни полиедри) су конвексни полиедри чије су све стране подударни правилни многоуглови и из сваког темена полази једнак број ивица. Постоји тачно 5 Платонових тела:
| Назив тела | Облик стране | Број страна (\(S\)) | Број темена (\(T\)) | Број ивица (\(I\)) |
|---|---|---|---|---|
| Тетраедар | Једнакостранични троугао | 4 | 4 | 6 |
| Хексаедар (Коцка) | Квадрат | 6 | 8 | 12 |
| Октаедар | Једнакостранични троугао | 8 | 6 | 12 |
| Додекаедар | Правилни петоугао | 12 | 20 | 30 |
| Икосаедар | Једнакостранични троугао | 20 | 12 | 30 |
Провера Ојлерове формуле за додекаедар:
\[ T - I + S = 20 - 30 + 12 = 2. \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Један конвексан полиедар има 14 страна и 24 ивице. Одреди број темена тог полиедра.
Примењујемо Ојлерову формулу \(T - I + S = 2\):
\[ T - 24 + 14 = 2 \]
\[ T - 10 = 2 \implies T = 12. \]
Полиедар има 12 темена.
Задатак 2 (средњи): Тачка \(A\) не припада равни \(\alpha\). Њена удаљеност од равни \(\alpha\) износи \(12\text{ cm}\). Из тачке \(A\) повучена је коса дуж \(AB\) према равни \(\alpha\) дужине \(15\text{ cm}\) (\(B \in \alpha\)). Одреди дужину ортогоналне пројекције те дужи на раван \(\alpha\).
Нека је \(A_1\) ортогонална пројекција тачке \(A\) на раван \(\alpha\). Троугао \(AA_1B\) је правоугли са правим углом код темена \(A_1\), хипотенузом \(AB = 15\text{ cm}\) и катетом \(AA_1 = 12\text{ cm}\).
Пројекција дужи је дуж \(A_1B\): \[ A_1B = \sqrt{AB^2 - AA_1^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9\text{ cm}. \]
Пројекција дужи је дуж \(A_1B\): \[ A_1B = \sqrt{AB^2 - AA_1^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9\text{ cm}. \]
Задатак 3 (средњи): Дуж \(CD\) дужине \(13\text{ cm}\) налази се са исте стране равни \(\pi\). Ако су растојања тачака \(C\) и \(D\) од равни редом \(3\text{ cm}\) и \(8\text{ cm}\), израчунај дужину ортогоналне пројекције ове дужи на раван \(\pi\).
Крајње тачке су са исте стране равни: \(h_1 = 3\text{ cm}\), \(h_2 = 8\text{ cm}\), \(d = 13\text{ cm}\).
Разлика растојања износи: \[ h_2 - h_1 = 8 - 3 = 5\text{ cm}. \] Дужина пројекције \(d'\): \[ d' = \sqrt{d^2 - (h_2 - h_1)^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\text{ cm}. \]
Разлика растојања износи: \[ h_2 - h_1 = 8 - 3 = 5\text{ cm}. \] Дужина пројекције \(d'\): \[ d' = \sqrt{d^2 - (h_2 - h_1)^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\text{ cm}. \]
Задатак 4 (тежак): Права \(p\) сече раван \(\alpha\) под нагибним углом од \(30^\circ\). На правој \(p\) дата је дуж \(AB\) чија пројекција на раван \(\alpha\) има дужину \(6\sqrt{3}\text{ cm}\). Израчунај стварну дужину дужи \(AB\) и разлику растојања њених крајњих тачака од равни \(\alpha\).
У правоуглом троуглу који чине дуж \(AB\), њена пројекција \(d'\) и разлика висина \(\Delta h\), угао између дужи и пројекције је \(30^\circ\).
Знамо да је: \[ \cos 30^\circ = \frac{d'}{AB} \implies \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{AB} \implies AB = \frac{2 \cdot 6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 12\text{ cm}. \] Разлика растојања \(\Delta h\) је катета наспрам угла од \(30^\circ\), па је једнака половини хипотенузе: \[ \Delta h = \frac{AB}{2} = \frac{12}{2} = 6\text{ cm}. \]
Знамо да је: \[ \cos 30^\circ = \frac{d'}{AB} \implies \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{AB} \implies AB = \frac{2 \cdot 6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 12\text{ cm}. \] Разлика растојања \(\Delta h\) је катета наспрам угла од \(30^\circ\), па је једнака половини хипотенузе: \[ \Delta h = \frac{AB}{2} = \frac{12}{2} = 6\text{ cm}. \]
