Најважније из лекције
Линеарна једначина \(ax = c\):
Свођење на линеарне:
- \(a \neq 0 \implies x = \frac{c}{a}\) (јединствено решење, нпр. \(2x = 6 \implies x = 3\)).
- \(a = 0, c \neq 0 \implies 0 \cdot x = c\) (нема решења, \(\emptyset\)).
- \(a = 0, c = 0 \implies 0 \cdot x = 0\) (идентитет, свако \(x \in \mathbb{R}\)).
Свођење на линеарне:
- Производ: \(A \cdot B = 0 \iff A = 0\) или \(B = 0\).
- Разломак: \(\frac{A}{B} = 0 \iff A = 0\) уз услов \(B \neq 0\).
- Апсолутна вредност: \(|A| = c \implies A = c\) или \(A = -c\).
Линеаран израз је полином који се применом правила рачунања може трансформисати у облик \(ax + b\), где је \(a \neq 0\).
Решење једначине је број који, када замени непознату, преводи једначину у тачну бројевну једнакост. Решити једначину значи пронаћи сва њена решења или утврдити да она нема решења.
Еквивалентне једначине су оне једначине које имају потпуно исти скуп решења (или обе немају решења).
Једначина се трансформише у њој еквивалентну коришћењем три основна правила:
- Правило замене: Израз у једначини се замењује њему еквивалентним изразом. Такође, из \(A = B\) следи \(B = A\).
- Правило о додавању: Обема странама једначине може се додати или одузети исти број или алгебарски израз: \[ A = B \iff A + C = B + C \]
- Правило о множењу: Обе стране једначине могу се помножити или поделити истим бројем различитим од нуле (\(c \neq 0\)): \[ A = B \iff A \cdot c = B \cdot c \quad (c \neq 0) \]
За коју вредност параметра \(p\) су једначине \(2x - 3 = 5\) и \(px + 1 = 9\) еквивалентне?
Решимо прву једначину:
\[ 2x = 5 + 3 \implies 2x = 8 \implies x = 4 \]
Да би једначине биле еквивалентне, мора имати исто решење \(x = 4\). Заменом \(x = 4\) у другу једначину добијамо:
\[ p \cdot 4 + 1 = 9 \implies 4p = 8 \implies p = 2 \]
Општи облик линеарне једначине са једном непознатом је:
\[ ax + b = 0 \quad (a, b \in \mathbb{R}) \quad \iff \quad ax = -b \]
Обе стране помножити најмањим заједничким садржаоцем свих именилаца у једначини.
Извршити назначене операције множења и сабирања (применити дистрибутивност).
Пребацити све чланове са непознатом на једну страну, а све слободне чланове (бројеве) на другу страну једнакости (уз промену знака).
Сабрати сличне мономе и одредити непознату дељењем са коефицијентом уз \(x\).
Број решења једначине \(ax = c\):
- Ако је \(a \neq 0\), једначина има јединствено решење: \[ x = \frac{c}{a} \]
- Ако је \(a = 0\) и \(c \neq 0\) (облик \(0 \cdot x = c\)), једначина нема решења (скуп решења је празан скуп \(\emptyset\)).
- Ако је \(a = 0\) и \(c = 0\) (облик \(0 \cdot x = 0\)), решење је сваки реалан број (\(x \in \mathbb{R}\)). Оваква једначина се назива идентитет (неодређена једначина).
Реши једначину: \(\frac{2x - 1}{3} - \frac{x + 1}{2} = 1\).
Множимо целу једначину са \(S(3, 2) = 6\):
\[ 6 \cdot \frac{2x - 1}{3} - 6 \cdot \frac{x + 1}{2} = 6 \cdot 1 \]
\[ 2(2x - 1) - 3(x + 1) = 6 \]
\[ 4x - 2 - 3x - 3 = 6 \]
\[ x - 5 = 6 \implies x = 11 \]
Многе једначине вишег степена или разломљене једначине могу се свести на решавање линеарних једначина помоћу следећих својстава:
1. Привидно нелинеарне једначине: Након квадрирања бинома или множења израза, чланови са \(x^2\) се поништавају.
2. Једначина облика производа:
\[ A(x) \cdot B(x) = 0 \iff A(x) = 0 \quad \text{или} \quad B(x) = 0 \]
Напомена: Изразе растављамо на чиниоце извлачењем заједничког члана испред заграде или коришћењем разлике квадрата: \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\). Никада не делити једначину непознатом!
3. Разломак једнак нули:
\[ \frac{A(x)}{B(x)} = 0 \iff A(x) = 0 \quad \text{уз обавезан услов} \quad B(x) \neq 0 \]
4. Једначине са апсолутном вредношћу:
\[ |ax + b| = c \quad (c > 0) \iff ax + b = c \quad \text{или} \quad ax + b = -c \]
Ако је \(c < 0\), једначина нема решења јер је апсолутна вредност увек ненегативна (\(|A| \ge 0\)).
Реши једначину \(x^2 - 9 = 0\):
\[ (x - 3)(x + 3) = 0 \implies x - 3 = 0 \text{ или } x + 3 = 0 \implies x_1 = 3, \; x_2 = -3 \]
Реши једначину: \(\frac{x^2 - 4}{x - 2} = 0\).
Услов дефинисаности: \(x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2\).
Бројилац мора бити једнак нули: \[ x^2 - 4 = 0 \implies (x - 2)(x + 2) = 0 \implies x = 2 \text{ или } x = -2 \] Пошто вредност \(x = 2\) не задовољава услов, једино решење је \(x = -2\).
Бројилац мора бити једнак нули: \[ x^2 - 4 = 0 \implies (x - 2)(x + 2) = 0 \implies x = 2 \text{ или } x = -2 \] Пошто вредност \(x = 2\) не задовољава услов, једино решење је \(x = -2\).
Линеарна неједначина са једном непознатом је свака неједначина која се може трансформисати у један од облика: \(ax + b < 0\), \(ax + b \le 0\), \(ax + b > 0\) или \(ax + b \ge 0\).
Правила трансформације неједначина:
- Додавање/одузимање: Додавањем или одузимањем истог израза са обе стране знак неједнакости се не мења: \[ a < b \iff a + c < b + c \]
- Множење позитивним бројем (\(c > 0\)): Знак неједнакости остаје исти: \[ a < b, \; c > 0 \implies a \cdot c < b \cdot c \]
- Множење/дељење негативним бројем (\(c < 0\)): Знак неједнакости се ОБРЋЕ: \[ a < b, \; c < 0 \implies a \cdot c > b \cdot c \]
Када се након сређивања добије \(0 \cdot x\):
- \(0 \cdot x > 3 \implies 0 > 3\) (нетачно) \(\implies \mathbb{R}_x = \emptyset\) (нема решења).
- \(0 \cdot x > -3 \implies 0 > -3\) (тачно) \(\implies \mathbb{R}_x = \mathbb{R}\) (сваки реалан број је решење).
Неједначине са апсолутном вредношћу (\(c > 0\)):
- \(|A| < c \iff -c < A < c\)
- \(|A| > c \iff A < -c \quad \text{или} \quad A > c\)
Реши неједначину: \(3 - 2x \le 9\).
\[ -2x \le 9 - 3 \]
\[ -2x \le 6 \quad / : (-2) \]
Како делимо негативним бројем, знак се мења:
\[ x \ge -3 \implies x \in [-3, +\infty) \]
Пажљиво прочитати текст и једну тражену величину означити са \(x\).
Остале податке из задатка изразити преко \(x\) и саставити линеарну једначину према задатим релацијама.
Решити једначину, извршити проверу у тексту задатка и формулисати јасан одговор (водећи рачуна о мерним јединицама и смислу решења).
Типични математички модели:
- Узастопни цели бројеви: \(x, x+1, x+2, \dots\) (парни: \(2k, 2k+2\); непарни: \(2k+1, 2k+3\)).
- Геометрија:
Збир углова троугла: \(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ\)
Обим правоугаоника/паралелограма: \(O = 2a + 2b\) - Равномерно кретање: \[ s = v \cdot t \quad (\text{пут} = \text{брзина} \cdot \text{време}) \] Сусрет тела из супротних смерова: \(s_1 + s_2 = s_{\text{укупно}} \iff v_1 t + v_2 t = s\)
- Проценти и смеше: \(p\% \text{ од } x = \frac{p}{100} \cdot x\). Укупна количина чисте супстанце пре мешања једнака је количини чисте супстанце након мешања.
Збир три узастопна природна броја је 72. Одреди те бројеве.
Нека су бројеви \(x, x+1, x+2\).
\[ x + (x + 1) + (x + 2) = 72 \]
\[ 3x + 3 = 72 \implies 3x = 69 \implies x = 23 \]
Тражени бројеви су 23, 24 и 25.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лак): Реши једначину:
\[ 4(x - 3) - 2(x - 1) = 8 \]
Ослободимо се заграда:
\[ 4x - 12 - 2x + 2 = 8 \]
Средимо леву страну:
\[ 2x - 10 = 8 \]
Додамо 10 обема странама:
\[ 2x = 18 \]
Поделимо са 2:
\[ x = 9 \]
Одговор: \(x = 9\).
Задатак 2 (Средњи): Одреди скуп решења неједначине и прикажи га у облику интервала:
\[ \frac{2x - 1}{4} - \frac{3x + 1}{6} \ge \frac{1}{3} \]
Помножимо целу неједначину са \(S(4, 6, 3) = 12\):
\[ 12 \cdot \frac{2x - 1}{4} - 12 \cdot \frac{3x + 1}{6} \ge 12 \cdot \frac{1}{3} \]
\[ 3(2x - 1) - 2(3x + 1) \ge 4 \]
\[ 6x - 3 - 6x - 2 \ge 4 \]
\[ -5 \ge 4 \]
Добијена неједнакост је нетачна за сваки реалан број \(x\) (чланови са \(x\) се поништавају: \(0 \cdot x \ge 9\)).
Одговор: Неједначина нема решења, односно \(x \in \emptyset\).
Одговор: Неједначина нема решења, односно \(x \in \emptyset\).
Задатак 3 (Средњи): Реши једначину у скупу реалних бројева:
\[ (x - 2)(2x + 5) = 0 \]
Производ је једнак нули када је бар један од чинилаца једнак нули:
\[ x - 2 = 0 \quad \text{или} \quad 2x + 5 = 0 \]
\[ x_1 = 2 \quad \text{или} \quad 2x = -5 \implies x_2 = -\frac{5}{2} = -2,5 \]
Одговор: Једначина има два решења: \(x_1 = 2\) и \(x_2 = -2,5\).
Задатак 4 (Тежак): Колико грама воде треба долити у 300 грама 20%-тног раствора соли да би се добио 12%-тни раствор?
Означимо са \(x\) масу додате воде (у грамима).
Количина соли у почетном раствору: \[ 0,20 \cdot 300 = 60 \text{ g} \] Додавањем чисте воде, маса соли се не мења, док нова укупна маса раствора износи \(300 + x\).
Према услову, со треба да чини 12% новог раствора: \[ 0,12 \cdot (300 + x) = 60 \] \[ 36 + 0,12x = 60 \] \[ 0,12x = 60 - 36 \] \[ 0,12x = 24 \] \[ x = \frac{24}{0,12} = \frac{2400}{12} = 200 \] Одговор: Потребно је долити 200 грама воде.
Количина соли у почетном раствору: \[ 0,20 \cdot 300 = 60 \text{ g} \] Додавањем чисте воде, маса соли се не мења, док нова укупна маса раствора износи \(300 + x\).
Према услову, со треба да чини 12% новог раствора: \[ 0,12 \cdot (300 + x) = 60 \] \[ 36 + 0,12x = 60 \] \[ 0,12x = 60 - 36 \] \[ 0,12x = 24 \] \[ x = \frac{24}{0,12} = \frac{2400}{12} = 200 \] Одговор: Потребно је долити 200 грама воде.
