Најважније из лекције
- Талесова теорема: Дужи које међусобно паралелне праве одсецају на једној правој, пропорционалне су одговарајућим дужима које те праве одсецају на било којој другој правој (\( \frac{AB}{CD} = \frac{A_1B_1}{C_1D_1} \)).
- Праве које се секу: Ако паралелне праве секу краке угла са теменом у \(O\), онда су одсечци на једном краку пропорционални одсечцима на другом краку (\( \frac{OA}{OB} = \frac{OA_1}{OB_1} \)), али важи и пропорција за саме паралелне дужи (\( \frac{OA}{OB} = \frac{AA_1}{BB_1} \)).
- Подела дужи: Коришћењем Талесове теореме, конструисањем помоћне полуправе, наношењем једнаких делова и повлачењем паралелних правих, свака дуж се може тачно геометријски поделити у било којој задатој размери \(m:n\).
Ако две или више паралелних правих секу две праве (трансверзале), онда су дужи које те паралелне праве одсецају на једној трансверзали пропорционалне одговарајућим дужима које оне одсецају на другој трансверзали.
Нека паралелне праве \(a, b, c\) и \(d\) секу праву \(p\) у тачкама \(A, B, C\) и \(D\), а праву \(p_1\) у тачкама \(A_1, B_1, C_1\) и \(D_1\). Тада важи:
\[ \frac{AB}{CD} = \frac{A_1B_1}{C_1D_1} \]
На правој \(p\) дате су тачке \(A, B, C\), а на правој \(q\) тачке \(A_1, B_1, C_1\), тако да је \(AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1\). Ако је \(AB = 5 \text{ cm}\), \(BC = 3 \text{ cm}\) и \(A_1B_1 = 7,5 \text{ cm}\), израчунај дужину дужи \(B_1C_1\).
На основу Талесове теореме важи пропорција:
\[ \frac{AB}{BC} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1} \]
Заменом познатих вредности добијамо:
\[ \frac{5}{3} = \frac{7,5}{B_1C_1} \]
\[ 5 \cdot B_1C_1 = 3 \cdot 7,5 \]
\[ 5 \cdot B_1C_1 = 22,5 \implies B_1C_1 = 4,5 \text{ cm} \]
Нека се праве \(p\) и \(p_1\) секу у тачки \(O\). Ако паралелне праве \(a\) и \(b\) секу праву \(p\) у тачкама \(A\) и \(B\), а праву \(p_1\) у тачкама \(A_1\) и \(B_1\), тада су одговарајуће дужи на тим правима пропорционалне.
За овакву конфигурацију правих важе следеће једнакости:
\[ \frac{OA}{OB} = \frac{OA_1}{OB_1} = \frac{AA_1}{BB_1} \]
Такође, важи и:
\[ \frac{OA}{OA_1} = \frac{OB}{OB_1} = \frac{AB}{A_1B_1} \]
Праве \(p\) и \(q\) секу се у тачки \(T\). Паралелне праве сечу ове краке у тачкама \(P\) и \(Q\) (ближе тачки \(T\)), односно \(R\) и \(S\). Ако је \(TP = 3 \text{ cm}\), \(PR = 2 \text{ cm}\) (те је \(TR = 5 \text{ cm}\)) и \(PQ = 4 \text{ cm}\), израчунај дужину паралелне дужи \(RS\).
Пошто су праве кроз \(P,Q\) и \(R,S\) паралелне, важи:
\[ \frac{TP}{TR} = \frac{PQ}{RS} \]
\[ \frac{3}{5} = \frac{4}{RS} \]
\[ 3 \cdot RS = 20 \implies RS = \frac{20}{3} = 6 \frac{2}{3} \text{ cm} \]
Талесова теорема нам омогућава да дату дуж геометријски поделимо на произвољан број једнаких делова или у било којој размери \(m:n\) (где су \(m, n\) природни бројеви).
Из једне крајње тачке дужи \(AB\) (нпр. тачке \(A\)) конструишемо произвољну полуправу \(Ax\).
Ако делимо дуж у размери \(m:n\), на полуправој \(Ax\) надовезујемо \(m+n\) једнаких сегмената произвољне дужине, обележавајући тачке \(X_1, X_2, \dots, X_{m+n}\).
Спајамо последњу тачку \(X_{m+n}\) са другом крајњом тачком дужи, тачком \(B\).
Кроз тачку \(X_m\) (која раздваја \(m\) делова од преосталих \(n\) делова) конструишемо праву паралелну са правом \(X_{m+n}B\).
Пресек те паралелне праве и дужи \(AB\) је тражена тачка \(P\) која дели дуж у размери \(AP : PB = m : n\).
Да бисмо дуж \(AB\) поделили на 3 једнака дела, на помоћној полуправој \(Ax\) одредимо 3 једнака сегмента до тачке \(X_3\). Спојимо \(X_3\) са \(B\). Кроз \(X_1\) и \(X_2\) повучемо паралеле са \(X_3B\). Оне ће пресећи дуж \(AB\) у тачкама које је деле на тачно 3 једнака дела.
Ако су дате три дужи дужина \(a, b\) и \(c\), четврта пропорционала је дуж \(x\) за коју важи: \( a : b = c : x \). Њена конструкција се директно ослања на Талесову теорему.
Нацртамо произвољан угао са теменом у тачки \(O\).
На једном краку угла одмеримо дуж \(OA = a\), а затим од тачке \(O\) одмеримо и дуж \(OB = b\) (тако да су тачке \(A\) и \(B\) на истом краку).
На другом краку угла одмеримо дуж \(OC = c\). Спајамо тачке \(A\) и \(C\) правом.
Кроз тачку \(B\) конструишемо праву паралелну са правом \(AC\).
Пресек ове паралелне праве са другим краком угла обележавамо са \(X\). Дужина дужи \(OX\) представља тражену четврту пропорционалу \(x\).
Ова метода омогућава и графичко множење и дељење дужи ако се једна од датих дужи узме за јединичну дуж (\(1\)). На пример, из \(1 : a = b : x\) следи да је \(x = a \cdot b\).
Задаци за вежбање
Лак: На правој \(p\) дате су тачке \(A, B, C\), а на правој \(q\) тачке \(A_1, B_1, C_1\). Ако су праве \(AA_1\), \(BB_1\) и \(CC_1\) међусобно паралелне и важи \(AB : BC = 2 : 3\), одреди дужину дужи \(A_1B_1\) уколико је \(C_1B_1 = 12 \text{ cm}\).
На основу Талесове теореме:
\[ \frac{AB}{BC} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1} \]
Како је \(AB : BC = 2 : 3\), следи:
\[ \frac{2}{3} = \frac{A_1B_1}{12} \]
\[ 3 \cdot A_1B_1 = 2 \cdot 12 = 24 \]
\[ A_1B_1 = 8 \text{ cm} \]
Средњи: У троуглу \(ABC\) повучена је права паралелна страници \(AB\), која сече страницу \(AC\) у тачки \(D\), а страницу \(BC\) у тачки \(E\). Ако је \(CD = 4 \text{ cm}\), \(DA = 2 \text{ cm}\) и страница \(BC = 9 \text{ cm}\), одреди дужине дужи \(CE\) и \(EB\).
Примењујемо Талесову теорему на краке угла код темена \(C\), које секу паралелне праве \(DE\) и \(AB\).
\[ \frac{CD}{DA} = \frac{CE}{EB} \]
Нека је \(CE = x\). Тада је \(EB = 9 - x\).
\[ \frac{4}{2} = \frac{x}{9-x} \]
\[ 2 = \frac{x}{9-x} \implies 2(9-x) = x \]
\[ 18 - 2x = x \implies 3x = 18 \implies x = 6 \text{ cm} \]
Дакле, \(CE = 6 \text{ cm}\), а \(EB = 9 - 6 = 3 \text{ cm}\).
Тежак: Основице трапеза \(ABCD\) су \(AB = 7 \text{ cm}\) и \(CD = 3 \text{ cm}\). Права паралелна основицама сече крак \(AD\) у тачки \(E\), а крак \(BC\) у тачки \(F\). Ако је \(AE : ED = 3 : 1\), одреди дужину дужи \(EF\).
Да бисмо применили Талесову теорему, повлачимо помоћну праву кроз теме \(D\) тако да буде паралелна са краком \(BC\). Ова права сече дуж \(EF\) у тачки \(F'\), а основицу \(AB\) у тачки \(B'\).
Формирао се паралелограм \(F'BCD\) и паралелограм \(B'BCD\), што значи да је \(F'F = CD = 3 \text{ cm}\) и \(B'B = CD = 3 \text{ cm}\).
Дужина дела основице \(AB'\) је: \(AB' = AB - B'B = 7 - 3 = 4 \text{ cm}\).
Сада посматрамо троугао \(AB'D\). Права \(EF'\) је паралелна са \(AB'\), па по Талесовој теореми важи: \[ \frac{DE}{DA} = \frac{EF'}{AB'} \] Из \(AE : ED = 3 : 1\), следи да је \(DE = 1k\) и \(AE = 3k\), па је цела страница \(DA = 1k + 3k = 4k\). \[ \frac{1k}{4k} = \frac{EF'}{4} \] \[ \frac{1}{4} = \frac{EF'}{4} \implies EF' = 1 \text{ cm} \] Коначна дужина \(EF\) је збир \(EF'\) и \(F'F\): \[ EF = EF' + F'F = 1 + 3 = 4 \text{ cm} \]
Формирао се паралелограм \(F'BCD\) и паралелограм \(B'BCD\), што значи да је \(F'F = CD = 3 \text{ cm}\) и \(B'B = CD = 3 \text{ cm}\).
Дужина дела основице \(AB'\) је: \(AB' = AB - B'B = 7 - 3 = 4 \text{ cm}\).
Сада посматрамо троугао \(AB'D\). Права \(EF'\) је паралелна са \(AB'\), па по Талесовој теореми важи: \[ \frac{DE}{DA} = \frac{EF'}{AB'} \] Из \(AE : ED = 3 : 1\), следи да је \(DE = 1k\) и \(AE = 3k\), па је цела страница \(DA = 1k + 3k = 4k\). \[ \frac{1k}{4k} = \frac{EF'}{4} \] \[ \frac{1}{4} = \frac{EF'}{4} \implies EF' = 1 \text{ cm} \] Коначна дужина \(EF\) је збир \(EF'\) и \(F'F\): \[ EF = EF' + F'F = 1 + 3 = 4 \text{ cm} \]
