Најважније из лекције
Свака призма састоји се од две подударне основе (базе) и омотача. Зато се површина било које призме рачуна по универзалној формули: \( P = 2B + M \).
Кључ за успешно решавање задатака је да препознате геометријску фигуру у бази и примените њену формулу за површину (\( B \)), док се омотач (\( M \)) добија сабирањем површина свих бочних правоугаоника. За проналажење непознатих страница базе често се користи Питагорина теорема.
Кључ за успешно решавање задатака је да препознате геометријску фигуру у бази и примените њену формулу за површину (\( B \)), док се омотач (\( M \)) добија сабирањем површина свих бочних правоугаоника. За проналажење непознатих страница базе често се користи Питагорина теорема.
Основе (базе) су два подударна многоугла који ограничавају призму.
Омотач је унија свих бочних страна призме. Састоји се од правоугаоника којих има онолико колико страница има основа.
Мрежа призме настаје када се све стране призме (две базе и омотач) развију у једну раван. Приликом цртања мреже важно је да суседни правоугаоници омотача одговарају суседним страницама основа.
Површина призме јесте збир површина свих страна призме, односно површина њене мреже.
\[ P = 2B + M \]
\( P \) - површина призме
\( B \) - површина једне основе (базе)
\( M \) - површина омотача
\( B \) - површина једне основе (базе)
\( M \) - површина омотача
Израчунај површину базе (\( B \)) користећи формулу за тај многоугао (троугао, квадрат, правоугаоник, ромб, трапез...).
Израчунај површину омотача (\( M \)). Омотач чине правоугаоници чије су странице основне ивице базе и висина призме \( H \). Често је \( M = О \cdot H \), где је \( О \) обим базе.
Собери две базе и омотач применом формуле \( P = 2B + M \).
Из опште формуле \( P = 2B + M \) лако се изводе обрасци за правилне призме. У наставку су дате најчешће формуле:
| Врста призме | Основа (база) | Формула за површину (\( P \)) |
|---|---|---|
| Квадар | Правоугаоник | \[ P = 2ab + 2bc + 2ca \] |
| Коцка | Квадрат | \[ P = 6a^2 \] |
| Правилна четворострана | Квадрат | \[ P = 2a^2 + 4aH \] |
| Правилна тространа | Једнакостранични троугао | \[ P = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} + 3aH \] |
| Правилна шестострана | Правилни шестоугао | \[ P = 3a^2\sqrt{3} + 6aH \] |
Код правилних призми, \( a \) представља основну ивицу, а \( H \) висину призме.
Ако нису дате све ивице потребне за израчунавање површине, често је неопходно применити Питагорину теорему на многоугао који чини базу.
Пример: Права призма чија је база правоугли троугао са катетама \( a = 12\text{ cm} \) и \( b = 16\text{ cm} \), и висином \( H = 10\text{ cm} \).
Да бисмо израчунали површину омотача (\( M \)), потребна нам је хипотенуза основе (\( c \)): \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20\text{ cm} \] Сада можемо наћи површину омотача сабирањем површина три правоугаоника: \[ M = aH + bH + cH = 12 \cdot 10 + 16 \cdot 10 + 20 \cdot 10 = 120 + 160 + 200 = 480\text{ cm}^2 \]
Да бисмо израчунали површину омотача (\( M \)), потребна нам је хипотенуза основе (\( c \)): \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20\text{ cm} \] Сада можемо наћи површину омотача сабирањем површина три правоугаоника: \[ M = aH + bH + cH = 12 \cdot 10 + 16 \cdot 10 + 20 \cdot 10 = 120 + 160 + 200 = 480\text{ cm}^2 \]
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај површину коцке чија је ивица \( a = 5\text{ cm} \).
Мрежу коцке чини 6 подударних квадрата.
\[ P = 6a^2 \]
\[ P = 6 \cdot 5^2 \]
\[ P = 6 \cdot 25 = 150\text{ cm}^2 \]
Одговор: Површина коцке је \( 150\text{ cm}^2 \).
Средњи: Одреди површину правилне четворостране призме ако је њена основна ивица \( a = 4\text{ cm} \), а висина \( H = 10\text{ cm} \).
Основа правилне четворостране призме је квадрат.
Површина основе: \( B = a^2 = 4^2 = 16\text{ cm}^2 \).
Омотач чине 4 подударна правоугаоника: \( M = 4 \cdot a \cdot H = 4 \cdot 4 \cdot 10 = 160\text{ cm}^2 \).
Укупна површина: \[ P = 2B + M = 2 \cdot 16 + 160 = 32 + 160 = 192\text{ cm}^2 \] Одговор: Површина призме је \( 192\text{ cm}^2 \).
Површина основе: \( B = a^2 = 4^2 = 16\text{ cm}^2 \).
Омотач чине 4 подударна правоугаоника: \( M = 4 \cdot a \cdot H = 4 \cdot 4 \cdot 10 = 160\text{ cm}^2 \).
Укупна површина: \[ P = 2B + M = 2 \cdot 16 + 160 = 32 + 160 = 192\text{ cm}^2 \] Одговор: Површина призме је \( 192\text{ cm}^2 \).
Тежак: Основа четворостране призме је ромб чије су дијагонале \( d_1 = 12\text{ cm} \) и \( d_2 = 16\text{ cm} \). Висина призме је \( H = 8\text{ cm} \). Одреди површину призме.
Прво рачунамо површину базе (ромба):
\[ B = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{12 \cdot 16}{2} = \frac{192}{2} = 96\text{ cm}^2 \]
Да бисмо израчунали омотач, потребна нам је страница ромба (\( a \)). Користимо Питагорину теорему на дијагонале:
\[ a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\text{ cm} \]
Омотач чине четири правоугаоника страница \( a \) и \( H \):
\[ M = 4 \cdot a \cdot H = 4 \cdot 10 \cdot 8 = 320\text{ cm}^2 \]
Укупна површина:
\[ P = 2B + M = 2 \cdot 96 + 320 = 192 + 320 = 512\text{ cm}^2 \]
Одговор: Површина призме је \( 512\text{ cm}^2 \).
