Најважније из лекције
Увек запамти да се запремина било које призме рачуна по једноставној формули: \( V = B \cdot H \).
Цео задатак се своди на то да прво правилно израчунаш површину базе (\( B \)) користећи формулу за геометријски облик који се налази у основи (правоугаоник, квадрат, троугао, шестоугао), а затим добијени резултат помножиш висином призме (\( H \)).
Цео задатак се своди на то да прво правилно израчунаш површину базе (\( B \)) користећи формулу за геометријски облик који се налази у основи (правоугаоник, квадрат, троугао, шестоугао), а затим добијени резултат помножиш висином призме (\( H \)).
Запремина геометријског тела представља простор који то тело заузима. Рачунање запремине призме своди се на одређивање броја јединичних коцки (нпр. од \( 1 \text{ cm}^3 \)) којима можемо потпуно испунити ту призму.
1. Број коцки у једном (најнижем) слоју једнак је мерном броју површине основе (базе) призме.
2. Број таквих слојева који испуњавају призму до врха једнак је мерном броју висине призме.
2. Број таквих слојева који испуњавају призму до врха једнак је мерном броју висине призме.
Ако у први слој квадра стаје 24 коцкице од \( 1 \text{ cm}^3 \), а квадар има 3 таква слоја (висина је \( 3 \text{ cm} \)), његова укупна запремина је \( 24 \cdot 3 = 72 \text{ cm}^3 \).
Слово V којим се означава запремина потиче од латинске речи volumen.
Запремина било које призме једнака је производу површине њене основе (базе) и висине.
\[ V = B \cdot H \]
\( B \) – површина основе (базе) призме
\( H \) – висина призме
\( H \) – висина призме
Запремина се изражава у кубним мерним јединицама: \( \text{mm}^3, \text{cm}^3, \text{dm}^3, \text{m}^3 \).
База једне тростране призме је троугао чија је страница \( a = 5 \text{ cm} \), а одговарајућа висина троугла \( h = 3 \text{ cm} \). Висина целе призме је \( H = 7 \text{ cm} \).
Прво рачунамо базу: \( B = \frac{a \cdot h}{2} = \frac{5 \cdot 3}{2} = 7,5 \text{ cm}^2 \).
Затим рачунамо запремину: \( V = B \cdot H = 7,5 \cdot 7 = 52,5 \text{ cm}^3 \).
Прво рачунамо базу: \( B = \frac{a \cdot h}{2} = \frac{5 \cdot 3}{2} = 7,5 \text{ cm}^2 \).
Затим рачунамо запремину: \( V = B \cdot H = 7,5 \cdot 7 = 52,5 \text{ cm}^3 \).
У зависности од облика основе, општа формула \( V = B \cdot H \) се прилагођава:
| Врста призме | Површина основе (\( B \)) | Запремина (\( V \)) |
|---|---|---|
| Квадар (ивице \( a, b \)) | \( B = a \cdot b \) | \( V = a \cdot b \cdot c \) (где је \( c = H \)) |
| Коцка (све ивице једнаке \( a \)) | \( B = a^2 \) | \( V = a^3 \) |
| Правилна тространа (база: једнакостраничан троугао) | \( B = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \) | \( V = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot H \) |
| Правилна четворострана (база: квадрат) | \( B = a^2 \) | \( V = a^2 \cdot H \) |
| Правилна шестострана (база: правилан шестоугао) | \( B = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \) | \( V = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot H \) |
Маса тела (\( m \)) директно зависи од његове запремине (\( V \)) и густине материјала (\( \rho \)) од ког је направљено:
\[ m = V \cdot \rho \]
Приликом решавања практичних задатака из стварног живота, често је потребно користити приближне вредности ирационалних бројева (нпр. \( \sqrt{3} \approx 1,73 \)).
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај запремину квадра чије су ивице \( a = 8 \text{ cm} \), \( b = 3 \text{ cm} \) и \( c = 5 \text{ cm} \).
Користимо формулу за запремину квадра:
\( V = a \cdot b \cdot c \)
\( V = 8 \cdot 3 \cdot 5 = 120 \text{ cm}^3 \).
Одговор: Запремина квадра је \( 120 \text{ cm}^3 \).
\( V = a \cdot b \cdot c \)
\( V = 8 \cdot 3 \cdot 5 = 120 \text{ cm}^3 \).
Одговор: Запремина квадра је \( 120 \text{ cm}^3 \).
Средњи: Израчунај запремину правилне четворостране призме ако је њена основна ивица \( a = 6 \text{ cm} \), а висина призме \( H = 10 \text{ cm} \).
Основа правилне четворостране призме је квадрат.
1. Површина основе: \( B = a^2 = 6^2 = 36 \text{ cm}^2 \).
2. Запремина: \( V = B \cdot H = 36 \cdot 10 = 360 \text{ cm}^3 \).
Одговор: Запремина призме је \( 360 \text{ cm}^3 \).
1. Површина основе: \( B = a^2 = 6^2 = 36 \text{ cm}^2 \).
2. Запремина: \( V = B \cdot H = 36 \cdot 10 = 360 \text{ cm}^3 \).
Одговор: Запремина призме је \( 360 \text{ cm}^3 \).
Тежак: Запремина правилне тростране призме износи \( 45\sqrt{3} \text{ cm}^3 \), а њена висина је \( H = 5 \text{ cm} \). Израчунај дужину основне ивице \( a \) ове призме.
Полазимо од опште формуле: \( V = B \cdot H \)
Убацујемо познате вредности:
\( 45\sqrt{3} = B \cdot 5 \)
\( B = \frac{45\sqrt{3}}{5} = 9\sqrt{3} \text{ cm}^2 \).
Како је база правилан троугао, важи: \( B = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \). Изједначавамо:
\( \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \)
Делимо обе стране са \( \sqrt{3} \):
\( \frac{a^2}{4} = 9 \)
\( a^2 = 36 \Rightarrow a = 6 \text{ cm} \).
Одговор: Основна ивица призме је \( 6 \text{ cm} \).
Убацујемо познате вредности:
\( 45\sqrt{3} = B \cdot 5 \)
\( B = \frac{45\sqrt{3}}{5} = 9\sqrt{3} \text{ cm}^2 \).
Како је база правилан троугао, важи: \( B = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \). Изједначавамо:
\( \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \)
Делимо обе стране са \( \sqrt{3} \):
\( \frac{a^2}{4} = 9 \)
\( a^2 = 36 \Rightarrow a = 6 \text{ cm} \).
Одговор: Основна ивица призме је \( 6 \text{ cm} \).
