Најважније из лекције
Запремина пирамиде се увек рачуна као трећина производа површине основе (\( B \)) и висине пирамиде (\( H \)):
\( V = \frac{1}{3} B H \).
Да бисте успешно решили задатак:
1. Препознајте облик основе и примените одговарајућу формулу за површину тог многоугла (нпр. \( a^2 \) за квадрат, \( a \cdot b \) за правоугаоник).
2. Уколико висина \( H \) није дата, уочите правоугли троугао унутар пирамиде и примените Питагорину теорему да је израчунате пре убацивања у главну формулу.
\( V = \frac{1}{3} B H \).
Да бисте успешно решили задатак:
1. Препознајте облик основе и примените одговарајућу формулу за површину тог многоугла (нпр. \( a^2 \) за квадрат, \( a \cdot b \) за правоугаоник).
2. Уколико висина \( H \) није дата, уочите правоугли троугао унутар пирамиде и примените Питагорину теорему да је израчунате пре убацивања у главну формулу.
Запремина пирамиде једнака је тачно једној трећини запремине призме која има исту основу и исту висину.
\[ V = \frac{1}{3} B H \]
B – површина основе пирамиде, H – висина пирамиде
Израчунај запремину пирамиде чија је површина основе \( B = 45 \text{ cm}^2 \), а висина \( H = 10 \text{ cm} \).
Користимо општу формулу:
\( V = \frac{1}{3} B H \)
\( V = \frac{1}{3} \cdot 45 \cdot 10 = 15 \cdot 10 = 150 \text{ cm}^3 \).
\( V = \frac{1}{3} B H \)
\( V = \frac{1}{3} \cdot 45 \cdot 10 = 15 \cdot 10 = 150 \text{ cm}^3 \).
Код правилних пирамида, основа је правилан многоугао (једнакостранични троугао, квадрат, правилни шестоугао). Површина основе (\( B \)) се тада рачуна по специфичним формулама за те многоуглове.
- Правилна тространа пирамида (основа је једнакостранични троугао):
\[ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot H \] - Правилна четворострана пирамида (основа је квадрат):
\[ V = \frac{1}{3} a^2 H \] - Правилна шестострана пирамида (основа је правилни шестоугао):
\[ V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot H \]
Израчунај запремину правилне четворостране пирамиде ако је основна ивица \( a = 6 \text{ cm} \), а висина \( H = 8 \text{ cm} \).
Основа је квадрат, па је површина основе \( B = a^2 = 6^2 = 36 \text{ cm}^2 \).
\( V = \frac{1}{3} B H = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 8 = 12 \cdot 8 = 96 \text{ cm}^3 \).
\( V = \frac{1}{3} B H = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 8 = 12 \cdot 8 = 96 \text{ cm}^3 \).
У задацима висина пирамиде (\( H \)) често није директно дата, већ се мора израчунати применом Питагорине теореме на карактеристичне правоугле троуглове унутар пирамиде.
Пример: Израчунати запремину пирамиде са правоугаоном основом чије су странице \( a = 8 \text{ cm} \) и \( b = 6 \text{ cm} \), ако је бочна ивица \( s = 13 \text{ cm} \).
1. Корак: Рачунамо површину основе.
\( B = a \cdot b = 8 \cdot 6 = 48 \text{ cm}^2 \).
2. Корак: Рачунамо дијагоналу основе.
\( d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} \). Половина дијагонале је \( 5 \text{ cm} \).
3. Корак: Примењујемо Питагорину теорему да нађемо висину \( H \).
\( H = \sqrt{s^2 - \left(\frac{d}{2}\right)^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ cm} \).
4. Корак: Рачунамо запремину.
\( V = \frac{1}{3} B H = \frac{1}{3} \cdot 48 \cdot 12 = 16 \cdot 12 = 192 \text{ cm}^3 \).
1. Корак: Рачунамо површину основе.
\( B = a \cdot b = 8 \cdot 6 = 48 \text{ cm}^2 \).
2. Корак: Рачунамо дијагоналу основе.
\( d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} \). Половина дијагонале је \( 5 \text{ cm} \).
3. Корак: Примењујемо Питагорину теорему да нађемо висину \( H \).
\( H = \sqrt{s^2 - \left(\frac{d}{2}\right)^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ cm} \).
4. Корак: Рачунамо запремину.
\( V = \frac{1}{3} B H = \frac{1}{3} \cdot 48 \cdot 12 = 16 \cdot 12 = 192 \text{ cm}^3 \).
Задаци за вежбање
Лак: Запремина неке пирамиде је \( 100 \text{ cm}^3 \), а њена висина је \( 15 \text{ cm} \). Колика је површина основе ове пирамиде?
Полазимо од формуле: \( V = \frac{1}{3} B H \)
Замењујемо познате вредности: \( 100 = \frac{1}{3} \cdot B \cdot 15 \)
\( 100 = B \cdot 5 \)
\( B = 100 : 5 = 20 \text{ cm}^2 \).
Одговор: Површина основе је \( 20 \text{ cm}^2 \).
Замењујемо познате вредности: \( 100 = \frac{1}{3} \cdot B \cdot 15 \)
\( 100 = B \cdot 5 \)
\( B = 100 : 5 = 20 \text{ cm}^2 \).
Одговор: Површина основе је \( 20 \text{ cm}^2 \).
Средњи: Израчунај запремину правилне тростране пирамиде код које су све ивице (и основне и бочне) једнаке \( a = 6 \text{ cm} \).
Код пирамиде где су све ивице једнаке, висина се рачуна по формули \( H = \sqrt{\frac{2}{3}} a \), а њена запремина се може изразити као \( V = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12} \).
Замењујемо \( a = 6 \):
\( V = \frac{6^3 \sqrt{2}}{12} = \frac{216 \sqrt{2}}{12} = 18\sqrt{2} \text{ cm}^3 \).
Одговор: Запремина је \( 18\sqrt{2} \text{ cm}^3 \).
Замењујемо \( a = 6 \):
\( V = \frac{6^3 \sqrt{2}}{12} = \frac{216 \sqrt{2}}{12} = 18\sqrt{2} \text{ cm}^3 \).
Одговор: Запремина је \( 18\sqrt{2} \text{ cm}^3 \).
Тежак: Израчунај запремину правилне шестостране пирамиде ако је њена основна ивица \( a = 6 \text{ cm} \), а бочна ивица \( s = 10 \text{ cm} \).
Прво рачунамо површину основе (правилног шестоугла):
\( B = 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 6 \cdot 9\sqrt{3} = 54\sqrt{3} \text{ cm}^2 \).
Код правилног шестоугла, полупречник описане кружнице је једнак основној ивици (\( R = a = 6 \text{ cm} \)). Посматрамо правоугли троугао који чине висина \( H \), полупречник \( R \) и бочна ивица \( s \):
\( H = \sqrt{s^2 - R^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ cm} \).
Сада рачунамо запремину:
\( V = \frac{1}{3} B H = \frac{1}{3} \cdot 54\sqrt{3} \cdot 8 = 18\sqrt{3} \cdot 8 = 144\sqrt{3} \text{ cm}^3 \).
Одговор: Запремина је \( 144\sqrt{3} \text{ cm}^3 \).
\( B = 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 6 \cdot 9\sqrt{3} = 54\sqrt{3} \text{ cm}^2 \).
Код правилног шестоугла, полупречник описане кружнице је једнак основној ивици (\( R = a = 6 \text{ cm} \)). Посматрамо правоугли троугао који чине висина \( H \), полупречник \( R \) и бочна ивица \( s \):
\( H = \sqrt{s^2 - R^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ cm} \).
Сада рачунамо запремину:
\( V = \frac{1}{3} B H = \frac{1}{3} \cdot 54\sqrt{3} \cdot 8 = 18\sqrt{3} \cdot 8 = 144\sqrt{3} \text{ cm}^3 \).
Одговор: Запремина је \( 144\sqrt{3} \text{ cm}^3 \).
