Најважније из лекције
- Облик графика: График линеарне функције \( y = kx + n \) је права линија.
- Коефицијент правца (\(k\)): Одређује нагиб праве. Ако је \( k > 0 \), угао са x-осом је оштар; ако је \( k < 0 \), угао је туп. Праве са истим \( k \) су паралелне.
- Слободни члан (\(n\)): Показује где график сече y-осу. Пресек је у тачки \( (0, n) \).
- Цртање: Најбрже се црта проналажењем тачака пресека са x-осом (\( y=0 \)) и y-осом (\( x=0 \)).
- Пресек правих: Добија се решавањем једначине \( k_1x + n_1 = k_2x + n_2 \).
График линеарне функције \( y = kx + n \), \( x \in R \), је права линија. То је скуп свих тачака \( (x, y) \) чије координате задовољавају једнакост \( y = kx + n \).
График функције \( y = kx + n \) се може добити транслацијом (померањем) графика директне пропорционалности \( y = kx \) дуж y-осе за вредност \( n \).
Ако посматрамо функцију \( y = 2x + 3 \), њен график је права која је паралелна са графиком функције \( y = 2x \), али је транслирана за 3 мерне јединице нагоре дуж y-осе.
Коефицијент правца (\(k\)) одређује правац праве, односно угао који график заклапа са позитивним делом x-осе.
- Ако је \( k > 0 \), график заклапа оштар угао са позитивним делом x-осе.
- Ако је \( k < 0 \), график заклапа туп угао.
- Ако је \( k = 0 \), график је паралелан x-оси (у питању је константна функција \( y = n \)).
Графици линеарних функција које имају једнаке коефицијенте правца (\( k_1 = k_2 \)) су међусобно паралелне праве.
Слободни члан (\(n\)) одређује пресек графика са y-осом. График увек садржи тачку \( (0, n) \).
С обзиром на то да је график линеарне функције права линија, за његово цртање довољно је одредити координате две различите тачке које му припадају. Најпрактичнији начин је одређивање пресека са координатним осама (ако права не пролази кроз координатни почетак).
Пресек са y-осом: Добија се када се за апсцису узме \( x = 0 \). Тада је \( y = n \), па је тачка пресека \( (0, n) \).
Пресек са x-осом: Добија се када се за ординату узме \( y = 0 \). Решавањем једначине \( 0 = kx + n \) добија се апсциса пресечне тачке \( x = -\frac{n}{k} \), па је тачка пресека \( (-\frac{n}{k}, 0) \).
Да бисмо нацртали график функције \( y = x + 2 \):
1. За \( x = 0 \), добијамо \( y = 0 + 2 = 2 \). Тачка на y-оси је \( (0, 2) \).
2. За \( y = 0 \), решавамо \( 0 = x + 2 \), одакле је \( x = -2 \). Тачка на x-оси је \( (-2, 0) \).
Спајањем ове две тачке у координатном систему добијамо тражени график.
1. За \( x = 0 \), добијамо \( y = 0 + 2 = 2 \). Тачка на y-оси је \( (0, 2) \).
2. За \( y = 0 \), решавамо \( 0 = x + 2 \), одакле је \( x = -2 \). Тачка на x-оси је \( (-2, 0) \).
Спајањем ове две тачке у координатном систему добијамо тражени график.
Свака права у правоуглом координатном систему одређена је једначином у имплицитном облику:
\[ ax + by + c = 0 \]
где су \(a, b, c \in R\), при чему \(a\) и \(b\) не могу истовремено бити једнаки нули (\(a^2 + b^2 \neq 0\)).
Праве код којих је \( b = 0 \) (на пример \( x = 4 \)) паралелне су са y-осом и оне нису графици линеарних функција, јер једној вредности \( x \) придружују бесконачно много вредности \( y \).
Две различите праве које нису паралелне имају тачно једну заједничку тачку (тачку пресека). Координате те тачке се могу одредити рачунски изједначавањем вредности функција.
Одређивање пресека правих \( y = 2x - 1 \) и \( y = -x + 5 \):
Изједначавањем десних страна добијамо једначину по \( x \):
\[ 2x - 1 = -x + 5 \] \[ 3x = 6 \Rightarrow x = 2 \] Заменом добијеног \( x \) у било коју од почетних једначина добијамо \( y \):
\[ y = 2 \cdot 2 - 1 = 3 \] Тачка пресека ове две праве је \( P(2, 3) \).
Изједначавањем десних страна добијамо једначину по \( x \):
\[ 2x - 1 = -x + 5 \] \[ 3x = 6 \Rightarrow x = 2 \] Заменом добијеног \( x \) у било коју од почетних једначина добијамо \( y \):
\[ y = 2 \cdot 2 - 1 = 3 \] Тачка пресека ове две праве је \( P(2, 3) \).
Задаци за вежбање
Лак задатак: Дате су функције \( y = 3x - 4 \), \( y = -3x + 2 \) и \( y = 3x + 7 \). Које од ових функција имају међусобно паралелне графике?
Графици су паралелни ако функције имају исти коефицијент правца (\(k\)).
Код функције \( y = 3x - 4 \), \( k = 3 \).
Код функције \( y = -3x + 2 \), \( k = -3 \).
Код функције \( y = 3x + 7 \), \( k = 3 \).
Одговор: Функције \( y = 3x - 4 \) и \( y = 3x + 7 \) имају паралелне графике.
Код функције \( y = 3x - 4 \), \( k = 3 \).
Код функције \( y = -3x + 2 \), \( k = -3 \).
Код функције \( y = 3x + 7 \), \( k = 3 \).
Одговор: Функције \( y = 3x - 4 \) и \( y = 3x + 7 \) имају паралелне графике.
Средњи задатак: За линеарну функцију \( y = -4x + 8 \), одреди какав угао њен график заклапа са позитивним делом x-осе и одреди координате пресека њеног графика са координатним осама.
Коефицијент правца је \( k = -4 \). Како је \( k < 0 \), график заклапа туп угао са позитивним делом x-осе.
Пресек са y-осом: \( x = 0 \Rightarrow y = -4 \cdot 0 + 8 = 8 \). Тачка је \((0, 8)\).
Пресек са x-осом: \( y = 0 \Rightarrow 0 = -4x + 8 \Rightarrow 4x = 8 \Rightarrow x = 2 \). Тачка је \((2, 0)\).
Пресек са y-осом: \( x = 0 \Rightarrow y = -4 \cdot 0 + 8 = 8 \). Тачка је \((0, 8)\).
Пресек са x-осом: \( y = 0 \Rightarrow 0 = -4x + 8 \Rightarrow 4x = 8 \Rightarrow x = 2 \). Тачка је \((2, 0)\).
Тежак задатак: Рачунским путем одреди координате тачке пресека графика функција \( y = \frac{1}{2}x + 3 \) и \( y = -x + 6 \).
Да бисмо нашли пресек, изједначавамо изразе за \( y \):
\[ \frac{1}{2}x + 3 = -x + 6 \]
Множимо целу једначину са 2 да бисмо се ослободили разломка:
\[ x + 6 = -2x + 12 \]
\[ x + 2x = 12 - 6 \]
\[ 3x = 6 \Rightarrow x = 2 \]
Сада мењамо вредност \( x \) у једну од почетних једначина да нађемо \( y \):
\[ y = -2 + 6 = 4 \]
Одговор: Координате тачке пресека су \( P(2, 4) \).
