Најважније из лекције
- Углови: Троуглови су слични (\( \sim \)) ако су им сва три угла међусобно једнака (довољно је да два буду једнака, трећи се подразумева).
- Странице: Код сличних троуглова, странице наспрам једнаких углова су пропорционалне: \( \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{C_1A_1}{CA} = k \), где је \( k \) коефицијент сличности.
- Ставови сличности: Сличност се може доказати ако се зна да су две странице пропорционалне и њима захваћен угао једнак, или ако су све три странице међусобно пропорционалне.
Два троугла су слична ако су углови једног троугла једнаки угловима другог. Притом, један троугао изгледа као умањена или увећана верзија другог.
Сличност се означава знаком \( \sim \). Када записујемо \( \Delta ABC \sim \Delta A_1B_1C_1 \), водимо рачуна о редоследу темена: темена у којима су једнаки углови налазе се на истом месту у запису.
Како је збир углова у троуглу увек \( 180^\circ \), важи правило:
Ако су два угла једног троугла једнака двама угловима другог, онда су та два троугла слична.
Ако су два угла једног троугла једнака двама угловима другог, онда су та два троугла слична.
Ако први троугао има углове \( 47^\circ \) и \( 95^\circ \), његов трећи угао је \( 180^\circ - 95^\circ - 47^\circ = 38^\circ \).
Ако други троугао има углове \( 38^\circ \) и \( 47^\circ \), његов трећи угао је \( 180^\circ - 47^\circ - 38^\circ = 95^\circ \).
Пошто су сва три угла иста (\( 38^\circ, 47^\circ, 95^\circ \)), ови троуглови су слични.
Ако други троугао има углове \( 38^\circ \) и \( 47^\circ \), његов трећи угао је \( 180^\circ - 47^\circ - 38^\circ = 95^\circ \).
Пошто су сва три угла иста (\( 38^\circ, 47^\circ, 95^\circ \)), ови троуглови су слични.
Да ли су слична два троугла ако први има углове од \( 50^\circ \) и \( 60^\circ \), а други углове од \( 60^\circ \) и \( 70^\circ \)?
Трећи угао првог троугла је \( 180^\circ - (50^\circ + 60^\circ) = 70^\circ \).
Трећи угао другог троугла је \( 180^\circ - (60^\circ + 70^\circ) = 50^\circ \).
Одговор: Да, слични су јер оба троугла имају углове од \( 50^\circ, 60^\circ \) и \( 70^\circ \).
Трећи угао другог троугла је \( 180^\circ - (60^\circ + 70^\circ) = 50^\circ \).
Одговор: Да, слични су јер оба троугла имају углове од \( 50^\circ, 60^\circ \) и \( 70^\circ \).
Ако су два троугла слична, њихове одговарајуће странице су пропорционалне. Страница једног троугла одговара страници другог ако се налазе наспрам једнаких углова.
Ако је \( \Delta ABC \sim \Delta A_1B_1C_1 \), онда важи:
\[ \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{C_1A_1}{CA} = k \]
Број \( k \) назива се коефицијент сличности.
Нека је дато да су троуглови слични са коефицијентом сличности \( k = 1,5 \). Ако је страница мањег троугла \( AB = 2 \text{ cm} \), одговарајућа страница већег троугла се добија множењем са коефицијентом:
\[ A_1B_1 = AB \cdot 1,5 = 2 \cdot 1,5 = 3 \text{ cm} \]
Троуглови \( \Delta ABC \) и \( \Delta PQR \) су слични (\( \Delta ABC \sim \Delta PQR \)). Странице првог троугла су \( AB = 4 \text{ cm} \), \( BC = 6 \text{ cm} \) и \( CA = 5 \text{ cm} \). Ако је страница \( PQ = 12 \text{ cm} \), израчунај остале две странице троугла \( \Delta PQR \).
Прво налазимо коефицијент сличности из познатог пара одговарајућих страница:
\[ k = \frac{PQ}{AB} = \frac{12}{4} = 3 \]
Сада множимо остале странице троугла \( \Delta ABC \) са \( 3 \):
\[ QR = BC \cdot 3 = 6 \cdot 3 = 18 \text{ cm} \]
\[ RP = CA \cdot 3 = 5 \cdot 3 = 15 \text{ cm} \]
Одговор: Странице су \( QR = 18 \text{ cm} \) и \( RP = 15 \text{ cm} \).
Сличност троуглова се може доказати без познавања свих углова и страница, коришћењем такозваних ставова сличности (који подсећају на ставове подударности).
Први став (одговара ставу СУС): Два троугла су слична ако су две странице једног троугла пропорционалне двема страницама другог троугла и углови захваћени тим страницама су једнаки.
\[ \left. \begin{array}{l} AB : AC = A_1B_1 : A_1C_1 \\ \measuredangle CAB = \measuredangle C_1A_1B_1 \end{array} \right\} \rightarrow \Delta ABC \sim \Delta A_1B_1C_1 \]
Други став (одговара ставу ССС): Два троугла су слична ако су све три странице једног троугла пропорционалне одговарајућим страницама другог троугла.
\[ \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{C_1A_1}{CA} \rightarrow \Delta ABC \sim \Delta A_1B_1C_1 \]
Да ли су слични троугао са страницама \( 3 \text{ cm}, 4 \text{ cm}, 5 \text{ cm} \) и троугао са страницама \( 9 \text{ cm}, 12 \text{ cm}, 15 \text{ cm} \)?
Проверавамо да ли су све три странице пропорционалне (Други став сличности):
\[ \frac{9}{3} = 3, \quad \frac{12}{4} = 3, \quad \frac{15}{5} = 3 \]
Све размере су једнаке (коефицијент је 3).
Одговор: Да, троуглови су слични.
Одговор: Да, троуглови су слични.
Задаци за вежбање
Лак: Да ли су свака два једнакостранична троугла слична?
Сваки једнакостранични троугао има сва три угла једнака \( 60^\circ \). Пошто су им сви одговарајући углови једнаки, они су слични.
Одговор: Да, свака два једнакостранична троугла су слична.
Одговор: Да, свака два једнакостранична троугла су слична.
Средњи: Троугао \( \Delta ABC \) има странице \( a = 6 \text{ cm} \), \( b = 8 \text{ cm} \) и \( c = 10 \text{ cm} \). Њему сличан троугао \( \Delta A_1B_1C_1 \) има најдужу страницу једнаку \( 25 \text{ cm} \). Израчунај остале две странице тог сличног троугла.
Најдужа страница првог троугла је \( c = 10 \text{ cm} \). Најдужа страница другог је \( c_1 = 25 \text{ cm} \).
Коефицијент сличности је \( k = \frac{c_1}{c} = \frac{25}{10} = 2,5 \).
Остале странице рачунамо множењем са коефицијентом:
\( a_1 = a \cdot k = 6 \cdot 2,5 = 15 \text{ cm} \)
\( b_1 = b \cdot k = 8 \cdot 2,5 = 20 \text{ cm} \)
Одговор: Остале странице су \( 15 \text{ cm} \) и \( 20 \text{ cm} \).
Коефицијент сличности је \( k = \frac{c_1}{c} = \frac{25}{10} = 2,5 \).
Остале странице рачунамо множењем са коефицијентом:
\( a_1 = a \cdot k = 6 \cdot 2,5 = 15 \text{ cm} \)
\( b_1 = b \cdot k = 8 \cdot 2,5 = 20 \text{ cm} \)
Одговор: Остале странице су \( 15 \text{ cm} \) и \( 20 \text{ cm} \).
Тежак: Дата су два једнакокрака троугла. Угао при врху првог троугла износи \( 40^\circ \). Један угао на основици другог троугла износи \( 70^\circ \). Да ли су ови троуглови слични? Образложи одговор.
Код првог троугла угао при врху је \( 40^\circ \). Углови на основици су једнаки, па сваки износи:
\( (180^\circ - 40^\circ) : 2 = 140^\circ : 2 = 70^\circ \).
Дакле, углови првог троугла су \( 70^\circ, 70^\circ, 40^\circ \).
Код другог троугла угао на основици је \( 70^\circ \), што значи да је и други угао на основици \( 70^\circ \). Угао при врху је \( 180^\circ - (70^\circ + 70^\circ) = 40^\circ \). Углови другог троугла су такође \( 70^\circ, 70^\circ, 40^\circ \).
Одговор: Пошто су им сви углови једнаки, троуглови јесу слични.
Код другог троугла угао на основици је \( 70^\circ \), што значи да је и други угао на основици \( 70^\circ \). Угао при врху је \( 180^\circ - (70^\circ + 70^\circ) = 40^\circ \). Углови другог троугла су такође \( 70^\circ, 70^\circ, 40^\circ \).
Одговор: Пошто су им сви углови једнаки, троуглови јесу слични.
