Најважније из лекције
Облици: Експлицитни \( y = kx + n \) и имплицитни \( ax + by + c = 0 \) (\( b \neq 0 \)).
Коефицијент правца (\( k \)): Одређује нагиб и монотоност:
Паралелност: Две праве су паралелне ако и само ако имају једнаке коефицијенте правца (\( k_1 = k_2 \)).
Нула функције: Вредност \( x = -\frac{n}{k} \) за коју је \( y = 0 \); тачка пресека са \( x \)-осом је \( \left(-\frac{n}{k}, 0\right) \).
Коефицијент правца (\( k \)): Одређује нагиб и монотоност:
- \( k > 0 \implies \) функција расте, оштар угао са \( x \)-осом.
- \( k < 0 \implies \) функција опада, туп угао са \( x \)-осом.
- \( k = 0 \implies \) константна функција \( y = n \), паралелна са \( x \)-осом.
Паралелност: Две праве су паралелне ако и само ако имају једнаке коефицијенте правца (\( k_1 = k_2 \)).
Нула функције: Вредност \( x = -\frac{n}{k} \) за коју је \( y = 0 \); тачка пресека са \( x \)-осом је \( \left(-\frac{n}{k}, 0\right) \).
Линеарна функција је пресликавање које сваком реалном броју \( x \) придружује реалан број \( y \) по правилу:
\[ y = kx + n \quad \text{или} \quad f(x) = kx + n \]
где су \( k \) и \( n \) фиксирани реални бројеви.
Независно променљива (аргумент): вредност \( x \) коју бирамо произвољно из скупа реалних бројева.
Зависно променљива: вредност \( y \) (или \( f(x) \)) која директно зависи од изабране вредности \( x \).
Облици записивања линеарне функције:
- Експлицитни облик: \( y = kx + n \)
- \( k \) – коефицијент правца (одређује нагиб и правац графика)
- \( n \) – слободан члан (одређује тачку пресека са \( y \)-осом)
- Имплицитни облик: \( ax + by + c = 0 \) (где је \( b \neq 0 \))
- Ако је \( n = 0 \), функција \( y = kx \) представља директну пропорционалност.
- Ако је \( k = 0 \), функција постаје \( y = n \) и назива се константна функција.
Превођење имплицитног облика \( 5x + 3y - 6 = 0 \) у експлицитни облик:
\[ 3y = -5x + 6 \implies y = -\frac{5}{3}x + 2 \]
Одавде је коефицијент правца \( k = -\frac{5}{3} \), а слободан члан \( n = 2 \).
Одреди коефицијент правца \( k \) и слободан члан \( n \) функције задате у имплицитном облику: \( 2x - 4y + 8 = 0 \).
Извазимо \( y \) помоћу правила еквивалентности:
\[ -4y = -2x - 8 \quad / :(-4) \]
\[ y = \frac{2}{4}x + \frac{8}{4} \implies y = \frac{1}{2}x + 2 \]
Коефицијент правца је \( k = \frac{1}{2} \), а слободан члан је \( n = 2 \).
График линеарне функције \( y = kx + n \) је права у равни правоуглог координатног система \( xOy \). Свака тачка \( M(x_M, y_M) \) припада тој правој ако и само ако њене координате задовољавају једнакост \( y_M = kx_M + n \).
Пошто је права одређена помоћу две тачке, најједноставније је наћи пресеке са координатним осама:
- Пресек са \( y \)-осом: Уврстимо \( x = 0 \implies y = k \cdot 0 + n = n \). Добија се тачка \( (0, n) \).
- Пресек са \( x \)-осом: Уврстимо \( y = 0 \implies 0 = kx + n \implies x = -\frac{n}{k} \) (за \( k \neq 0 \)). Добија се тачка \( \left(-\frac{n}{k}, 0\right) \).
Паралелност и пресек правих:
- Графици двеју линеарних функција \( y = k_1 x + n_1 \) и \( y = k_2 x + n_2 \) су паралелне праве ако и само ако имају једнаке коефицијенте правца: \[ k_1 = k_2 \quad (\text{уз } n_1 \neq n_2) \]
- Ако је \( k_1 \neq k_2 \), праве се секу у једној тачки. Координате те тачке одређују се решавањем једначине \( k_1 x + n_1 = k_2 x + n_2 \).
- Права \( y = n \) је паралелна са \( x \)-осом (константна функција, \( k = 0 \)).
- Права \( x = c \) је паралелна са \( y \)-осом. Ова права није график функције, јер једном броју \( x \) одговара бесконачно много вредности \( y \).
Одреди пресечну тачку правих \( y = 2x - 1 \) и \( y = -x + 5 \).
Изједначимо изразе за \( y \):
\[ 2x - 1 = -x + 5 \]
\[ 3x = 6 \implies x = 2 \]
Вредност \( y \) добијамо заменом \( x = 2 \) у било коју од две једначине:
\[ y = 2 \cdot 2 - 1 = 3 \]
Пресечна тачка је \( P(2, 3) \).
Коефицијент правца одређен кроз две тачке \( T_1(x_1, y_1) \) и \( T_2(x_2, y_2) \):
\[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
Својство рашћења или опадања (монотоност) линеарне функције зависи искључиво од знака коефицијента правца \( k \):
- Растућа функција (\( k > 0 \)): Са порастом вредности независно променљиве \( x \), вредност зависно променљиве \( y \) расте (\( x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2) \)). График заклапа оштар угао са позитивним смером \( x \)-осе.
- Опадајућа функција (\( k < 0 \)): Са порастом вредности независно променљиве \( x \), вредност зависно променљиве \( y \) опада (\( x_1 < x_2 \implies f(x_1) > f(x_2) \)). График заклапа туп угао са позитивним смером \( x \)-осе.
- Константна функција (\( k = 0 \)): Није ни растућа ни опадајућа; график је паралелан са \( x \)-осом.
За које вредности реалног параметра \( p \) је линеарна функција \( y = (4 - 2p)x + 7 \) растућа?
Да би функција била растућа, коефицијент уз независно променљиву мора бити строго већи од нуле (\( k > 0 \)):
\[ 4 - 2p > 0 \]
\[ -2p > -4 \quad / :(-2) \]
\[ p < 2 \]
Дакле, за све вредности \( p < 2 \) функција је растућа.
Нула функције је вредност независно променљиве \( x \) за коју је вредност функције једнака нули (\( y = 0 \)).
Нула линеарне функције \( y = kx + n \) (за \( k \neq 0 \)):
\[ kx + n = 0 \implies x_0 = -\frac{n}{k} \]
Геометријски, тачка \( \left(-\frac{n}{k}, 0\right) \) представља пресек графика са \( x \)-осом.
Знак линеарне функције:
Одредити знак значи утврдити за које вредности \( x \) је вредност функције позитивна (\( y > 0 \)), а за које негативна (\( y < 0 \)):
- Ако је функција растућа (\( k > 0 \)):
- \( y > 0 \) за \( x > -\frac{n}{k} \) (график је изнад \( x \)-осе)
- \( y < 0 \) за \( x < -\frac{n}{k} \) (график је испод \( x \)-осе)
- Ако је функција опадајућа (\( k < 0 \)):
- \( y > 0 \) за \( x < -\frac{n}{k} \) (график је изнад \( x \)-осе)
- \( y < 0 \) за \( x > -\frac{n}{k} \) (график је испод \( x \)-осе)
Одреди нулу и испитај знак функције \( y = 2x - 6 \).
1. Нула функције:
\[ 2x - 6 = 0 \implies 2x = 6 \implies x = 3 \]
Нула функције је \( x = 3 \).
2. Знак: Пошто је коефицијент правца \( k = 2 > 0 \), функција је растућа. Према томе: \[ y > 0 \quad \text{за} \quad x > 3 \] \[ y < 0 \quad \text{за} \quad x < 3 \]
2. Знак: Пошто је коефицијент правца \( k = 2 > 0 \), функција је растућа. Према томе: \[ y > 0 \quad \text{за} \quad x > 3 \] \[ y < 0 \quad \text{за} \quad x < 3 \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Дата је функција \( y = -3x + 9 \).
а) Одреди коефицијент правца \( k \) и слободан члан \( n \).
б) Израчунај вредност функције за \( x = -2 \).
в) Одреди нулу функције.
а) Одреди коефицијент правца \( k \) и слободан члан \( n \).
б) Израчунај вредност функције за \( x = -2 \).
в) Одреди нулу функције.
а) Коефицијент уз \( x \) је \( k = -3 \), а слободан члан је \( n = 9 \).
б) За \( x = -2 \): \( y = -3 \cdot (-2) + 9 = 6 + 9 = 15 \).
в) Изједначимо са нулом: \( -3x + 9 = 0 \implies 3x = 9 \implies x = 3 \).
б) За \( x = -2 \): \( y = -3 \cdot (-2) + 9 = 6 + 9 = 15 \).
в) Изједначимо са нулом: \( -3x + 9 = 0 \implies 3x = 9 \implies x = 3 \).
Задатак 2 (средњи): Испитај да ли тачка \( M(3, -2) \) припада графику функције \( 2x + 3y = 0 \). Затим одреди вредност параметра \( m \) тако да функција \( y = (m + 1)x - 4 \) буде паралелна датој правој.
1. Провера припадности тачке \( M(3, -2) \):
\[ 2 \cdot 3 + 3 \cdot (-2) = 6 - 6 = 0 \]
Једнакост је тачна, па тачка \( M \) припада графику дате функције.
2. Одређивање експлицитног облика праве \( 2x + 3y = 0 \): \[ 3y = -2x \implies y = -\frac{2}{3}x \] Коефицијент правца ове праве је \( k_1 = -\frac{2}{3} \).
Да би функције биле паралелне, мора важити \( k_1 = k_2 \): \[ m + 1 = -\frac{2}{3} \implies m = -\frac{2}{3} - 1 = -\frac{5}{3} \]
2. Одређивање експлицитног облика праве \( 2x + 3y = 0 \): \[ 3y = -2x \implies y = -\frac{2}{3}x \] Коефицијент правца ове праве је \( k_1 = -\frac{2}{3} \).
Да би функције биле паралелне, мора важити \( k_1 = k_2 \): \[ m + 1 = -\frac{2}{3} \implies m = -\frac{2}{3} - 1 = -\frac{5}{3} \]
Задатак 3 (средњи): Одреди пресечне тачке праве \( 4x + 2y - 6 = 0 \) са координатним осама, па скицирај њен график.
Преведемо једначину у експлицитни облик:
\[ 2y = -4x + 6 \implies y = -2x + 3 \]
1. Пресек са \( y \)-осом (\( x = 0 \)):
\[ y = -2 \cdot 0 + 3 = 3 \implies A(0, 3) \]
2. Пресек са \( x \)-осом (\( y = 0 \)):
\[ 0 = -2x + 3 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2} = 1{,}5 \implies B\left(\frac{3}{2}, 0\right) \]
Права се конструише повлачењем праве линије кроз тачке \( A(0, 3) \) и \( B(1{,}5, 0) \).
Задатак 4 (тежак): Права \( y = -\frac{3}{4}x + 6 \) сече координатне осе у тачкама \( A \) (на \( x \)-оси) и \( B \) (на \( y \)-оси), образујући са координатним почетком \( O \) правоугли троугао \( \Delta OAB \). Израчунај површину и обим тог троугла.
1. Пресек са \( y \)-осом (тачка \( B \)): За \( x = 0 \implies y = 6 \), па је тачка \( B(0, 6) \). Дужина катете \( OB = 6 \).
2. Пресек са \( x \)-осом (тачка \( A \)): За \( y = 0 \): \[ -\frac{3}{4}x + 6 = 0 \implies \frac{3}{4}x = 6 \implies x = \frac{6 \cdot 4}{3} = 8 \] Пресечна тачка је \( A(8, 0) \), па је дужина друге катете \( OA = 8 \).
3. Хипотенуза троугла \( AB \): Применом Питагорине теореме: \[ AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \] 4. Обим троугла: \[ O = OA + OB + AB = 8 + 6 + 10 = 24 \] 5. Површина троугла: \[ P = \frac{OA \cdot OB}{2} = \frac{8 \cdot 6}{2} = 24 \]
2. Пресек са \( x \)-осом (тачка \( A \)): За \( y = 0 \): \[ -\frac{3}{4}x + 6 = 0 \implies \frac{3}{4}x = 6 \implies x = \frac{6 \cdot 4}{3} = 8 \] Пресечна тачка је \( A(8, 0) \), па је дужина друге катете \( OA = 8 \).
3. Хипотенуза троугла \( AB \): Применом Питагорине теореме: \[ AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \] 4. Обим троугла: \[ O = OA + OB + AB = 8 + 6 + 10 = 24 \] 5. Површина троугла: \[ P = \frac{OA \cdot OB}{2} = \frac{8 \cdot 6}{2} = 24 \]
