Најважније из лекције
Системи линеарних једначина представљају моћан алат за превођење животних, геометријских и научних проблема у математички језик.
Кључни корак: Пажљиво дефинисање шта су непознате (\(x, y\)) и формирање једначина на основу датих веза (збир, разлика, формуле за површину \(P=a \cdot b\), пут \(s=v \cdot t\), или укупну цену). За специфичне (симетричне) системе, сабирање или множење целих једначина често нуди најбржи пут до решења.
Кључни корак: Пажљиво дефинисање шта су непознате (\(x, y\)) и формирање једначина на основу датих веза (збир, разлика, формуле за површину \(P=a \cdot b\), пут \(s=v \cdot t\), или укупну цену). За специфичне (симетричне) системе, сабирање или множење целих једначина често нуди најбржи пут до решења.
Основни корак у решавању текстуалних проблема јесте правилно дефинисање непознатих величина (најчешће са \(x\) и \(y\)) и превођење датих услова у математичке једначине.
Одреди које су величине непознате и означи их словима (нпр. \(x\) и \(y\)).
Пажљиво прочитај текст и уочи две независне везе између тих величина.
Запиши те везе у виду две линеарне једначине.
Реши систем прикладном методом (метода замене или метода супротних коефицијената).
Проблем: Збир два броја је за 1 већи од троструке вредности мањег, а петострука вредност мањег је једнака двострукој вредности већег.
Поставка: Нека је \(x\) мањи, а \(y\) већи број.
Први услов: \( x + y = 3x + 1 \)
Други услов: \( 5x = 2y \)
Поставка: Нека је \(x\) мањи, а \(y\) већи број.
Први услов: \( x + y = 3x + 1 \)
Други услов: \( 5x = 2y \)
У геометријским проблемима, непознате су најчешће дужине страница (нпр. \(a\) и \(b\) код правоугаоника). Систем се формира на основу формула за обим (\(O = 2a + 2b\)) или површину (\(P = a \cdot b\)).
Ако се странице мењају (нпр. дужина се повећа за 3, а ширина за 2), нова површина се записује као \((a+3) \cdot (b+2)\). Иако ово у почетку изгледа као нелинеарна једначина, након множења члан \(ab\) се најчешће потире са обе стране, остављајући линеарну једначину.
Ако дужину правоугаоника повећамо за 2 cm, а ширину за 1 cm, површина се повећа за 14 cm². Поставите једначину која описује ову ситуацију.
Нека су \(a\) и \(b\) почетне странице, а почетна површина \(P = ab\).
Нове странице су \(a+2\) и \(b+1\). Нова површина је \(ab + 14\). \[ (a + 2)(b + 1) = ab + 14 \] \[ ab + a + 2b + 2 = ab + 14 \] Када одузмемо \(ab\) са обе стране, добијамо линеарну једначину: \[ a + 2b = 12 \]
Нове странице су \(a+2\) и \(b+1\). Нова површина је \(ab + 14\). \[ (a + 2)(b + 1) = ab + 14 \] \[ ab + a + 2b + 2 = ab + 14 \] Када одузмемо \(ab\) са обе стране, добијамо линеарну једначину: \[ a + 2b = 12 \]
Системи једначина се користе за израчунавање брзина, времена путовања, електричног отпора, као и броја субатомских честица у хемији.
За проблеме кретања најчешће користимо формулу за пређени пут:
\[ s = v \cdot t \]
где је \(s\) пут, \(v\) брзина, а \(t\) време. Ако се два тела крећу, формирамо једначине за свако тело посебно.
Хемијски пример: Масени број изотопа је збир протона (\(x\)) и неутрона (\(y\)). Ако је масени број 15, једначина је \( x + y = 15 \). Ако знамо укупан број честица или везу између протона и неутрона, формирамо другу једначину.
Системи се користе при куповини (када знамо укупне рачуне за различите комбинације производа) или при одабиру најповољнијих тарифа.
\[ \text{Укупна цена} = \text{цена}_1 \cdot \text{количина}_1 + \text{цена}_2 \cdot \text{количина}_2 \]
Ако 5 свезака (цена \(x\)) и 2 маркера (цена \(y\)) коштају 203 динара, једначина је:
\[ 5x + 2y = 203 \]
То су системи од три (или више) једначина у којима се непознате појављују исти број пута на истим позицијама. Кључ за њихово лакше решавање је њихово глобално сабирање или множење, уместо стандардне замене.
Дат је систем:
\[ \begin{cases} x + y = 1 \\ y + z = 2 \\ z + x = 3 \end{cases} \]
Ако саберемо све три једначине, добијамо:
\[ 2x + 2y + 2z = 6 \implies 2(x + y + z) = 6 \implies x + y + z = 3 \]
Сада лако налазимо непознате: пошто је \(x+y=1\), онда је \(1 + z = 3 \implies z=2\).
Задаци за вежбање
Лак:
Један број је три пута већи од другог, а њихов збир је 100. Постави систем једначина и одреди који су то бројеви.
Нека су бројеви \(x\) и \(y\).
\[ \begin{cases} x = 3y \\ x + y = 100 \end{cases} \]
Методом замене (убацујемо \(x\) у другу једначину):
\[ 3y + y = 100 \implies 4y = 100 \implies y = 25 \]
Пошто је \(x = 3y\), следи \(x = 75\).
Одговор: То су бројеви 75 и 25.
Одговор: То су бројеви 75 и 25.
Средњи:
За 3 оловке и 2 свеске плаћено је 340 динара. Да су купљене 2 оловке и 3 свеске, рачун би износио 360 динара. Колика је цена једне оловке, а колика једне свеске?
Нека је \(x\) цена оловке, а \(y\) цена свеске.
\[ \begin{cases} 3x + 2y = 340 \\ 2x + 3y = 360 \end{cases} \]
Помножимо прву једначину са 3, а другу са -2:
\[ \begin{cases} 9x + 6y = 1020 \\ -4x - 6y = -720 \end{cases} \]
Сабирањем добијамо:
\[ 5x = 300 \implies x = 60 \]
Заменом у прву једначину:
\[ 3(60) + 2y = 340 \implies 180 + 2y = 340 \implies 2y = 160 \implies y = 80 \]
Одговор: Оловка кошта 60 дин, а свеска 80 дин.
Тежак:
Реши симетрични систем једначина:
\[ \begin{cases} x \cdot y = 2 \\ y \cdot z = 8 \\ z \cdot x = 4 \end{cases} \]
(Претпостави да су \(x, y, z\) позитивни бројеви).
Помножимо све три једначине:
\[ (xy) \cdot (yz) \cdot (zx) = 2 \cdot 8 \cdot 4 \]
\[ x^2y^2z^2 = 64 \]
\[ (xyz)^2 = 64 \implies xyz = 8 \text{ (пошто су бројеви позитивни)} \]
Сада користимо овај резултат и почетне једначине:
Пошто је \(xy = 2\), онда је \(2 \cdot z = 8 \implies z = 4\)
Пошто је \(yz = 8\), онда је \(x \cdot 8 = 8 \implies x = 1\)
Пошто је \(zx = 4\), онда је \(y \cdot 4 = 8 \implies y = 2\)
Одговор: \(x = 1, y = 2, z = 4\).
Пошто је \(xy = 2\), онда је \(2 \cdot z = 8 \implies z = 4\)
Пошто је \(yz = 8\), онда је \(x \cdot 8 = 8 \implies x = 1\)
Пошто је \(zx = 4\), онда је \(y \cdot 4 = 8 \implies y = 2\)
Одговор: \(x = 1, y = 2, z = 4\).
