Најважније из лекције
- Размера дужи: Количник дужина две дужи изражених у истој мерној јединици (\( AB : CD \)).
- Самерљиве дужи: Дужи чија је размера рационалан број (разломак).
- Несамерљиве дужи: Дужи чија је размера ирационалан број (нпр. \( \sqrt{2} \)).
- Пропорционалност: Једнакост две размере (\( \frac{AB}{CD} = \frac{PQ}{RS} \)). Решава се множењем унакрсно: \( AB \cdot RS = CD \cdot PQ \).
- Златно правило за задатке: Пре било каквог рачунања са размерама, све дужине се морају претворити у исту јединицу мере (нпр. све у \(\text{cm}\) или све у \(\text{mm}\)).
Размера две дужи је количник мерних бројева те две дужи које су мерене истом јединицом мере.
Размеру дужи \( AB \) и \( CD \) означавамо са \( \frac{AB}{CD} \) или \( AB : CD \).
Пре рачунања размере, обе дужи морају бити изражене у истој јединици мере!
Ако је \( AB = 3,6 \text{ cm} \) и \( CD = 2,4 \text{ cm} \), њихова размера је:
\[ \frac{AB}{CD} = \frac{3,6}{2,4} = \frac{36}{24} = \frac{3}{2} \]
Из једнакости \( AB : CD = m : n \) (где су \( m \) и \( n \) природни бројеви), следи:
- \( AB = \frac{m}{n} CD \)
- \( CD = \frac{n}{m} AB \)
- \( n \cdot AB = m \cdot CD \)
Ако је познато да је \( KL : MN = 2 : 5 \) и \( KL = 10,5 \text{ cm} \), одреди дужину дужи \( MN \).
Из пропорције \( KL : MN = 2 : 5 \) следи да је \( MN = \frac{5}{2} KL \).
\[ MN = \frac{5}{2} \cdot 10,5 \text{ cm} = 26,25 \text{ cm} \]
Одговор: Дужина дужи \( MN \) је \( 26,25 \text{ cm} \).
Размера карте (нпр. \( 1 : 2000 \)) показује колико пута је стварно растојање веће од растојања на цртежу. Ако је дуж на карти \( 5 \text{ cm} \), стварна дужина је \( 5 \text{ cm} \cdot 2000 = 10000 \text{ cm} = 100 \text{ m} \).
Напомена за површину: Стварна површина биће већа за квадрат размере (нпр. \( 2000 \cdot 2000 = 4000000 \) пута већа).
Напомена за површину: Стварна површина биће већа за квадрат размере (нпр. \( 2000 \cdot 2000 = 4000000 \) пута већа).
Нагиб се изражава у процентима и представља размеру вертикалног успона (висинске разлике) и хоризонталног пута.
На пример, успон од \( 7 \text{ m} \) на хоризонталном путу од \( 100 \text{ m} \) даје нагиб: \( \frac{7}{100} = 0,07 = 7\% \).
Растојање између два места на карти размере \( 1 : 75 000 \) износи \( 2 \text{ cm} \). Колико је стварно растојање у километрима?
Стварно растојање је \( 75 000 \) пута веће од растојања на карти:
\[ 2 \text{ cm} \cdot 75 000 = 150 000 \text{ cm} \]
Претварамо у метре, а затим у километре:
\[ 150 000 \text{ cm} = 1 500 \text{ m} = 1,5 \text{ km} \]
Одговор: Стварно растојање је \( 1,5 \text{ km} \).
Самерљиве дужи: Две дужи су самерљиве ако је њихова размера рационалан број (може се записати као разломак два цела броја \( \frac{m}{n} \)). То значи да постоји заједничка јединица мере која се у обе дужи садржи цео број пута.
Несамерљиве дужи: Две дужи су несамерљиве ако је њихова размера ирационалан број (садржи корен који се не може израчунати као цео број, нпр. \( \sqrt{2} \), \( \sqrt{3} \)).
| Пар дужи | Размера | Врста |
|---|---|---|
| Висина (\( h \)) и полупречник описане кружнице (\( R \)) једнакостраничног троугла | \( \frac{R}{h} = \frac{2}{3} \) | Самерљиве |
| Дијагонала (\( d \)) и страница (\( a \)) квадрата | \( \frac{d}{a} = \sqrt{2} \) | Несамерљиве |
| Висина (\( h \)) и страница (\( a \)) једнакостраничног троугла | \( \frac{h}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) | Несамерљиве |
Нека је \( d_1 \) дужа, а \( d_2 \) краћа дијагонала правилног шестоугла странице \( a \). Да ли су \( d_1 \) и \( a \) самерљиве дужи?
Знамо да је дужа дијагонала правилног шестоугла \( d_1 = 2a \).
Њихова размера је \( \frac{d_1}{a} = \frac{2a}{a} = 2 \).
Пошто је \( 2 \) рационалан број (може се записати као \( \frac{2}{1} \)), ове дужи су самерљиве.
Ако су размере два пара дужи једнаке, онда је један пар дужи пропорционалан другом пару дужи.
\[ \frac{AB}{CD} = \frac{PQ}{RS} \quad \text{или} \quad AB : CD = PQ : RS \]
Код пропорције \( a : b = c : d \), производ спољашњих чланова једнак је производу унутрашњих чланова:
\[ a \cdot d = b \cdot c \]
Такође, унутрашњи чланови могу заменити места: \( \frac{AB}{PQ} = \frac{CD}{RS} \).
Ако је \( AB = 16 \text{ mm}, EF = 2 \text{ cm} \) и \( GH = 1 \text{ dm} \), одреди дужину дужи \( CD \) тако да важи пропорција \( AB : CD = EF : GH \).
1. Први корак: Све дужине морамо изразити у истој јединици мере (нпр. милиметрима).
\( AB = 16 \text{ mm} \)
\( EF = 20 \text{ mm} \)
\( GH = 100 \text{ mm} \)
2. Други корак: Постављамо пропорцију и означавамо \( CD \) са \( x \). \[ 16 : x = 20 : 100 \] \[ 20 \cdot x = 16 \cdot 100 \] \[ 20x = 1600 \] \[ x = 80 \text{ mm} \] Одговор: Дужина дужи \( CD \) је \( 80 \text{ mm} \).
\( AB = 16 \text{ mm} \)
\( EF = 20 \text{ mm} \)
\( GH = 100 \text{ mm} \)
2. Други корак: Постављамо пропорцију и означавамо \( CD \) са \( x \). \[ 16 : x = 20 : 100 \] \[ 20 \cdot x = 16 \cdot 100 \] \[ 20x = 1600 \] \[ x = 80 \text{ mm} \] Одговор: Дужина дужи \( CD \) је \( 80 \text{ mm} \).
Задаци за вежбање
Лак: Одреди размеру дужи \( AB = 45 \text{ cm} \) и \( CD = 1,5 \text{ m} \).
Прво претварамо метре у центиметре: \( CD = 1,5 \text{ m} = 150 \text{ cm} \).
Размера је: \( \frac{AB}{CD} = \frac{45}{150} \).
Скраћивањем разломка са 15 добијамо: \( \frac{3}{10} \).
Одговор: Размера је \( 3 : 10 \).
Размера је: \( \frac{AB}{CD} = \frac{45}{150} \).
Скраћивањем разломка са 15 добијамо: \( \frac{3}{10} \).
Одговор: Размера је \( 3 : 10 \).
Средњи: Нагиб једне низбрдице износи \( 12\% \). Ако је хоризонтално растојање између почетне и крајње тачке те низбрдице \( 250 \text{ m} \), колика је висинска разлика (вертикални пад) између тих тачака?
Нагиб представља размеру висинске разлике (\( h \)) и хоризонталног растојања (\( x \)):
\[ \frac{h}{x} = 12\% = \frac{12}{100} \]
Замењујемо познату вредност:
\[ \frac{h}{250} = \frac{12}{100} \]
\[ 100 \cdot h = 12 \cdot 250 \]
\[ 100h = 3000 \]
\[ h = 30 \text{ m} \]
Одговор: Висинска разлика је \( 30 \text{ m} \).
Тежак: Воћњак правоугаоног облика приказан је на карти размере \( 1 : 1000 \). Ако су димензије тог воћњака на карти \( 4 \text{ cm} \) и \( 6 \text{ cm} \), израчунај стварну површину воћњака у арима.
Први начин (преко страница):
Стварне димензије су 1000 пута веће.
Дужина: \( a = 4 \text{ cm} \cdot 1000 = 4000 \text{ cm} = 40 \text{ m} \).
Ширина: \( b = 6 \text{ cm} \cdot 1000 = 6000 \text{ cm} = 60 \text{ m} \).
Површина: \( P = a \cdot b = 40 \text{ m} \cdot 60 \text{ m} = 2400 \text{ m}^2 \).
Како \( 1 \text{ a} \) има \( 100 \text{ m}^2 \), површина је \( 24 \text{ a} \).
Други начин (преко површине):
Површина на карти је \( P_k = 4 \cdot 6 = 24 \text{ cm}^2 \).
Стварна површина је \( 1000^2 \) пута већа: \( P = 24 \text{ cm}^2 \cdot 1 000 000 = 24 000 000 \text{ cm}^2 = 2400 \text{ m}^2 = 24 \text{ a} \).
Одговор: Стварна површина воћњака је \( 24 \text{ a} \).
Стварне димензије су 1000 пута веће.
Дужина: \( a = 4 \text{ cm} \cdot 1000 = 4000 \text{ cm} = 40 \text{ m} \).
Ширина: \( b = 6 \text{ cm} \cdot 1000 = 6000 \text{ cm} = 60 \text{ m} \).
Површина: \( P = a \cdot b = 40 \text{ m} \cdot 60 \text{ m} = 2400 \text{ m}^2 \).
Како \( 1 \text{ a} \) има \( 100 \text{ m}^2 \), површина је \( 24 \text{ a} \).
Други начин (преко површине):
Површина на карти је \( P_k = 4 \cdot 6 = 24 \text{ cm}^2 \).
Стварна површина је \( 1000^2 \) пута већа: \( P = 24 \text{ cm}^2 \cdot 1 000 000 = 24 000 000 \text{ cm}^2 = 2400 \text{ m}^2 = 24 \text{ a} \).
Одговор: Стварна површина воћњака је \( 24 \text{ a} \).
