Најважније из лекције
Полиедар: Геометријско тело ограничено многоугловима. Број темена (\( T \)), ивица (\( I \)) и страна (\( S \)) повезује Ојлерова формула: \( T - I + S = 2 \). Постоји само пет правилних полиедара (Платонових тела).
Површина и запремина: Површина полиедра је збир површина свих његових страна. Запремина (\( V \)) је део простора који полиедар заузима и повезана је са масом (\( m \)) и густином (\( \rho \)) преко формуле \( m = V \cdot \rho \).
Површина и запремина: Површина полиедра је збир површина свих његових страна. Запремина (\( V \)) је део простора који полиедар заузима и повезана је са масом (\( m \)) и густином (\( \rho \)) преко формуле \( m = V \cdot \rho \).
Полиедар је део простора ограничен многоугловима. Многоуглови који га ограничавају називају се странама (\( S \)). Темена и странице ових многоуглова су темена (\( T \)) и ивице (\( I \)) полиедра.
Свака страница многоугла припада тачно још једном суседном многоуглу, а суседни многоуглови припадају различитим равнима. Проучавају се искључиво конвексни полиедри.
Ојлерова формула повезује број темена, ивица и страна конвексног полиедра:
\[ T - I + S = 2 \]
Ако неки полиедар има 6 темена (\( T = 6 \)) и 8 страна (\( S = 8 \)), број његових ивица можемо израчунати из формуле:
\( 6 - I + 8 = 2 \Rightarrow 14 - I = 2 \Rightarrow I = 12 \).
\( 6 - I + 8 = 2 \Rightarrow 14 - I = 2 \Rightarrow I = 12 \).
Мрежу полиедра чине многоуглови који га ограничавају, постављени у једну раван тако да се њиховим „пресавијањем” дуж заједничких страница може поново саставити тај полиедар.
Површина полиедра једнака је збиру површина свих његових страна. Површина мреже једнака је површини одговарајућег полиедра.
Површина коцке једнака је збиру површина шест подударних квадрата: \( P = 6a^2 \).
Ако је ивица \( a = 3 \text{ cm} \), онда је површина коцке \( P = 6 \cdot 3^2 = 54 \text{ cm}^2 \).
Ако је ивица \( a = 3 \text{ cm} \), онда је површина коцке \( P = 6 \cdot 3^2 = 54 \text{ cm}^2 \).
Запремина (\( V \)) полиедра изражава величину дела простора који тај полиедар заузима.
Стандардна јединица мере за запремину је кубни метар (\( \text{m}^3 \)). Користе се и њени мањи и већи делови: \( \text{dm}^3, \text{cm}^3, \text{mm}^3, \text{km}^3 \).
Веза између масе (\( m \)), запремине (\( V \)) и густине (\( \rho \)) материјала:
\[ m = V \cdot \rho \quad \text{односно} \quad \rho = \frac{m}{V} \]
Густина се може изражавати у различитим јединицама које се могу међусобно претварати. На пример:
\[ 1 \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} = 0,001 \frac{\text{g}}{\text{cm}^3} \]
Правилни полиедри су конвексни полиедри чије су све стране правилни и међусобно подударни многоуглови и код којих из сваког темена полази исти број ивица.
Постоји само пет полиедара који задовољавају ове услове. Зову се и Платонова тела.
| Име | тетраедар | коцка (хексаедар) | октаедар | додекаедар | икосаедар |
|---|---|---|---|---|---|
| Број страна | 4 | 6 | 8 | 12 | 20 |
| Број ивица | 6 | 12 | 12 | 30 | 30 |
| Број темена | 4 | 8 | 6 | 20 | 12 |
Задаци за вежбање
Лак: Један конвексан полиедар има 8 страна и 12 ивица. Користећи Ојлерову формулу, израчунај колико тај полиедар има темена.
Ојлерова формула гласи \( T - I + S = 2 \). Заменом познатих вредности добијамо:
\( T - 12 + 8 = 2 \)
\( T - 4 = 2 \)
\( T = 6 \)
Одговор: Полиедар има 6 темена (овај полиедар је октаедар).
\( T - 12 + 8 = 2 \)
\( T - 4 = 2 \)
\( T = 6 \)
Одговор: Полиедар има 6 темена (овај полиедар је октаедар).
Средњи: Одреди масу предмета направљеног од гвожђа чија је запремина \( V = 2 \text{ m}^3 \), ако је познато да је густина гвожђа \( \rho = 7860 \text{ kg/m}^3 \).
Користимо формулу за масу: \( m = V \cdot \rho \).
\( m = 2 \text{ m}^3 \cdot 7860 \text{ kg/m}^3 = 15720 \text{ kg} \).
Одговор: Маса предмета је \( 15720 \text{ kg} \).
\( m = 2 \text{ m}^3 \cdot 7860 \text{ kg/m}^3 = 15720 \text{ kg} \).
Одговор: Маса предмета је \( 15720 \text{ kg} \).
Тежак: Колико ивица има конвексни полиедар који има 12 темена и 8 страна?
Из Ојлерове формуле \( T - I + S = 2 \):
\[ 12 - I + 8 = 2 \Rightarrow I = 18 \]
Одговор: Полиедар има 18 ивица.
Одговор: Полиедар има 18 ивица.
