Најважније из лекције
Линеарна једначина се може свести на основни облик \(ax + b = 0\). Решава се применом правила еквиваленције: заменом израза еквивалентним, додавањем/одузимањем истог израза обема странама или множењем/дељењем обе стране истим бројем (различитим од нуле).
У зависности од коефицијената, линеарна једначина може имати јединствено решење (\(a \neq 0\)), бесконачно много решења (\(0 \cdot x = 0\)) или бити немогућа - без решења (\(0 \cdot x = b\), где је \(b \neq 0\)).
У зависности од коефицијената, линеарна једначина може имати јединствено решење (\(a \neq 0\)), бесконачно много решења (\(0 \cdot x = 0\)) или бити немогућа - без решења (\(0 \cdot x = b\), где је \(b \neq 0\)).
Еквивалентни полиноми: Полиноми \(A(x)\) и \(B(x)\) су еквивалентни ако за сваки реалан број \(x\) важи \(A(x) = B(x)\).
Линеаран израз: За израз кажемо да је линеаран ако се применом правила за рачунање са полиномима може трансформисати у полином облика \(ax + b\), где је \(a \neq 0\).
Да ли је израз \(3(x - 1) - 2x\) линеаран?
Сређивањем (ослобађањем од заграде и сабирањем сличних монома) добијамо: \(3x - 3 - 2x = x - 3\). Овај облик одговара облику \(ax + b\) (где је \(a=1, b=-3\)), па дати израз јесте линеаран.
Сређивањем (ослобађањем од заграде и сабирањем сличних монома) добијамо: \(3x - 3 - 2x = x - 3\). Овај облик одговара облику \(ax + b\) (где је \(a=1, b=-3\)), па дати израз јесте линеаран.
Еквивалентне једначине: Две једначине су еквивалентне ако је свако решење једне од њих уједно и решење друге, или ако ниједна од њих нема решење.
Правило замене: Израз који се појављује у једначини можемо заменити њему еквивалентним изразом.
Правило о додавању: Додавањем или одузимањем истог израза или броја са обе стране једначине добијамо еквивалентну једначину.
Ако је \(A = B\), онда је \(A + C = B + C\).
Ако је \(A = B\), онда је \(A + C = B + C\).
Правило о множењу: Множењем или дељењем обе стране једначине истим бројем различитим од нуле добијамо еквивалентну једначину.
Ако је \(A = B\) и \(c \neq 0\), онда је \(A \cdot c = B \cdot c\).
Ако је \(A = B\) и \(c \neq 0\), онда је \(A \cdot c = B \cdot c\).
Сваку линеарну једначину можемо свести на облик \(ax + b = 0\) (односно \(ax = -b\)). Број решења зависи од вредности коефицијената \(a\) и \(b\).
| Услов | Број решења | Пример |
|---|---|---|
| \(a \neq 0\) | Јединствено решење \(x = -\frac{b}{a}\) | \(2x = 6 \Rightarrow x = 3\) |
| \(a = 0, b \neq 0\) | Нема решења | \(0 \cdot x = 5\) (немогуће) |
| \(a = 0, b = 0\) | Сваки реалан број је решење (неодређена једначина / идентитет) | \(0 \cdot x = 0\) (увек тачно) |
Колико решења има једначина \(3x + 2 = 3x + 5\)?
Применом правила о додавању пребацујемо непознате на леву, а бројеве на десну страну:
\(3x - 3x = 5 - 2\)
\(0 \cdot x = 3\)
Одговор: Како је производ било ког броја и нуле једнак 0, једначина нема решења (ово одговара случају \(a=0, b \neq 0\)).
\(3x - 3x = 5 - 2\)
\(0 \cdot x = 3\)
Одговор: Како је производ било ког броја и нуле једнак 0, једначина нема решења (ово одговара случају \(a=0, b \neq 0\)).
Уколико једначина садржи разломке, помножите обе стране заједничким садржаоцем (НЗС) свих именилаца како бисте се ослободили разломака.
Ослободите се евентуалних заграда множењем чланова унутар заграде (примена дистрибутивног закона).
„Раздвојите” непознате и константе: применом правила додавања пребаците све чланове који садрже непознату на једну страну једнакости, а познате бројеве на другу.
Средите изразе на обема странама тако да добијете једначину облика \(ax = b\), а затим примените правило множења/дељења да израчунате \(x\).
Решавање једначине \(\frac{x}{2} + 1 = \frac{x}{3}\):
1. Множимо обе стране са НЗС(2, 3) = 6: \(\frac{x}{2} \cdot 6 + 1 \cdot 6 = \frac{x}{3} \cdot 6\)
2. Након скраћивања добијамо: \(3x + 6 = 2x\)
3. Раздвајамо непознате од познатих: \(3x - 2x = -6\)
4. Сређивањем добијамо коначно решење: \(x = -6\)
1. Множимо обе стране са НЗС(2, 3) = 6: \(\frac{x}{2} \cdot 6 + 1 \cdot 6 = \frac{x}{3} \cdot 6\)
2. Након скраћивања добијамо: \(3x + 6 = 2x\)
3. Раздвајамо непознате од познатих: \(3x - 2x = -6\)
4. Сређивањем добијамо коначно решење: \(x = -6\)
Задаци за вежбање
Лак: Решите једначину \(4x - 7 = 5\).
\(4x - 7 = 5 \ / + 7\) (додајемо 7 обема странама)
\(4x = 12 \ / : 4\) (делимо обе стране са 4)
\(x = 3\)
\(4x = 12 \ / : 4\) (делимо обе стране са 4)
\(x = 3\)
Средњи: Решите једначину \(5(x - 2) = 3x + 4\).
Прво се ослобађамо заграде:
\(5x - 10 = 3x + 4\)
Раздвајамо непознате и константе (пребацујемо \(3x\) лево, а \(-10\) десно уз промену знака):
\(5x - 3x = 4 + 10\)
\(2x = 14 \ / : 2\)
\(x = 7\)
\(5x - 10 = 3x + 4\)
Раздвајамо непознате и константе (пребацујемо \(3x\) лево, а \(-10\) десно уз промену знака):
\(5x - 3x = 4 + 10\)
\(2x = 14 \ / : 2\)
\(x = 7\)
Тежак: Решите једначину \(\frac{2x - 1}{3} - \frac{x + 2}{4} = 1\).
Множимо целу једначину најмањим заједничким садржаоцем за бројеве 3 и 4, односно са НЗС(3, 4) = 12:
\(12 \cdot \frac{2x - 1}{3} - 12 \cdot \frac{x + 2}{4} = 12 \cdot 1\)
\(4(2x - 1) - 3(x + 2) = 12\)
Ослобађамо се заграда пазећи на знак минус испред друге заграде:
\(8x - 4 - 3x - 6 = 12\)
\(5x - 10 = 12\)
\(5x = 12 + 10\)
\(5x = 22 \ / : 5\)
\(x = \frac{22}{5} = 4,4\)
\(12 \cdot \frac{2x - 1}{3} - 12 \cdot \frac{x + 2}{4} = 12 \cdot 1\)
\(4(2x - 1) - 3(x + 2) = 12\)
Ослобађамо се заграда пазећи на знак минус испред друге заграде:
\(8x - 4 - 3x - 6 = 12\)
\(5x - 10 = 12\)
\(5x = 12 + 10\)
\(5x = 22 \ / : 5\)
\(x = \frac{22}{5} = 4,4\)
