Најважније из лекције
Решавање проблема помоћу једначина у 4 корака:
1. Дефинисање непознате (увођење променљиве \( x \)).
2. Формулисање једначине на основу текста (коришћењем формула за геометрију, физику \( s=v \cdot t \), хемију или узраст).
3. Математичко решавање постављене линеарне једначине.
4. Провера решења у контексту почетног текста задатка (нпр. удео у процентима се претвара у децимални број: \( 25\% = 0,25 \)).
1. Дефинисање непознате (увођење променљиве \( x \)).
2. Формулисање једначине на основу текста (коришћењем формула за геометрију, физику \( s=v \cdot t \), хемију или узраст).
3. Математичко решавање постављене линеарне једначине.
4. Провера решења у контексту почетног текста задатка (нпр. удео у процентима се претвара у децимални број: \( 25\% = 0,25 \)).
Сваки текстуални проблем се решава тако што се непозната величина означи словом (најчешће \( x \)), а затим се услови задатка, помоћу математичких операција, преведу у линеарну једначину.
Корисне ознаке за бројеве (\( k \in \mathbb{N}_0 \)):
- Општи облик парног броја: \( 2k \)
- Општи облик непарног броја: \( 2k + 1 \)
- Узастопни природни бројеви: \( x, x+1, x+2, \dots \)
- Општи облик броја дељивог са 3: \( 3k \)
Ако треба одредити четири узастопна природна броја чији је збир 90, једначина гласи:
\[ x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) = 90 \]
Решавањем добијамо \( 4x + 6 = 90 \), односно \( 4x = 84 \), па је \( x = 21 \). Тражени бројеви су 21, 22, 23 и 24.
Одреди број чија је четворострука вредност за 10 већа од његове двоструке вредности.
Нека је непознати број \( x \). Његова четворострука вредност је \( 4x \), а двострука \( 2x \).
Једначина: \( 4x - 10 = 2x \)
Решавање: \( 4x - 2x = 10 \implies 2x = 10 \implies x = 5 \).
Одговор: Тражени број је 5.
Једначина: \( 4x - 10 = 2x \)
Решавање: \( 4x - 2x = 10 \implies 2x = 10 \implies x = 5 \).
Одговор: Тражени број је 5.
Многи геометријски проблеми се лако решавају свођењем на линеарну једначину, коришћењем познатих формула за обиме фигура или збирове углова.
- Збир унутрашњих углова троугла је \( 180^\circ \): \( \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \)
- Збир спољашњих углова троугла (и било ког конвексног многоугла) је \( 360^\circ \).
- Збир унутрашњих углова конвексног n-тоугла је \( (n - 2) \cdot 180^\circ \).
У троуглу је угао \( \alpha \) за \( 50^\circ \) већи од угла \( \beta \), а угао \( \gamma \) за \( 20^\circ \) мањи од угла \( \beta \). Одреди мере унутрашњих углова тог троугла.
Све углове изражавамо преко угла \( \beta \):
\( \alpha = \beta + 50^\circ \)
\( \gamma = \beta - 20^\circ \)
Збир унутрашњих углова је \( 180^\circ \), па постављамо једначину: \[ (\beta + 50^\circ) + \beta + (\beta - 20^\circ) = 180^\circ \] \[ 3\beta + 30^\circ = 180^\circ \] \[ 3\beta = 150^\circ \implies \beta = 50^\circ \] Одговор: Углови су \( \alpha = 100^\circ \), \( \beta = 50^\circ \) и \( \gamma = 30^\circ \).
\( \alpha = \beta + 50^\circ \)
\( \gamma = \beta - 20^\circ \)
Збир унутрашњих углова је \( 180^\circ \), па постављамо једначину: \[ (\beta + 50^\circ) + \beta + (\beta - 20^\circ) = 180^\circ \] \[ 3\beta + 30^\circ = 180^\circ \] \[ 3\beta = 150^\circ \implies \beta = 50^\circ \] Одговор: Углови су \( \alpha = 100^\circ \), \( \beta = 50^\circ \) и \( \gamma = 30^\circ \).
Користи се основна формула за пређени пут: \( s = v \cdot t \) (пут = брзина \(\cdot\) време).
Ако се два објекта крећу један другом у сусрет истовремено, збир њихових пређених путева једнак је укупном почетном растојању: \( s_1 + s_2 = s_{ukupno} \).
Даница и Милица крећу бициклима једна другој у сусрет из места удаљених 15 km. Даница вози брзином \( 14 \frac{\text{km}}{\text{h}} \), а Милица \( 16 \frac{\text{km}}{\text{h}} \). Време сусрета \( t \) (у сатима) се рачуна из једначине:
\[ 14t + 16t = 15 \]
\[ 30t = 15 \implies t = 0,5 \text{ h} \text{ (или 30 минута).} \]
При мешању раствора различитих концентрација, постављамо једначину на основу масе чисте супстанце. Укупна маса супстанце пре мешања једнака је маси супстанце у новодобијеној смеши.
Проценти се у једначинама увек записују као децимални бројеви или разломци: \( 1\% = 0,01 = \frac{1}{100} \).
Колико грама 96%-тне киселине треба додати у 15500 g воде да би се добио раствор од 3%?
Нека је \( x \) маса 96%-тне киселине. Вода садржи 0% киселине. Маса новог раствора биће \( 15500 + x \).
Једначина (изједначавамо масу чисте киселине): \[ 0,96 \cdot x = 0,03 \cdot (15500 + x) \] \[ 0,96x = 465 + 0,03x \] \[ 0,93x = 465 \implies x = 500 \text{ g} \]
Једначина (изједначавамо масу чисте киселине): \[ 0,96 \cdot x = 0,03 \cdot (15500 + x) \] \[ 0,96x = 465 + 0,03x \] \[ 0,93x = 465 \implies x = 500 \text{ g} \]
Када решавамо проблеме који се тичу узраста (прошлост, садашњост, будућност), најбоље је податке организовати у табелу како бисмо лако уочили односе.
Никола каже: "За 4 године имаћу дупло више година него што сам имао пре 3 године". Ако његове тренутне године означимо са \( x \), табела изгледа овако:
Једначина: \( 2(x - 3) = x + 4 \).
Решавање: \( 2x - 6 = x + 4 \implies x = 10 \). Никола има 10 година.
| Време | Број година |
|---|---|
| Пре 3 године | \( x - 3 \) |
| Данас | \( x \) |
| За 4 године | \( x + 4 \) |
Решавање: \( 2x - 6 = x + 4 \implies x = 10 \). Никола има 10 година.
У једном одељењу \( \frac{1}{3} \) ученика су врло добри, \( 25\% \) (или \( \frac{1}{4} \)) су добри, \( \frac{1}{6} \) су довољни, а преосталих 6 ученика су одлични. Колико укупно има ученика у одељењу?
Нека је укупан број ученика \( x \). Збир свих група једнак је укупном броју:
\[ \frac{x}{3} + \frac{x}{4} + \frac{x}{6} + 6 = x \quad / \cdot 12 \]
Множимо целу једначину са НЗС (12) да бисмо се ослободили разломака:
\[ 4x + 3x + 2x + 72 = 12x \]
\[ 9x + 72 = 12x \implies 3x = 72 \implies x = 24 \]
Одговор: У одељењу има 24 ученика.
Задаци за вежбање
Лак: Када се трострука вредност неког броја умањи за 7, добија се број 14. Који је то број?
Нека је тражени број \( x \).
\[ 3x - 7 = 14 \]
\[ 3x = 14 + 7 \]
\[ 3x = 21 \implies x = 7 \]
Одговор: Тражени број је 7.
Средњи: Отац тренутно има 36 година, а син 8 година. За колико година ће отац бити тачно два пута старији од сина?
Нека је \( x \) број година који треба да прође.
За \( x \) година отац ће имати \( 36 + x \) година, а син \( 8 + x \) година.
Једначина: \[ 36 + x = 2 \cdot (8 + x) \] \[ 36 + x = 16 + 2x \] \[ 36 - 16 = 2x - x \implies x = 20 \] Одговор: За 20 година (отац ће имати 56, а син 28).
За \( x \) година отац ће имати \( 36 + x \) година, а син \( 8 + x \) година.
Једначина: \[ 36 + x = 2 \cdot (8 + x) \] \[ 36 + x = 16 + 2x \] \[ 36 - 16 = 2x - x \implies x = 20 \] Одговор: За 20 година (отац ће имати 56, а син 28).
Тежак: Једна страница правоугаоника је за 3 cm дужа од друге. Ако се краћа страница продужи за 2 cm, а дужа скрати за 1 cm, обим новог правоугаоника биће 34 cm. Колике су странице почетног правоугаоника?
Нека је краћа страница почетног правоугаоника \( a \). Тада је дужа страница \( b = a + 3 \).
Нове странице су: \( a_1 = a + 2 \) и \( b_1 = (a + 3) - 1 = a + 2 \).
Обим новог правоугаоника је \( O = 2a_1 + 2b_1 \): \[ 2(a + 2) + 2(a + 2) = 34 \] \[ 4(a + 2) = 34 \implies 4a + 8 = 34 \implies 4a = 26 \implies a = 6,5 \text{ cm} \] Дужа страница је \( b = 6,5 + 3 = 9,5 \text{ cm} \).
Одговор: Странице почетног правоугаоника су 6,5 cm и 9,5 cm.
Нове странице су: \( a_1 = a + 2 \) и \( b_1 = (a + 3) - 1 = a + 2 \).
Обим новог правоугаоника је \( O = 2a_1 + 2b_1 \): \[ 2(a + 2) + 2(a + 2) = 34 \] \[ 4(a + 2) = 34 \implies 4a + 8 = 34 \implies 4a = 26 \implies a = 6,5 \text{ cm} \] Дужа страница је \( b = 6,5 + 3 = 9,5 \text{ cm} \).
Одговор: Странице почетног правоугаоника су 6,5 cm и 9,5 cm.
