Најважније из лекције
Једначине које се своде на линеарне решавамо еквивалентним трансформацијама: понекад се исти сабирак (нпр. \( a^2 \)) скраћује са обе стране и остаје линеарна једначина. Једначина \( |A(x)|=c \) (за \( c>0 \)) даје две линеарне једначине: \( A(x)=c \) или \( A(x)=-c \). Ако је \( A(x)\cdot B(x)=0 \), онда је \( A(x)=0 \) или \( B(x)=0 \) — зато полином прво растављамо на чиниоце (заједнички чинилац, разлика квадрата, квадрат бинома). Кад се непозната јавља као чинилац (нпр. \( x(x+4)=0 \)) не смемо делити са \( x \), јер бисмо изгубили решење \( x=0 \). Ако је \( \dfrac{A(x)}{B(x)}=0 \), онда мора бити \( B(x)\neq 0 \) и \( A(x)=0 \), па решења бројиоца проверавамо да не поништавају делилац.
Неке једначине само наизглед нису линеарне. После еквивалентних трансформација (множење назначено, скраћивање једнаких сабирака са обе стране, растављање на чиниоце) оне се своде на линеарне једначине или на једначине које већ умемо да решимо.
У овој лекцији срећемо четири типа таквих једначина: једначине које наизглед нису линеарне, једначине са апсолутном вредношћу, једначине облика \( A(x)\cdot B(x)=0 \) и једначине облика \( \dfrac{A(x)}{B(x)}=0 \).
Ако се после множења на обе стране једначине појави исти сабирак (нпр. \( x^2 \) или \( a^2 \)), тај сабирак се скраћује (правило о додавању), па остаје линеарна једначина.
Пример 1. Ако две паралелне странице квадрата продужимо за 2, а друге две за 3, површина добијеног правоугаоника је за 46 већа од површине почетног квадрата. Одредимо страницу квадрата.
Нека је \( a \) страница квадрата. Странице правоугаоника су \( a+2 \) и \( a+3 \): \[ a^2 + 46 = (a+2)(a+3) \] \[ a^2 + 46 = a^2 + 3a + 2a + 6 \quad / -a^2 \] \[ 46 = 5a + 6 \] \[ 40 = 5a \implies a = 8 \] Одговор: Страница квадрата је \( 8 \).
Нека је \( a \) страница квадрата. Странице правоугаоника су \( a+2 \) и \( a+3 \): \[ a^2 + 46 = (a+2)(a+3) \] \[ a^2 + 46 = a^2 + 3a + 2a + 6 \quad / -a^2 \] \[ 46 = 5a + 6 \] \[ 40 = 5a \implies a = 8 \] Одговор: Страница квадрата је \( 8 \).
Апсолутна вредност реалног броја дефинисана је овако:
\[ |a| = \begin{cases} a, & a>0 \\ 0, & a=0 \\ -a, & a<0 \end{cases} \]
Пошто су \( |5|=5 \) и \( |-5|=5 \), једначина облика \( |A(x)| = c \) (за \( c>0 \)) своди се на две линеарне једначине: \( A(x)=c \) или \( A(x)=-c \). Решења те две једначине уједно су решења полазне једначине.
Пример 2. Решимо једначину \( |3x+2| = 5 \).
Полазна једначина се своди на: \[ 3x+2 = 5 \quad \text{или} \quad 3x+2 = -5 \] Из прве: \( 3x = 3 \implies x_1 = 1 \).
Из друге: \( 3x = -7 \implies x_2 = -\dfrac{7}{3} \).
Одговор: Једначина има два решења: \( 1 \) и \( -\dfrac{7}{3} \).
Полазна једначина се своди на: \[ 3x+2 = 5 \quad \text{или} \quad 3x+2 = -5 \] Из прве: \( 3x = 3 \implies x_1 = 1 \).
Из друге: \( 3x = -7 \implies x_2 = -\dfrac{7}{3} \).
Одговор: Једначина има два решења: \( 1 \) и \( -\dfrac{7}{3} \).
Ако је \( A(x)\cdot B(x) = 0 \), онда је \( A(x)=0 \) или \( B(x)=0 \). (Производ је нула само ако је бар један чинилац нула.) Свако решење тих двеју једначина јесте решење и полазне једначине.
Ако једначина није дата у облику производа, прво је растављамо на чиниоце (извлачење заједничког чиниоца, разлика квадрата \( a^2-b^2=(a+b)(a-b) \), квадрат бинома \( a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2 \)).
Пример 3. \( (x+3)\cdot(6+x)=0 \)
\[ x+3=0 \quad \text{или} \quad 6+x=0 \]
\[ x_1 = -3, \qquad x_2 = -6 \]
Пример 4. \( x^2 + 4x = 0 \). Извлачимо заједнички чинилац \( x \):
\[ x(x+4)=0 \]
\[ x=0 \quad \text{или} \quad x+4=0 \]
\[ x_1 = 0, \qquad x_2 = -4 \]
Напомена. Код једначине \( x(x+4)=0 \) (и сличних, где се непозната јавља као чинилац) не смемо обе стране делити са \( x \), јер не знамо да је \( x\neq 0 \). Заправо, \( 0 \) јесте једно од решења — ако бисмо делили са \( x \), изгубили бисмо га.
Пример 5. \( x^2 - 25 = 0 \). Применом разлике квадрата:
\[ (x+5)\cdot(x-5)=0 \]
\[ x_1 = -5, \qquad x_2 = 5 \]
Пример 6. \( x^2 - 2x + 1 = 4 \). Лева страна је квадрат бинома, па пребацујемо на облик разлике квадрата:
\[ (x-1)^2 - 2^2 = 0 \]
\[ (x-1+2)\cdot(x-1-2)=0 \]
\[ x+1=0 \quad \text{или} \quad x-3=0 \]
\[ x_1 = -1, \qquad x_2 = 3 \]
Ако је \( \dfrac{A(x)}{B(x)} = 0 \), онда је \( B(x)\neq 0 \) и \( A(x)=0 \). (Делилац не сме бити нула, а количник је нула само ако је дељеник нула.)
Пример 7. \( \dfrac{x+1}{x-1}=0 \).
Услов: \( x-1\neq 0 \implies x\neq 1 \). Бројилац: \( x+1=0 \implies x=-1 \).
Пошто је \( -1\neq 1 \), решење је прихватљиво.
Одговор: Једино решење је \( x=-1 \).
Услов: \( x-1\neq 0 \implies x\neq 1 \). Бројилац: \( x+1=0 \implies x=-1 \).
Пошто је \( -1\neq 1 \), решење је прихватљиво.
Одговор: Једино решење је \( x=-1 \).
Пример 8. \( \dfrac{x^2-1}{x-5}=0 \).
Услов: \( x-5\neq 0 \implies x\neq 5 \). Бројилац: \( x^2-1=0 \), тј. \( (x-1)(x+1)=0 \): \[ x_1 = 1, \qquad x_2 = -1 \] Пошто су \( 1\neq 5 \) и \( -1\neq 5 \), оба су решења.
Одговор: Решења су \( 1 \) и \( -1 \).
Услов: \( x-5\neq 0 \implies x\neq 5 \). Бројилац: \( x^2-1=0 \), тј. \( (x-1)(x+1)=0 \): \[ x_1 = 1, \qquad x_2 = -1 \] Пошто су \( 1\neq 5 \) и \( -1\neq 5 \), оба су решења.
Одговор: Решења су \( 1 \) и \( -1 \).
Пример 9. \( \dfrac{x^2-1}{x-1}=0 \).
Услов: \( x-1\neq 0 \implies x\neq 1 \). Бројилац: \( x^2-1=0 \) даје \( x=1 \) или \( x=-1 \).
Али \( x=1 \) није дозвољено (делилац би био нула), па га одбацујемо.
Одговор: Једино решење је \( x=-1 \).
Услов: \( x-1\neq 0 \implies x\neq 1 \). Бројилац: \( x^2-1=0 \) даје \( x=1 \) или \( x=-1 \).
Али \( x=1 \) није дозвољено (делилац би био нула), па га одбацујемо.
Одговор: Једино решење је \( x=-1 \).
Задаци за вежбање
Лак: Реши једначину \( (5x-3)\cdot(x+2)=0 \).
Производ је нула ако је бар један чинилац нула:
\[ 5x-3=0 \quad \text{или} \quad x+2=0 \]
Из прве: \( 5x=3 \implies x_1=\dfrac{3}{5} \).
Из друге: \( x_2=-2 \).
Одговор: \( x_1=\dfrac{3}{5} \) и \( x_2=-2 \).
Из друге: \( x_2=-2 \).
Одговор: \( x_1=\dfrac{3}{5} \) и \( x_2=-2 \).
Средњи: Реши једначину \( 9x + 24x^2 = 0 \).
Извлачимо заједнички чинилац \( 3x \) (не делимо са \( x \), јер бисмо изгубили решење \( x=0 \)):
\[ 3x(3 + 8x) = 0 \]
\[ 3x=0 \quad \text{или} \quad 3+8x=0 \]
Из прве: \( x_1 = 0 \).
Из друге: \( 8x=-3 \implies x_2 = -\dfrac{3}{8} \).
Одговор: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = -\dfrac{3}{8} \).
Из друге: \( 8x=-3 \implies x_2 = -\dfrac{3}{8} \).
Одговор: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = -\dfrac{3}{8} \).
Тежак: Реши једначину \( \dfrac{2-3x}{5x+1}=0 \).
Количник је нула само ако је бројилац нула, а делилац различит од нуле.
Услов: \( 5x+1\neq 0 \implies x\neq -\dfrac{1}{5} \).
Бројилац: \( 2-3x=0 \implies 3x=2 \implies x=\dfrac{2}{3} \).
Пошто је \( \dfrac{2}{3}\neq -\dfrac{1}{5} \), решење је прихватљиво.
Одговор: Једино решење је \( x=\dfrac{2}{3} \).
Услов: \( 5x+1\neq 0 \implies x\neq -\dfrac{1}{5} \).
Бројилац: \( 2-3x=0 \implies 3x=2 \implies x=\dfrac{2}{3} \).
Пошто је \( \dfrac{2}{3}\neq -\dfrac{1}{5} \), решење је прихватљиво.
Одговор: Једино решење је \( x=\dfrac{2}{3} \).
