Најважније из лекције
- Експлицитни облик: \(y = kx + n\). Овде је \(x\) независно променљива, \(y\) зависно променљива, \(k\) коефицијент правца, а \(n\) слободан члан.
- Вредност функције: Задатој вредности \(x\) придружујемо тачно једну вредност \(y\), која се рачуна убацивањем у формулу (нпр. \(y = 2 \cdot 5 + 1 = 11\)).
- Имплицитни облик: \(ax + by + c = 0\). Из њега изражавањем променљиве \(y\) добијамо експлицитни облик.
- Специјални случајеви: Ако је \(n=0\), у питању је директна пропорционалност (\(y = kx\)). Ако је \(k=0\), у питању је константна функција (\(y = n\)).
Често уочавамо да једна величина зависи од друге. Када год нам је позната вредност једне величине, можемо одредити вредност друге величине на основу одређеног правила или закона.
Независно променљива (најчешће \(x\)) је величина чију вредност бирамо или задајемо.
Зависно променљива (најчешће \(y\) или \(f(x)\)) је величина чија се вредност израчунава на основу независно променљиве.
Ако аутомобил путује константном брзином, пређени пут зависи од времена. Време је независно променљива, а пређени пут је зависно променљива.
Линеарна функција је придруживање којим се сваком реалном броју \(x\) придружује реалан број \(y\), према правилу дефинисаном линеарним изразом.
\[ y = kx + n \]
Ово је експлицитни облик линеарне функције, где су \(k\) и \(n\) фиксирани реални бројеви, а \(x \in \mathbb{R}\).
- \(k\) се назива коефицијент правца.
- \(n\) се назива слободан члан.
Специјални случајеви:
- Ако је \(n = 0\), функција има облик \(y = kx\), што представља директну пропорционалност.
- Ако је \(k = 0\), функција има облик \(y = n\), што је константна функција (сваком \(x\) додељује се исти број \(n\)).
- Ако је \(n = 0\), функција има облик \(y = kx\), што представља директну пропорционалност.
- Ако је \(k = 0\), функција има облик \(y = n\), што је константна функција (сваком \(x\) додељује се исти број \(n\)).
Одреди коефицијент правца \(k\) и слободан члан \(n\) за функцију \(y = -4x + 7\).
Коефицијент уз \(x\) је коефицијент правца: \(k = -4\).
Број који стоји сам је слободан члан: \(n = 7\).
Број који стоји сам је слободан члан: \(n = 7\).
Ако је функција задата формулом, вредност функције за дато \(x\) рачунамо заменом тог броја уместо \(x\) у формули. Ознака \(f(x)\) чита се "еф од икс".
Нека је дата функција \(f(x) = 3x + 2\). Вредност функције за \(x = 4\) је:
\(f(4) = 3 \cdot 4 + 2 = 12 + 2 = 14\)
\(f(4) = 3 \cdot 4 + 2 = 12 + 2 = 14\)
Такође, можемо решавати и обрнути проблем: ако знамо вредност функције \(y\), можемо наћи непознато \(x\) решавањем линеарне једначине.
За коју вредност независно променљиве \(x\) је вредност функције \(y = \frac{1}{2}x - 3\) једнака 5?
Постављамо једначину где је \(y = 5\):
\[ 5 = \frac{1}{2}x - 3 \] \[ \frac{1}{2}x = 5 + 3 \] \[ \frac{1}{2}x = 8 \] \[ x = 16 \] Вредност независно променљиве је \(x = 16\).
\[ 5 = \frac{1}{2}x - 3 \] \[ \frac{1}{2}x = 5 + 3 \] \[ \frac{1}{2}x = 8 \] \[ x = 16 \] Вредност независно променљиве је \(x = 16\).
Линеарна функција не мора увек бити изражена тако да је \(y\) издвојено на једној страни једнакости. Када су променљиве и константе "помешане", говоримо о имплицитном облику.
\[ ax + by + c = 0 \]
Ово је имплицитни облик линеарне функције, где су \(a\), \(b\) и \(c\) реални бројеви, при чему је \(b \neq 0\).
Имплицитни облик можемо превести у експлицитни применом правила за решавање једначина (пребацивање сабирке и дељење једначине).
Превођење имплицитног облика \(5x + 3y - 4 = 0\) у експлицитни облик:
\(3y = -5x + 4\) (пребацили смо \(5x\) и \(-4\) на десну страну)
\(y = -\frac{5}{3}x + \frac{4}{3}\) (поделили смо целу једначину са 3)
\(3y = -5x + 4\) (пребацили смо \(5x\) и \(-4\) на десну страну)
\(y = -\frac{5}{3}x + \frac{4}{3}\) (поделили смо целу једначину са 3)
Одреди експлицитни облик линеарне функције задате једначином \(x + 2y = 6\).
\[ x + 2y = 6 \]
\[ 2y = -x + 6 \]
Поделимо целу једначину са 2:
\[ y = -\frac{1}{2}x + 3 \]
Задаци за вежбање
Лак: Дата је линеарна функција \(f(x) = 2x - 5\). Израчунај вредност функције за \(x = 3\).
Убацујемо \(x = 3\) у формулу:
\(f(3) = 2 \cdot 3 - 5\)
\(f(3) = 6 - 5 = 1\)
Одговор: Вредност функције је 1.
\(f(3) = 2 \cdot 3 - 5\)
\(f(3) = 6 - 5 = 1\)
Одговор: Вредност функције је 1.
Средњи: Дате су функције \(f(x) = 3x\) и \(g(x) = 3x - 4\). Која од ових функција представља директну пропорционалност и зашто?
Одговор: Функција \(f(x) = 3x\) представља директну пропорционалност зато што њен слободан члан износи нула (\(n = 0\)), односно облика је \(y = kx\).
Тежак: Линеарна функција је задата у имплицитном облику једначином \(6x - 2y + 8 = 0\).
а) Преведи функцију у експлицитни облик.
б) Одреди њен коефицијент правца (\(k\)) и слободан члан (\(n\)).
а) Преведи функцију у експлицитни облик.
б) Одреди њен коефицијент правца (\(k\)) и слободан члан (\(n\)).
а) Издвајамо \(y\) на једну страну:
\(6x - 2y + 8 = 0\)
\(-2y = -6x - 8\)
Помножимо/поделимо са \(-2\):
\(y = 3x + 4\)
б) На основу добијеног експлицитног облика:
Коефицијент правца \(k = 3\).
Слободан члан \(n = 4\).
\(6x - 2y + 8 = 0\)
\(-2y = -6x - 8\)
Помножимо/поделимо са \(-2\):
\(y = 3x + 4\)
б) На основу добијеног експлицитног облика:
Коефицијент правца \(k = 3\).
Слободан члан \(n = 4\).
